Simulazioni della seconda prova dell’Esame di Stato

La seconda prova scritta di matematica dell’Esame di Stato 2015 ha introdot- to alcuni elementi di novita`; le piu` rilevanti riguardano l’introduzione di problemi contestualizzati in situazioni reali e la proposta di quesiti inerenti i nuovi argomenti previsti dalle indicazioni nazionali: la geometria analitica nello spazio, le equazioni differenziali e le distribuzioni di probabilita`. Inoltre problemi e quesiti, sulla scia di una tendenza gia` emersa negli ultimi anni, appaiono sempre piu` focalizzati sul ragionamento, sui concetti e sulla capacita` argomentativa rispetto all’esecuzione di calcoli lunghi e ripetitivi.

In aggiunta alle attivita` e alle simulazioni d’esame inserite nei volumi del corso, que- sta sezione propone una raccolta di sei ulteriori simulazioni della seconda prova del- l’Esame di Stato, che recepiscono gli elementi di novita` poc’anzi sottolineati. In parti- colare la maggior parte dei problemi proposti e` di tipo contestualizzato e nei questionari e` stato inserito un congruo numero di quesiti riguardanti la geometria analitica nello spazio, le equazioni differenziali e le distribuzioni di probabilita`.

Inoltre e` stata posta una particolare cura nel proporre quesiti focalizzati sulla com- prensione dei concetti, sull’argomentazione e sull’analisi di grafici.

Di tutte le sei simulazioni sono fornite le risoluzioni. Tutti i testi sono disponibili sia sul sito del libro sia nell’eBook versione docente in formato pdf scaricabili e stampa- bili e in formato rtf modificabile.

Simulazioni della seconda

prova dell’Esame di Stato

Simulazione ¹

Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Problema 1 - Concentrazione di un farmaco nel sangue e biodisponibilita`

E` noto che la concentrazione di un farmaco nel sangue varia nel tempo in modo diverso a seconda che esso sia assunto per via endovenosa o per via orale.

In particolare, nel primo caso, la concentrazione e` massima nel momento in cui il farmaco viene assunto, dopodiche´ di- minuisce al passare del tempo.

Nel secondo caso, invece, poiche´ il farmaco deve essere me- tabolizzato, la concentrazione, a partire dal valore iniziale uguale a 0, aumenta fino a un valore massimo, per poi dimi- nuire.

I grafici riportati nella figura in grigio chiaro e in grigio scuro rappresentano, nei due casi, la velocita` di variazio- ne della concentrazione ematica, espressa in mg/(lh), in funzione del tempo, espresso in h, per un certo farmaco.

In figura e` riportata anche la retta tangente al grafico disegnato in grigio scuro nel punto corrispondente a t à 0.

O

t(h) 64

2,5

–20 dC

dt mg / lh

(

)

1 Stabilisci quale dei due grafici corrisponde all’assunzio- ne per via endovenosa e quale all’assunzione per via orale, motivando in modo esauriente la tua scelta.

2 In base alle informazioni che puoi ricavare dai grafici, determina le espressioni analitiche delle funzioni rap- presentate in grigio chiaro e in grigio scuro, supponen- do che esse siano rispettivamente della forma:

f tÖ Ü à A 5e⇣ ^ˇ2tˇ e^{ˇ 25t}⌘ g tÖ Ü à Be^kt

Per il farmaco in questione si sa che la concentrazione ini- ziale (ossia per t à 0), in caso di assunzione per via endove- nosa, e` pari a 50 mg/l.

3 Deduci le espressioni analitiche delle funzioni CoÖ Ü e Ct eÖ Ü, che esprimono la concentrazione del farmacot nel sangue rispettivamente nel caso di somministrazione per via orale e per via endovenosa e rappresentale graficamente.

La biodisponibilita` di un farmaco e` la frazione del principio attivo somministrato che raggiunge la circolazione sanguigna; se la somministrazione avviene per via endovenosa, la biodisponibilita` e` massima e uguale a 1 (100%), mentre nel caso di una somministrazione per altra via si hanno valori inferiori a causa del parziale assor- bimento e del metabolismo.

4 Calcola la biodisponibilita` del farmaco in esame nel caso della somministrazione per via orale, tenendo conto che essa e` definita dal seguente rapporto, espresso in percentuale:

Öá1 0

CoÖ Üdtt Öá1

0

CeÖ Üdtt

SIMULAZIO NI DELLA PROVA D’ESAME

Problema 2 - Un contenitore «parabolico»

Andrea e` uno studente di ingegneria con l’hobby del bricolage e decide di costruire un contenitore di legno com- pensato, come quello riportato in figura, da tenere sulla propria scrivania.

l

l l

2

l Andrea vuole che il contenitore soddisfi i seguenti requisiti: 2

1 il fondo deve essere quadrato;

2 il volume deve essere uguale a 1350 cm³;

3 il divisorio deve dividere il contenitore in due parti di uguale capienza;

4 l’altezza deve essere minore del lato di base;

5 la quantita` di compensato usata deve essere la minima possibile.

Andrea, supponendo che sia trascurabile lo spessore del legno, esprime l’area S (in cm²Ü della superficie di com- pensato che occorre utilizzare per costruire una scatola che soddisfi i requisiti 1, 2, 3, in funzione della misura l (in cm) del lato di base. Rappresenta quindi la funzione ottenuta, utilizzando un software per la matematica, e trova il grafico in figura.

O

l s

10

5 15 20 25 30 35 40

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

a. Evidenzia la parte del grafico che soddisfa il requisito 4. e, interpretando il grafico, stabilisci se e` possibile o meno costruire il contenitore rispettando tutte le specifiche indicate sopra.

b.Ammettiamo che Andrea riesca a costruire il contenitore che rispetti tutte le caratteristiche desiderate. Suppo- nendo che il legno costi 20 euro al metro quadro, Andrea riesce a spendere meno di 1 euro per il materiale?

Nei suoi ragionamenti Andrea osserva anche che, se si trascura la condizione 5. e si pensa di aumentare il lato di base del contenitore, via via che quest’ultimo cresce, l’area della superficie di compensato che e` necessario utiliz- zare per costruirlo si avvicina sempre di piu` all’area della base, per cui anche il grafico della funzione rappresen- tata, all’aumentare di l, deve avvicinarsi sempre di piu`...

c. Completa il ragionamento di Andrea, sia considerando il problema dal punto di vista geometrico, sia dal pun- to di vista analitico.

SIMULAZIONE 1

Questionario

1 Di un cubo si conoscono le coordinate dei vertici di una base O 0, 0, 0Ö Ü, A 2, 0, 0Ö Ü, B 2, 2, 0Ö Ü e C 0, 2, 0Ö Ü e quelle di un altro vertice O⁰Ö0, 0, 2Ü, appartenente all’asse z.

Dopo avere dimostrato che il poligono che si ottiene sezionando il cubo con il piano passante per i punti P 0,Ö ˇ3, 0Ü, Q 3, 0, 0Ö Ü ed R 0, 0, 1Ö Ü e` un rombo, determinane area e perimetro.

2 Di una funzione fÖxÜ si sa che f Ö0Ü à 4, f⁰Ö0Ü à 0, f⁰⁰Ö0Ü à 3 ed f⁰ÖxÜ à f⁰⁰⁰ÖxÜ á x.

Determina l’espressione analitica della funzione.

3 Data una funzione f xÖ Ü, continua nell’intervallo [0, 5], sappiamo che Ö3

0

f xÖ Üdx à ˇ1 e Ö5

0

f xÖ Üdx à 0.

Calcola, se possibile, gli integrali:

Ö25 9

f ÅÅÅ px ˇ

ÅÅÅx

p dx e

ÖpÅÅ₅ ÅÅ3 p xf xˇ ²

dx

altrimenti spiega in modo esauriente perche´ non si possono calcolare.

4 Data l’equazione parametrica kÖ á 1Üx²ˇ x á k ˇ 1 à 0, considera la funzione della variabile k che si ottiene moltiplicando fra loro la somma e il prodotto delle soluzioni.

Dopo aver verificato che tale funzione ammette un massimo assoluto, stabilisci se le soluzioni dell’equazio- ne in corrispondenza del massimo sono reali o complesse.

5 Al pronto soccorso di un grande ospedale arriva, in media, un’ambulanza ogni 6 minuti. Qual e` la probabi- lita` che, in una giornata intera, arrivino esattamente 240 ambulanze? Qual e` la probabilita` che, in un gior- no, non arrivi nemmeno un’ambulanza?

6 Data la funzione fÖxÜ à 1 x ˇ 1

ÅÅÅx

p á 2x ˇ 3, trova eventuali punti di singolarita` e determina le equazioni de- gli asintoti che il suo grafico presenta.

7 In figura sono rappresentati i grafici di una funzione f xÖ Ü, della sua derivata prima, f⁰Ö Ü, e della sua derivata seconda, fx ⁰⁰Ö Ü. Asso-x cia a ogni grafico la corrispondente funzione, motivando esau- rientemente la tua scelta.

8 Considera gli integrali

O x

–1 –1

–2 3 y

2

1

1 Ö_á1

ˇ1

dx x²á k² e

Ö_á1

ˇ1

x dx

x²á k², con k2 R.

Discuti la loro convergenza al variare del parametro k.

9 Un punto materiale si muove lungo la curva di equazioni para- metriche:

xà 2 cos t cos t ˇ 1Ö Ü yà 2 sin t 1 ˇ cos tÖ Ü

⇢

, con 0, 2⇡â Ü.

Qual e` il punto geometrico in cui esso ha massima distanza dal- l’origine degli assi cartesiani?

10 Dato il cono di centro C 1, 1, 0Ö Ü, vertice VÖ1, 1, 2 ÅÅÅ p2

Ü e raggio di base uguale a 1, determina l’equazione della superficie sferica ⌃ in esso inscritta.

SIMULAZIO NI DELLA PROVA D’ESAME

Simulazione ²

Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Problema 1 - Evoluzione di una popolazione di camosci

In un parco naturale vengono immessi 72 camosci. A causa delle limitazioni dovute alle risorse di cibo che l’ambiente puo` fornire, si stima che a lungo andare la popolazione di camosci potra` avvicinarsi sempre di piu` alla soglia limite di 1800 esemplari, senza tuttavia mai superarla.

La crescita della popolazione di camosci puo` essere modellizzata tramite una funzione della forma:

P tÖ Ü à a

1 á b 2^ˇ5t , con t 0

dove P tÖ Ü rappresenta con buona approssimazione il numero di camosci dopo un tempo t (misurato in anni) dal momento della loro immissione (t à 0Ü.

1 Dai dati che si hanno a disposizione, ricava i valori di a e b che si adattano alla situazione descritta.

2 Stima, in base al modello che hai determinato, quale sara` il numero di camosci dopo 15 anni dalla loro im- missione.

Trascorsi i suddetti 15 anni, purtroppo, la popolazione inizia a diminuire a causa di una malattia infettiva che portera` progressivamente alla morte di tutti gli esemplari.

3 Stabilisci quale delle seguenti funzioni puo` descrivere l’evoluzione della popolazione, per t 15, motivan- do adeguatamente la risposta:

a. P tÖ Ü à 450 tá 15 Ö Ü²á1

b. P tÖ Ü à 450 tˇ 15 Ö Ü⁴á1

c. P tÖ Ü à 450t² tˇ 15 Ö Ü²á1

d. P tÖ Ü à 450t⁴ tˇ 15 Ö Ü⁴á1 4 Studia e traccia il grafico, per t 0, della funzione P tÖ Ü, definita a tratti, che descrive l’evoluzione della po-

polazione di camosci nell’ipotesi di comparsa della malattia, assumendo che l’evoluzione per t 15 sia ben modellizzata dalla funzione individuata al punto precedente. Analizza in particolare che cosa accade per t à 15 dal punto di vista della continuita` e della derivabilita`. Tralascia lo studio di P⁰⁰ÖtÜ per t 15, ma precisa il minimo numero di punti di flesso compatibile con le altre informazioni ricavate sul grafico della funzione.

5 Determina la velocita` di crescita della popolazione nell’istante immediatamente precedente la comparsa della malattia infettiva e la velocita` di decrescita della popolazione nell’istante immediatamente seguente tale evento.

6 In quale momento la velocita` di crescita della popolazione di camosci e` stata massima? E qual e` il valore di tale velocita` massima? Se non fosse sopraggiunta la malattia, in quale momento si sarebbe verificata la massima velocita` di crescita?

Problema 2 - Progetto di un vaso

Un designer abbozza il disegno di un vaso, di cui e` riportato in figura un modello geometrico del profilo, trascu- rando lo spessore. Per un progetto piu` preciso il designer si affida pero` a un matematico che, con l’utilizzo di un software grafico, puo` fornire la forma finale del profilo del vaso, come superficie ottenuta dalla rotazione di una porzione del grafico di una certa funzione attorno all’asse x.

SIMULAZIONE 2

Il designer pone le seguenti condizioni:

a. il vaso deve avere un fondo piatto, di forma circolare, con il centro sull’asse di simmetria del vaso stesso;

b.l’altezza del vaso deve essere di 80 cm;

c. il vaso deve presentare nella sua parte superiore una apertura, sem- pre a forma circolare, il cui raggio non puo` superare quello del fondo.

Il matematico, dopo varie prove, osserva che il profilo del vaso puo` essere ben rappresentato dalla superficie che si ottiene ruotando attorno all’asse x l’arco di grafico di una funzione del tipo fkÖ Ü àx

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ kx á 1 x²á 1 r

, con k 2 R e 0  x  8, avendo scelto come unita` di misura sul piano cartesiano un seg- mento di lunghezza pari a 1 dm. L’estremo dell’arco corrispondente a x à 0 genera, nella rotazione, la circonferenza che delimita il fondo, men-

tre l’estremo corrispondente a x à 8 genera, nella rotazione, la circonferenza che delimita l’apertura superiore.

1 Spiega perche´ non e` restrittivo assumere k 0 e, nel seguito, supponi che questa condizione sia soddi- sfatta.

2 Dopo aver calcolato il raggio del fondo del vaso, individua l’intervallo di variabilita` del parametro k, affin- che´ sia soddisfatto il requisito c.

3 Per ogni valore del parametro k, determina la «massima larghezza» della superficie che rappresenta il profi- lo del vaso, intendendo per «massima larghezza» la misura del diametro della circonferenza massima del profilo, espressa in funzione di k; discuti in modo particolare che cosa accade quando k à 0.

4 Traccia il grafico della funzione corrispondente al piu` grande valore di k compatibile con la condizione c., nell’intervallo 0  x  8.

5 Scrivi l’espressione della funzione y à C kÖ Ü che rappresenta la lunghezza della circonferenza massima del profilo del vaso in funzione del parametro k; calcola lim

k!0^áC kÖ Ü e interpreta geometricamente il risultato ot- tenuto, anche considerando quanto hai ottenuto al punto 3.

Dopo avere realizzato un prototipo del vaso corrispondente al valore di k considerato al punto 4., il designer de- cide di progettare una serie di vasi, tutti con l’apertura superiore avente il raggio uguale a quello del fondo piatto, ma di altezze diverse, secondo i seguenti valori: 20 cm, 40 cm, 60 cm e 80 cm.

6 Calcola le capacita` dei vasi corrispondenti alle diverse altezze richieste.

Questionario

1 Data la funzione f xÖ Ü à ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 sin²x ˇ 8 sin x á 3

p , determina il suo insieme immagine.

2 Dato il triangolo OAB, con O 0, 0, 0Ö Ü, A 3, 0, 0Ö Ü e B 0, 4, 0Ö Ü, sia V 0, 0, 4Ö Ü il vertice di una piramide di base OAB e altezza VO. Determina l’ampiezza dell’angolo diedro che il piano ABV forma con il piano di base del- la piramide.

SIMULAZIO NI DELLA PROVA D’ESAME

3 Nelle seguenti figure sono riportati i grafici di quattro funzioni. Con considerazioni che puoi dedurre dai grafici, individua quale tra essi puo` rappresentare un integrale particolare dell’equazione differenziale y⁰à 1

y. In seguito risolvi l’equazione e deduci dal grafico scelto l’integrale particolare che in esso e` rappre- sentato.

O 1 x

1

–1 –1 –

–2 2 3 y

1 2 1 2

O 1 x

– 1 y

1 2 1

2

A

B

O 1 2 3 4 x

1 2 3 y

1 2

O 1 x

3 2 1 4 5 y

1

C 2 D

4 Un’azienda che produce volani per il badminton, vendendoli in confezioni da 10 pezzi, da` la possibilita` di restituire una confezione nel caso in cui vengano trovati piu` di 2 volani difettosi.

Qual e` la probabilita` che, su 1000 confezioni vendute, nemmeno una venga restituita, se la probabilita` che un volano sia difettoso e` del 3%?

SIMULAZIONE 2

5 Data la funzione f xÖ Ü à Ö1

0

ln 1 á txÖ Üdt, studia la sua continuita` per x à ˇ1 e x à 0.

6 Discuti la verita` della seguente affermazione: tra tutti i parallelepipedi rettangoli a base quadrata, il cubo e` quel- lo che ha superficie totale di area massima.

7 Data la funzione f xÖ Ü à

e^xáa x  2

bx ˇ 1

2x ˇ 1 x > 2 8

<

:

, determina i valori da assegnare ai parametri a e b affinche´ essa

sia continua per x à 2. La funzione cosı` ottenuta presenta asintoti?

8 Un solido ha per base il quadrato colorato di grigio in figura. Sezionandolo con piani paralleli all’asse y e perpendicolari all’asse x, si ottengono regioni piane il cui contorno superiore e` un arco di cosinusoide i cui punti di ordinata 0 hanno quota uguale a 1 e i cui punti di quota 0 stanno sul contorno del quadrato. Cal- cola il volume del solido.

O x –1 –1

y 1

1

9 Date la superficie sferica ⌃ centrata nell’origine e avente raggio 3 e la retta passante per i punti A 1, 1, 1Ö Ü e B 0, 0, 1Ö Ü, siano P e Q i loro punti di intersezione. Determina le equazioni dei piani tangenti a ⌃ in P e Q e il valore di ciascuno degli angoli diedri che questi due piani individuano intersecandosi.

10 Un punto materiale si muove su di un piano cartesiano e le sue equazioni del moto sono le seguenti:

x à 10^t y à t¹⁰ 10 8

<

:

, dove il tempo t e` espresso in secondi e le coordinate sono espresse in metri.

Qual e` la direzione del moto all’istante t à 10s?

SIMULAZIO NI DELLA PROVA D’ESAME

Simulazione ³

Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Problema 1 - Una gara di sci e le giornaliste sportive

Le giornaliste sportive Emanuela e Barbara stanno osservando il grafico riportato in figura, dove la curva nera rappresenta lo spazio s (in metri), percorso da uno sciatore durante una gara, in funzione del tempo t (in secon- di), mentre in grigio e` rappresentata (in parte) la retta tangente alla curva nel punto A. Il punto B e` un punto di flesso.

t(s) s(m)

C

A B

O 5 10 20

100 320 400 800

40

Barbara deduce dal grafico alcune considerazioni che lasciano stupita Emanuela:

– prima dell’istante in cui veniva fatto partire il cronometro (t à 0Ü, probabilmente agli sciatori era concesso di percorrere un tratto in discesa per «lanciarsi»;

– la gara prevedeva un tratto in salita e uno in discesa;

– dopo 10 s la velocita` dello sciatore era esattamente di 16 m/s;

– la velocita` media dello sciatore nell’intervallo di tempo considerato e` stata di 20 m/s e, durante la sua perfor- mance, in due diversi istanti la velocita` dello sciatore e` stata esattamente uguale alla velocita` media.

1 Giustifica le affermazioni che Barbara ha fornito a Emanuela.

2 Supponendo che la curva nera riportata in figura abbia un’espressione analitica del tipo s tÖ Ü à at³á bt²á ct á d, determina i coefficienti a, b, c e d in base ai dati che puoi ricavare dal grafico.

Da ultimo Barbara afferma che, «a occhio», sembra che la curva abbia una simmetria rispetto al punto B e che, pertanto, lo sciatore, nell’istante in cui il cronometro e` stato fatto partire e nell’istante finale, avesse la stessa velocita`.

3 Utilizzando la funzione che hai determinato al punto 2., verifica se sussiste o meno la simmetria rispetto a Be, di conseguenza, stabilisci se e` vero o meno che nell’istante finale la velocita` dello sciatore e` stata la stes- sa dell’istante iniziale.

4 Dopo avere disegnato il grafico della funzione che rappresenta l’andamento della velocita` nel tempo, de- termina la minima velocita` che lo sciatore ha raggiunto e ridiscuti, in base al grafico trovato, l’ultima ipote- si avanzata da Barbara.

5 Determina l’espressione dell’accelerazione dello sciatore in funzione del tempo e disegna il suo grafico.

Che significato dai al fatto che l’accelerazione, nell’intervallo di tempo della gara, assume sia valori negati- vi, sia valore 0, sia valori positivi?

6 Calcola l’integrale definito dell’accelerazione nell’intervallo di tempo della gara. Che significato puoi dare al risultato trovato?

SIMULAZIONE 3

Problema 2

Dato un angolo di vertice O e ampiezza 2↵ (fig. 1), considera, sulla sua bisettrice, un punto P a distanza x da O e costruisci la circonferen- za di centro P tangente ai lati dell’angolo.

1 Stabilisci quali sono gli intervalli di variabilita` di ↵ e di x affin- che´ il problema geometrico abbia significato.

2 Dimostra che l’area del settore circolare evidenziato in figura e`

una funzione di x che ha per grafico una semiparabola e spiega perche´ essa puo` volgere la concavita` soltanto verso l’alto.

P x

α α

H

O Figura 1

Stabilito che l’area del settore circolare e` una funzione del tipo y à kx², considera ora il coefficiente k come funzione dell’angolo ↵: k à k ↵Ö Ü.

3 In figura sono riportati i grafici della funzione y à k ↵Ö Ü e della sua derivata prima, nell’intervallo di valori di ↵ ammessi affinche´ il problema geometrico abbia significato: associa a ciascun grafico la corrispondente funzione.

O α y

Come varia la semiparabola di cui al punto 2. al variare di ↵?

4 Giustifica la presenza di un massimo per la funzione y à k ↵Ö Ü e calcolane approssimativamente il valore.

5 Ricordando che Ö

sin²x dx à 1 2x ˇ 1

4 sin 2xÖ Ü á c, calcola, se possibile in modo esatto, altrimenti in modo approssimato, l’area della regione colorata e l’area della regione puntinata in figura.

Questionario

1 Il dominio della funzione f xÖ Ü à ln ln ln ln xÖ Ö Ö ÜÜÜ e` l’insieme:

A Ö1, á1Ü B Ö0, á1Ü C Öe, á1Ü

D nessuno dei precedenti

Individua la risposta esatta e motiva adeguatamente la tua scelta.

SIMULAZIO NI DELLA PROVA D’ESAME

2 In figura sono rappresentati i punti A 0, 0, 1Ö Ü, B 1 2, 1

2, 0 , C 0, 1

2, 0 e D 1

2, 0, 0 . P e` un punto gene- rico della retta AB e ↵ rappresenta l’ampiezza dell’angolo C bPPD. Dopo aver dimostrato che il triangolo CPD e` isoscele sulla base CD, determina la posizione di P per cui ↵ e` massima.

O z

A

B D

P

C

y x

α

2 1 1

1

–1 –2

3 Dallo studio dell’andamento di una variabile economica y in funzione del tempo t (espresso in anni), emerge che la velocita` istantanea di variazione di y e` direttamente proporzionale al quadrato della stessa y.

Sapendo che, nell’istante in cui l’analisi e` iniziata (t à 0Ü, il valore di y era uguale a 10 e che dopo 10 anni esso e` divenuto uguale a 100, ci si chiede dopo quanti anni la variabile assumera` valori negativi.

4 Data una funzione del tipo f xÖ Ü à k

1 á x², stabilisci se puo` essere considerata come funzione densita` di pro- babilita` di una variabile aleatoria X. In caso affermativo, determina il valore di k affinche´ essa lo sia, calcola il valor medio e la probabilita` che 0 < X < 1. In caso negativo, spiega esaurientemente perche´.

5 In figura e` rappresentata la regione di piano compresa tra il grafico della funzione f xÖ Ü à x²ˇ x³e l’asse x, nell’intervallo 0, 1â ä. Calcola i volumi dei solidi di rotazione che si ottengono ruotando la regione attorno all’asse x e attorno all’asse y.

O x y 0,4 0,2

0,2 0,4 0,6 0,8 1

6 Data una funzione del tipo:

f xÖ Ü à ax³á bx²á bx á a con a e b reali e a 6à 0,

discuti il numero e la tipologia di punti stazionari e di punti di flesso che puo` presentare il suo grafico al va- riare di a e b.

SIMULAZIONE 3

7 Tra tutte le primitive della funzione f xÖ Ü à x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5x²ˇ 2

p , determina quella che assume valore 16

15 per xà ÅÅÅÅÅ

3 5 r

e denotala con F xÖ Ü. Qual e` l’equazione della retta tangente al grafico di F xÖ Ü nel punto di ascissa ÅÅÅÅÅ

6 5 r

? 8 Giovanni fa parte di una classe di venti alunni e l’insegnante di storia, per estrarre a sorte cinque persone

da interrogare, utilizza un dado a venti facce, che lancia per cinque volte consecutive.

12 8

10

1 3

7

a. Qual e` la probabilita` che il numero d’ordine di Giovanni esca esattamente una volta?

b.Quante volte dovrebbe lanciare il dado l’insegnante affinche´ la probabilita` che esca il numero di Gio- vanni esattamente una volta sia massima?

9 Discuti la verita` della seguente affermazione: se una funzione e` direttamente proporzionale alla sua derivata se- conda, allora e` una funzione di tipo goniometrico.

10 Dopo aver determinato il dominio della funzione f xÖ Ü à Öe^x

1

Öln tܲdt, stabilisci in quali intervalli essa assu- me valori positivi, nulli o negativi. Calcola infine, se possibile, lim

x!⌃1f xÖ Ü, altrimenti spiega esaurientemen- te perche´ non e` possibile.

SIMULAZIO NI DELLA PROVA D’ESAME

Problema 1 - Vendite attese di un nuovo prodotto

Un’azienda si appresta a lanciare sul mercato un nuovo prodotto; il numero di unita` che ci si aspetta di vendere nei primi 20 giorni e` ben modellizzato dalla

funzione rappresentata in figura, dove t rap- presenta il tempo, misurato in giorni, a partire dall’istante t à 0 in cui inizia la campagna pubblicitaria mentre y rappresenta il numero di unita` vendute, espresse in migliaia. Nel gra- fico della funzione sono stati messi in eviden- za il punto di massimo e il punto in cui cam-

bia la concavita`. t(giorni)

y numero di unità vendute (migliaia)

O 1

20 1

1 Tra le seguenti funzioni una sola e` adatta a rappresentare, per 0  t  20, il numero di unita` del prodotto che ci si aspetta di vendere nei primi 20 giorni. Individua quale, giustificando adeguatamente la risposta.

i. f ÖtÜ à a á te^ˇbt con a > 0 e b > 0 ii. f ÖtÜ à ate^ˇbt con a > 0 e b > 0 iii. f ÖtÜ à bt ˇ at² con a > 0 e b > 0 iv. f ÖtÜ à bt á at³ con a > 0 e b > 0

2 Sapendo che la velocita` di variazione delle vendite e` di 3 unita`/giorno nell’istante t à 0 ed e` minima dopo 10 giorni, determina i valori dei parametri a e b della funzione individuata al punto precedente verificando che a à 3 e b à 0,2. Secondo questo modello in quale istante si ha il massimo numero di unita` vendute e a quanto ammonta tale massimo numero?

3 Traccia il grafico che rappresenta l’andamento della velocita` di variazione delle vendite nei primi 20 giorni.

4 Determina il numero medio di unita` che ci si aspetta di vendere nel corso dei primi 20 giorni a partire dal- l’inizio della campagna pubblicitaria.

Nella costruzione del modello precedente, si e` supposto che la campagna pubblicitaria avesse una durata di 5 giorni e che non venissero fatte altre campagne pubblicitarie nel corso dei primi 20 giorni. Si vuole costruire ora un secondo modello delle vendite attese, supponendo questa volta che, nell’istante in cui cambia la concavita`

del grafico della funzione del modello precedente (istante che indichiamo con t^⇤e che devi determinare), inizi una seconda campagna pubblicitaria della stessa durata della prima.

In base a questo secondo modello, l’andamento delle vendite e` descritto dalla funzione gÖtÜ avente il grafico in figura.

Si suppone che il grafico della funzione gÖtÜ:

t(giorni) t*

numero di unità vendute (migliaia)

O 1

20 1

– coincide con quello di f ÖtÜ nell’intervallo 0  t  t^⇤;

– sia il corrispondente in una opportuna tra- slazione del grafico di f ÖtÜ con 0  t  t^⇤ nell’intervallo t^⇤ t  20.

5 Determina l’espressione analitica di gÖtÜ, studiandone in particolare la continuita`

e la derivabilita`.

6 Secondo il modello espresso dalla funzione gÖtÜ, di quanto aumenta in percentuale il numero medio di uni- ta` vendute nei primi 20 giorni rispetto al primo modello?

SIMULAZIONE 4

Simulazione ⁴

Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Problema 2 - Evoluzione di una popolazione di volpi

Il numero di volpi di un dato branco, a causa di variazioni nella disponibilita` di cibo, oscilla nel tempo. La velocita` vÖtÜ con cui varia il numero di volpi del branco e` ben modellizzata, nei pri- mi 20 anni dall’istante iniziale di osservazione (corrispondente a t à 0), da una funzione del tipo:

vÖtÜ à A á B sin !t [*]

dove A, B e ! sono parametri positivi, v e` la velocita` in numero di volpi/anno e t e` il tempo in anni.

1 Sapendo che il periodo della funzione [*] e` di 10 anni e che la velocita` di variazione varia tra un minimo di ˇ4 volpi/anno e un massimo di 12 volpi/anno, determina A, B e !. Specifica inoltre in quali istanti, duran- te i primi 10 anni, la velocita` di variazione e` massima e in quali minima.

2 Con i dati fin qui assegnati e` possibile stabilire il numero di volpi del branco dopo 15 anni? E` possibile sta- bilire di quanto e` variato il numero di volpi del branco tra il decimo e il ventesimo anno?

3 Determina l’espressione analitica della funzione PÖtÜ che esprime la numerosita` del branco di volpi in fun- zione del tempo, nell’ipotesi che la popolazione iniziale sia di 10 volpi. Stabilisci il numero di volpi del branco previsto da questo modello dopo 2 anni e mezzo, dopo 5 anni e dopo 10 anni.

4 Traccia il grafico della funzione PÖtÜ trovata al punto precedente, con 0  t  10. Secondo il modello espresso da questa funzione, e` possibile che la popolazione di volpi si estingua?

5 Supposto che valga sempre il modello[*]e valgano le condizioni di cui al punto 1, come deve essere il nu- mero N0di volpi del branco nell’istante iniziale t à 0 affinche´, nel corso dei primi 10 anni, il branco rag- giunga un picco di almeno 100 esemplari?

Questionario

1 Individua centro e raggio della circonferenza che costituisce l’intersezione delle due superfici sferiche ⌃1e

⌃2, aventi rispettivamente centri nei punti C1Ö2, ˇ1, 1Ü e C2Öˇ1, 0, 1Ü e raggi r1à r2à 2.

2 In figura e` riportato il grafico della funzione gÖxÜ à ln â f ÖxÜä, avente come asintoto verticale la retta di equazione x à ˇ1. Traccia un grafico plausibile della funzione f ÖxÜ.

x y

O

x = –1

g(x) = ln[f (x)]

SIMULAZIO NI DELLA PROVA D’ESAME

3 Verifica che il triangolo ABC di vertici AÖ2, 0, ˇ2Ü, BÖˇ2,4,ˇ2Ü e CÖˇ2, 0, ˇ1Ü e` isoscele e calcola il volume del tetraedro che ha come base il triangolo ABC e come vertice il punto DÖ0, 1, ˇ4Ü.

4 Estratta a caso una cifra tra 0 e 9, sia X la variabile aleatoria che rappresenta la cifra estratta. Consideriamo la variabile aleatoria Y cosı` definita: Y à sin ⇡

2X

⇣ ⌘

. Determina la distribuzione di probabilita`, la media e la deviazione standard di Y.

5 Per quale valore reale di k il limite per x ! 0 della funzione f ÖxÜ à Öx á e^kxÜ^1x risulta uguale a 2?

6 Un oggetto puntiforme di massa m à 1 kg si muove su un piano lungo una traiettoria curvilinea secondo la legge oraria (in unita` SI) descritta dalle equazioni: xÖtÜ à t²á sin ⇡t

yÖtÜ à 2t³á cos ⇡t. Determina il modulo della forza che agisce sull’oggetto all’istante t à 1 s.

7 La popolazione di una colonia di batteri e` di 2000 batteri al tempo t à 0 e di 2500 al tempo t à 1. Si suppo- ne che la crescita della popolazione sia descritta dall’equazione differenziale y<sup>0</sup>ÖtÜ à kyÖtÜ, dove k e` una co- stante e yÖtÜ la popolazione di batteri al tempo t, misurato in ore. Dopo quanto tempo la popolazione di batteri sara` cresciuta del 75% rispetto alla popolazione iniziale all’istante t à 0?

8 Le bozze di un libro contengono in media 2 errori per pagina. Qual e` la probabilita` che nella prossima pagi- na che verra` esaminata dal correttore di bozze ci siano almeno tre errori?

9 Determina per quale/i valore/i di k la tangente al grafico della funzione f ÖxÜ à ln x² nel punto di ascissa x à k passa per l’origine degli assi.

10 Considera la regione infinita di piano limitata dal grafico della funzione f ÖxÜ à e^ˇjxje dall’asse x.

a. Stabilisci se tale regione di piano ha area finita e in caso affermativo specificane il valore.

b.Stabilisci se il solido che si ottiene ruotando tale regione di piano intorno all’asse x ha volume finito e in caso affermativo specificane il valore.

c. Stabilisci se il solido che si ottiene ruotando tale regione di piano intorno all’asse y ha volume finito e in caso affermativo specificane il valore.

SIMULAZIONE 4

Problema 1 - Sicurezza stradale

Quando si viaggia in automobile, le cinture di sicurezza permettono di ridurre l’accelerazione che il nostro corpo subisce in caso di urto. Tuttavia esse non risolvono il problema di eventuali urti della testa ed e` per questo moti- vo che le automobili vengono dotate di airbag.

Infig. 1sono riportati i grafici, ricostruiti mediante dati ricavati da crash-test, che descrivono l’andamento nel tempo dell’accelerazione che la testa subisce in un urto senza airbag (in nero) e con airbag (in grigio). L’accelera- zione e` espressa in multipli dell’accelerazione di gravita` (gÜ e il tempo e` espresso in millisecondi (ms).

t(ms) a(g)

O 20

20 40 60 80 75

100 120140 160 180 200 50 4060

80 100 120 140 160 180

–20 200

75

Figura 1

1 Determina le espressioni analitiche delle due funzioni rappresentate in figura, sapendo che hanno entram- be la forma: a tÖ Ü à Ae^{ˇk tˇBÖ Ü2}, dove A, B e k sono parametri positivi.

2 Le espressioni analitiche delle funzioni che hai ottenuto al punto 1. si possono scrivere nella forma:

a tÖ Ü à Cf tÖ Ü, dove C e` una costante opportuna ed f tÖ Ü rappresenta la funzione densita` di probabilita` di una variabile aleatoria distribuita normalmente con un opportuno valor medio e una opportuna deviazione standard . Determina i valori dei parametri C, e per le due funzioni accelerazione che hai trovato.

Per il calcolo dei parametri che permettono di valutare il danno che l’urto arreca alla testa, ha interesse conoscere il valor medio dell’accelerazione a tÖ Ü, in un certo intervallo di tempo, compreso nell’intervallo di tempo in cui l’urto si verifica.

3 Utilizzando i risultati che hai trovato al punto 2. e servendoti delle tavole relative alla funzione di riparti- zione della distribuzione normale standard o di un opportuno software, calcola il valor medio dell’accelera- zione nei seguenti casi:

– urto senza airbag nell’intervallo [40, 120];

– urto con airbag nell’intervallo [0, 150].

Approssimativamente di quale percentuale riduce l’accelerazione media l’utilizzo dell’airbag?

Un altro problema e` la forza di trazione o di taglio che si esercita sul collo durante l’urto, poiche´ esistono dei li- miti oltre i quali si hanno lesioni al midollo spinale.

SIMULAZIO NI DELLA PROVA D’ESAME

Simulazione ⁵

Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Il grafico rappresentato infig. 2descrive l’andamento nel tempo della massima forza di trazione sopporta- bile dal rachide cervicale.

t(ms) F(kN)

O 10 20 30

36

40 50 60

4

3

2

1 3,3

Figura 2

Il grafico rappresentato infig. 3descrive invece l’analogo andamento per quanto riguarda la forza di taglio.

t(ms) F(kN)

O 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 3,0

2,0

1,0 0,5 1,5 2,5 3,5

Figura 3

4 Determina l’espressione della funzione F1Ö Ü che rappresenta l’andamento nel tempo della forza di trazio-t ne, sapendo che entrambi gli archi del suo grafico hanno espressione analitica del tipo:

F tÖ Ü à A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ tˇ 36

j j

p á 3.

Determina poi l’espressione della funzione F2Ö Ü che rappresenta l’andamento nel tempo della forza di ta-t glio, sapendo che entrambi gli archi del suo grafico hanno espressione analitica del tipo:

F tÖ Ü à B t ˇ 30Ö Ü²á1,5.

5 Studia la derivabilita` delle funzioni F₁Ö Ü ed Ft ₂Ö Ü che hai ottenuto al punto 4.t

SIMULAZIONE 5

Problema 2

In figura e` riportato il grafico della funzione f xÖ Ü à x á sin x.

1 Calcola i limiti della funzione agli estremi del suo dominio e stabilisci se il grafico ammette o meno asintoti di qualunque genere.

x y

y = x O

2 Stabilisci se la funzione e le sue derivate prima e seconda sono o meno periodiche e, in caso affermativo, determina il loro periodo minimo.

3 Dimostra che il grafico della funzione ammette infiniti punti di flesso, per i quali devi:

– determinare le coordinate;

– verificare che essi sono tutti allineati su una retta, di cui e` richiesta l’equazione;

– stabilirne la tipologia;

– determinare le equazioni delle rette tangenti al grafico in tali punti;

– verificare che ognuno di essi e` centro di simmetria per il grafico della funzione.

4 Dimostra che il grafico della funzione, come evidenziato in figura, e` interamente contenuto in una striscia di piano, di cui e` richiesta una rappresentazione analitica.

5 Per ognuna delle due regioni di piano colorate in figura, calcola l’area e il volume del solido che si ottiene con una rotazione completa attorno all’asse x.

6 Considera le regioni di piano contenute nel primo quadrante, limitate dal grafico della funzione e dalla bi- settrice di tale quadrante, congruenti a quella in grigio chiaro. Tali regioni di piano, nella rotazione com- pleta intorno all’asse x, generano dei solidi i cui volumi formano una successione: verifica che tale succes- sione e` una progressione aritmetica di cui devi specificare la ragione.

SIMULAZIO NI DELLA PROVA D’ESAME

Questionario

1 Dopo aver determinato il dominio della funzione f xÖ Ü à log₂₀₁₆x ÅÅÅx

2016p , calcolane i limiti agli estremi del domi- nio stesso.

2 Una circonferenza nello spazio e` descritta dal sistema: x²á y²á z²ˇ 2x ˇ 2y ˇ 14 à 0 xˇ y á z à k

⇢

, con k2 R.

La circonferenza esiste per ogni valore reale di k? Per quale valore di k la circonferenza e` massima?

3 Il professore di matematica richiede ai suoi alunni di discutere su quale andamento possa avere una generi- ca funzione di cui si sa solamente che ha la stessa espressione analitica della sua derivata seconda.

Barbara disegna l’asse x.

Paolo disegna la curva esponenziale di equazione yà e^x. Laura disegna la curva esponenziale di equazione yà e^ˇx.

Il professore ai tre alunni risponde come segue: «avete ragionato bene tutti e tre, ma la vostra risposta e` in- completa». Che cosa intende dire?

4 Due variabili casuali x e ⇠ hanno entrambe distribuzione normale, la prima con valor medio mà 3 e va- rianza s²à 0,25, la seconda con valor medio à ˇ1 e varianza ²à 0,64. E` piu` probabile trovare 2 < x < 4 o 2 < ⇠ < 4? Motiva la risposta facendo uso delle tavole della distribuzione normale standardizzata.

5 In figura sono rappresentati il grafico di una funzione del tipo f xÖ Ü à logkx, con k > 1, e un quadrato di la- to 1.

Dopo aver determinato per quali valori di k il grafico della funzione interseca il lato del quadrato che giace sulla retta di equazione xà 2, per tali valori di k traccia il grafico qualitativo della funzione che rappresenta l’area colorata in figura al variare di k.

y

P

x 1

2

2 3

1 –1

6 Un cono retto ha centro di base nel punto C 2,Ö ˇ2, 0Ü, vertice nel punto V 2, ˇ2, 4Ö Ü e raggio di base ugua- le a 2. Determina le equazioni delle generatrici del cono che giacciono sul piano passante per l’origine, per C e per V.

7 La seconda legge della dinamica, per un corpo che cade in un fluido sotto l’azione della forza gravitaziona- le, poiche´ esso e` anche soggetto all’attrito viscoso del fluido, ha la forma:

mdv

dt à mg ˇ bv [*]

dove m e` la massa del corpo, v la sua velocita`, g l’accelerazione di gravita` e b un coefficiente di attrito.

SIMULAZIONE 5

Verifica che la soluzione dell’equazione differenziale [*] tale che la velocita` iniziale sia v0 e` la funzione vÖtÜ à mg

b á v0ˇ mg b

⇣ ⌘

e^ˇmbt.

I quattro grafici qui sotto riportano invece l’andamento dell’accelerazione nel tempo nei quattro seguenti casi:

a. v0à 0 b.0 < v₀< mg

b c. v0à mg

b d. v0> mg b

O t

a

g

O t

a g

A B

O

t a

g

O t

a g

C D

Associa a ciascun grafico il caso corrispondente, motivando esaurientemente le tue scelte.

8 Un laureando sta correggendo la prima stesura della sua tesi e rileva mediamente 1 errore di battitura ogni 10 pagine.

a. Qual e` la probabilita` che, scelta una pagina a caso, essa presenti al massimo un errore di battitura?

b.Se la tesi conta in totale 400 pagine, qual e` la probabilita` che essa contenga al massimo 10 errori in tutto?

9 Stabilisci se e` possibile calcolare lim

x!á1

2x ˇ sin x

3x á sin x utilizzando il teorema di De L’Hoˆpital, motivando ade- guatamente la tua risposta.

Puoi fare le stesse considerazioni anche per il limite lim

x!0

2x ˇ sin x 3x á sin x? In ogni caso determina il valore dei due limiti senza utilizzare il teorema.

10 Una funzione f xÖ Ü e` continua nell’intervallo [ˇ2, 6] e derivabile nell’intervallo ˇ2, 6Ö Ü. Sappiamo che fÖ Ü à ˇ6 1

3 e che la retta tangente al grafico in un generico punto dell’intervallo non ha mai inclinazione superiore a 45 rispetto al semiasse positivo delle ascisse. E` possibile che f ˇ2Ö Ü sia uguale a ˇ9?

SIMULAZIO NI DELLA PROVA D’ESAME

Problema 1 - Costi e ricavi

Un’azienda di prodotti chimici commercializza, tra i suoi prodotti, un liquido refrigerante. In una settimana l’a- zienda puo` produrre al massimo 300 litri di tale liquido e tutto il liquido prodotto viene venduto. In figura sono rappresentati:

– in colore nero il grafico della funzione y à CÖxÜ che esprime il costo complessivo (espresso in centinaia di eu- ro) necessario per la produzione di x centinaia di litri di liquido;

– in colore grigio il grafico della funzione y à RÖxÜ che esprime il ricavo (espresso in centinaia di euro) necessa- rio per la produzione di x centinaia di litri di liquido.

La funzione costo presenta un flesso a tangente orizzontale in x à 1, mentre la funzione ricavo e` lineare.

x y

O 0,2 1

2 8

costo complessivo (centinaia di euro)

quantità prodotta (centinaia

di litri) 3

1 Determina l’espressione analitica della funzione ricavo.

2 Una sola delle seguenti funzioni e` adatta a rappresentare l’andamento del costo:

i. f ÖxÜ à ax³á bx ii. f ÖxÜ à ax⁴á bx³ iii. f ÖxÜ à ax²á bx ln x iv. f ÖxÜ à ax²á e^bx

Individua quale, giustificando adeguatamente la risposta, e determina i valori dei parametri a e b in base alle in- formazioni deducibili dal grafico. Verifica che risulta a à 8 e b à ˇ16.

3 Determina il valore medio del costo di produzione (arrotondato a un numero intero) per una produzione settimanale compresa tra 100 e 300 litri.

4 Si definisce costo unitario il rapporto tra il costo complessivo di produzione e la quantita` prodotta, dunque la funzione costo unitario CuÖxÜ nel caso in esame e` definita da:

CuÖxÜ à CÖxÜ x

Quale livello di produzione settimanale di liquido refrigerante garantisce che il costo unitario sia minimo?

5 Dopo avere tracciato un grafico qualitativo della funzione UÖxÜ, che esprime l’utile (in centinaia di euro) derivante dalla produzione e vendita settimanale di x centinaia di litri di liquido, considera le seguenti af- fermazioni e, per ciascuna di esse, stabilisci se e` vera o falsa, giustificando adeguatamente le risposte:

i. «la produzione settimanale che massimizza l’utile derivante dalla produzione e vendita del liquido refrige- rante e` quella che minimizza il costo unitario»;

ii.«qualsiasi sia il livello di produzione, in una settimana non e` possibile ottenere, dalla produzione e vendita del liquido refrigerante, un utile superiore a 800 euro».

SIMULAZIONE 6

Simulazione ⁶

Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Problema 2 - Moto di uno smartphone appeso a una molla

Considera una molla appesa verticalmente a cui sono at- taccati una massa e un foglio di cartoncino; il foglio e` di- sposto perpendicolarmente alla direzione di oscillazione della molla per ottenere un moto smorzato. Come massa si e` considerato un cellulare che permetteva una imme- diata rilevazione della misura dell’accelerazione di un’e- stremita` della molla. L’accelerazione di un’estremita` del- la molla, nella direzione verticale, e` visualizzata dal se- guente grafico.

tempo (s) accelerazione

(m/s²)

O

5 10

2 3

1

–1 –2 –3 –4

P1

P2

P3 P

4 P

5 P

6 P

7

1 Tra le seguenti funzioni, una sola e` adatta a descrivere l’andamento nel tempo dei valori massimi dell’acce- lerazione (corrispondenti ai punti indicati in figura con P1, P2, P3,....). Individua quale, giustificando la ri- sposta:

i. y à Ae^Ctá B con A > 0 e C > 0 ii. y à Ae^Ctá B con A > 0 e C < 0 iii. y à Ae^Ctá Be^ˇCt con A > 0 e C > 0 iv. y à Ae^Ctá Be^ˇCt con A > 0 e C < 0

2 Determina i coefficienti A, B e C dell’equazione della funzione scelta al punto precedente, tenendo conto che, in base alle misure effettuate, le coordinate di P1e P2sono (1,2; 3,8) e (2,8; 2,8) e che i valori massimi dell’accelerazione, all’aumentare del tempo, decrescono tendendo ad avvicinarsi al valore di 0,5 m=s². 3 Descrivi quali trasformazioni geometriche occorre applicare alla funzione y à e^tper ottenere il grafico della

funzione y à f ÖtÜ individuata al punto precedente.

Ora consideriamo il caso in cui alla molla e` stato appeso un altro smartphone ma questa volta senza il cartoncino attaccato sotto. L’accelerazione di un’estremita` della molla, nella direzione verticale, e` visualizzata dal seguente grafico.

SIMULAZIO NI DELLA PROVA D’ESAME

tempo (s) accelerazione

(m/s²)

O

5 1

Ricercando la curva di regressione dei dati nell’intervallo temporale da 0,0s a 7,0s, si e` trovato che l’equazione della curva di regressione dell’accelerazione e` data aÖtÜ à 1,486 sin 3,816t á 4,84Ö Ü.

4 Ricava l’equazione della velocita` della molla al variare del tempo e l’equazione oraria del moto, supponen- do che la velocita` e la posizione iniziale siano tali da rendere nulle le costanti di integrazione.

5 Confronta le equazioni dell’accelerazione e dello spostamento e deduci quale e` l’equazione differenziale che descrive il moto preso in esame, nelle ipotesi di cui al punto 4.

Questionario

1 Scrivi le equazioni delle superfici sferiche tangenti alla retta r:

xà 1 á 2t yà t zà ˇ2 á t 8

<

:

nel punto PÖ1, 0, ˇ2Ü, passanti per QÖ1, 0, 2Ü e di raggio 2 ÅÅÅ

p3 .

2 In figura e` rappresentato il grafico di una funzione f :â0,12ä ! R, costituito da un arco di parabola nell’in- tervallo 0 x  5 e da un segmento nell’intervallo 5  x  12. Considerata la funzione gÖxÜ à

Öx 1

fÖtÜdt, de- termina i valori di gÖ3Ü, gÖ11Ü, g⁰Ö2Ü, g⁰Ö9Ü.

x y

O 3 5

2

8

12 9

2

SIMULAZIONE 6

3 Tra le soluzioni dell’equazione differenziale xy⁰à y ˇ x²ˇ 1 determina quella tale che la tangente al suo grafico nel punto d’intersezione con l’asse y forma con l’asse x un angolo di 135 .

4 Considera il piano ↵ di equazione x ˇ 2y ˇ z ˇ 1 à 0 e il piano , parallelo ad ↵, e passante per il punto di coordinate Ö1, 1, 2Ü. Dopo aver scritto l’equazione di , determina l’equazione del luogo dei centri delle su- perfici sferiche tangenti ai due piani ↵ e .

5 Determina l’area della regione di piano colorata in figura, limitata dalla curva di equazione x²à y²Ö4 ˇ y²Ü.

x y

O 2

–2

1 2

–1 –2

6 Una funzione f ÖxÜ e` tale che f<sup>00</sup>ÖxÜ à 2x ˇ 6; inoltre il grafico della funzione ha un punto di flesso di ordina- ta 5 e la retta tangente al grafico nel punto di flesso e` perpendicolare alla retta di equazione x ˇ 2y à 0. De- termina l’espressione analitica della funzione.

7 Determina il volume del solido ottenuto da una rotazione completa intorno all’asse y della regione finita di piano limitata dagli assi cartesiani, dal grafico della funzione y à 1

4 á x² e dalla retta di equazione x à 2.

8 Una funzione f possiede entrambe le seguenti proprieta`:

i. comunque scelto un punto P appartenente al suo grafico, tracciata la tangente in P al grafico stesso e indi- cato con Q il punto d’intersezione della tangente con l’asse x, il punto medio di PQ appartiene all’asse y;

ii.il suo grafico passa per il punto di coordinate (2, 4).

Determina l’espressione analitica della funzione f .

9 Data la funzione f ÖxÜ à k

e^xá e^ˇx, determina il valore di k in modo che f possa considerarsi la densita` di probabilita` di una variabile aleatoria continua X. Determina quindi la probabilita` che risulti e^X2 >2.

10 Il tempo di attesa a una cassa di un supermercato e` una variabile casuale avente distribuzione esponenziale, la cui media e` 2 minuti.

a. Calcola la probabilita` di dovere attendere a una cassa meno di un minuto.

b.Considerati cinque clienti del supermercato e supposto che il tempo di attesa alla cassa di ciascuno di loro sia indipendente da quello degli altri, calcola la probabilita` che almeno due di essi attendano alla cassa meno di un minuto.

SIMULAZIO NI DELLA PROVA D’ESAME

In questa sezione sono raccolte le risoluzioni delle simulazioni d’esame, nel- la stessa sequenza in cui queste ultime sono state presentate nelle pagine precedenti.

Risoluzioni delle simulazioni della

seconda prova dell’Esame di Stato

Problema 1

1 I grafici riportati nella figura rappresentano le derivate, calcolate rispetto al tempo, delle funzioni che, nei due casi, forniscono la concentrazione del farmaco nel sangue.

Nel caso in cui il farmaco sia assunto per via endovenosa, la concentrazione parte da un valore iniziale non nullo, per poi decrescere continuamente nel tempo; la derivata della concentrazione deve essere quindi una funzione che assume solo valori negativi, per cui il suo grafico puo` essere soltanto quello rappresenta- to in grigio scuro. Nel caso in cui invece il farmaco venga assunto per via orale, la concentrazione parte dal valore 0 iniziale, aumenta fino a un massimo e in seguito decresce; la sua derivata e` quindi inizialmente positiva, assume poi il valore 0 in corrispondenza del massimo di concentrazione, per diventare infine ne- gativa: il grafico riportato in grigio chiaro ben rappresenta questa situazione.

2 Dal grafico disegnato in grigio chiaro possiamo osservare che f 0Ö Ü à 64, per cui possiamo dedurre quanto segue:

f 0Ö Ü à 64 ! A 5 ˇ 1Ö Ü à 64 ! A à 16

Dunque la funzione ha espressione f tÖ Ü à 16 5e⇣ ^ˇ2tˇ e^ˇ25t⌘ .

Per quanto riguarda la funzione disegnata in grigio scuro, dal grafico deduciamo le seguenti condizioni:

g 0Ö Ü à ˇ20 g⁰Ö Ü à 80

!

B à ˇ20 kB à 8

!

B à ˇ20 k à ˇ2

5 8

<

: 8

<

: 8

<

:

La funzione ha quindi espressione g tÖ Ü à ˇ20e^ˇ25t.

3 Per quanto riguarda la funzione CoÖ Ü e` necessario integrare la funzione f tt Ö Ü, con la condizione CoÖ Ü à 0.0 Si ha dunque:

CoÖ Ü àt Ö

16 5e⇣ ^ˇ2tˇ e^ˇ25t⌘

dt à 40 e⇣^ˇ25tˇ e^ˇ2t⌘ á C CoÖ Ü à 0 ! 40 1 ˇ 10 Ö Ü á C à 0 ! C à 0

Dunque la funzione che descrive l’andamento temporale della concentrazione del farmaco, se assunto per via orale e`:

CoÖ Ü à 40 et ⇣ ^ˇ25tˇ e^ˇ2t⌘

Per quanto riguarda invece la funzione CeÖ Ü e` necessario integrare la funzione g tt Ö Ü, con la condizione CeÖ Ü à 50.0

Si ha dunque:

CeÖ Ü àt Ö

ˇ20e^ˇ25t

⇣ ⌘

dt à 50e^ˇ25tá C⁰ CeÖ Ü à 50 ! 50 á C0 ⁰à 50 ! C⁰à 0

Dunque la funzione che descrive l’andamento temporale della concentrazione del farmaco, se assunto per via endovenosa e`:

CeÖ Ü à 50et ^ˇ25t

Studiamo la funzione y à CoÖ Ü à 40 et ⇣^ˇ25tˇ e^ˇ2t⌘

, prescindendo dalle limitazioni del problema (t 0Ü.

RISOLUZIONI DELLE SIMULA ZIONI DELLA PROVA D’ESAME

Simulazione ¹

✏ Dominio: R, cioe` Öˇ1, á1Ü.

✏ Simmetrie: CoÖˇtÜ à 40ˇe^25tˇ e^2t 6à ⌃CoÖ Ü ! la funzione non e` ne´ pari ne´ dispari.t

✏ Intersezioni con gli assi cartesiani: il grafico passa per l’origine, non possono esserci altre intersezioni con l’asse t.

✏ Segno della funzione

f tÖ Ü > 0 ! e^ˇ25tˇ e^ˇ2t>0! ˇ2

5t >ˇ2t ! t > 0 La funzione risulta quindi:

– positiva per t > 0;

– negativa per t < 0.

✏ Comportamento agli estremi del dominio

tlim!ˇ1CoÖ Ü à limt _t

!ˇ140ˇe^ˇ25tˇ e^ˇ2t à lim_t

!ˇ140e^ˇ2tˇe^85tˇ 1 à ˇ1

tlim!á1CoÖ Ü à limt _t

!á140ˇe^ˇ25tˇ e^ˇ2t à 0

L’asse t e` quindi asintoto orizzontale per t! á1.

✏ Derivata prima, crescita, decrescita, massimi e minimi C⁰_oÖ Ü à f tt Ö Ü à 16ˇ5e^ˇ2tˇ e^ˇ25t

La funzione risulta derivabile in tutto il suo dominio.

Si ha:

C⁰_oÖ Üt 0! 5e^ˇ2tˇ e^ˇ25t 0! t  5

8 ln 5’ 1,01 La derivata risulta quindi:

– positiva per t < 5 8 ln 5;

– negativa per t > 5 8 ln 5;

– nulla per tà 5 8 ln 5.

La concentrazione presenta pertanto un punto di minimo in M 5

8 ln 5, 32 ÅÅÅ5 p4

✓ ◆

.

✏ Derivata seconda, concavita`, flessi C⁰⁰_oÖ Ü à 32t 1

5e^ˇ25tˇ 5e^ˇ2t

✓ ◆

Si ha:

C⁰⁰_oÖ Üt 0! 1

5e^ˇ25tˇ 5e^ˇ2t 0! t 5

4 ln 5’ 2,01 La derivata seconda risulta quindi:

– positiva per t > 5 4 ln 5;

– negativa per t < 5 4 ln 5;

– nulla per tà 5 4 ln 5.

Il grafico presenta un punto di flesso ascendente in F 5

4 ln 5, 192 5 ÅÅÅ p5

✓ ◆

.

SIMULAZIONE 1

✏ Grafico di CoÖ Ü: rappresentiamo il grafico int fig. 1, evidenziando in grigio scuro la parte relativa al pro- blema (t 0Ü.

O

t(h) 2

1 3 4 5 6 7 8 9 10

10

–10 –20 –30 20 30

Co(mg/l) M

F

Figura 1

Per quanto riguarda la rappresentazione grafica della funzione y à CeÖ Ü à 50et ^ˇ25t, non e` necessario effet- tuare lo studio completo, poiche´ si tratta di una curva esponenziale discendente, opportunamente dilatata.

Riportiamo infig. 2il grafico, evidenziando in grigio scuro la parte relativa al problema (t 0Ü.

O

t(h) 2

1 3 4 5 6 7 8 9 10

10 20 30 40 50 60 70 C

e (mg/l)

Figura 2

4 Si ha:

Öá1 0

CoÖ Üdtt Öá1

0

CeÖ Üdtt à

Öá1 0

40 e⇣ ^ˇ25tˇ e^ˇ2t⌘ dt Öá1

0

50e^ˇ25tdt à

40 lim

k!á1 ˇ 5

2e^ˇ25tá 1 2e^ˇ2t

k

0

50 lim

k!á1 ˇ5 2e^ˇ25t

k 0

à 16 25 à 64%

Problema 2

a. Indicando con l il lato di base e con h l’altezza, supponendo di esprimere le lunghezze in cm, il volume del contenitore e` dato da:

V à l²h à 1350 da cui h à 1350

l²

RISOLUZIONI DELLE SIMULA ZIONI DELLA PROVA D’ESAME

Affinche´ l’altezza sia minore del lato di base e` necessario imporre:

h < l! 1350

l² < l ! l > ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

31350

p ’ 11,05

Dal grafico pare che il problema sia compatibile, poiche´ il valore di l corrispondente al minimo dell’area pare soddisfare la condizione appena trovata.

Evidenziamo sul grafico la parte relativa al problema, in colore grigio scuro (fig. 1).

O

l s

10

5 15 20 25 30 35 40

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Figura 1

b.Troviamo l’espressione della funzione rappresentata nel grafico e determiniamo il suo minimo.

La superficie di materiale da acquistare e` data da cinque rettangoli tutti uguali, aventi un lato pari a l e l’altro pari a h, e da un quadrato di base di lato l. Possiamo quindi scrivere:

Sà S lÖ Ü à 5lh á l²à l³á 6750 l

Calcoliamo la derivata prima e ne studiamo il segno:

S⁰Ö Ü àl 2l³ˇ 6750 l²

2l³ˇ 6750 0! l ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

33375

p à 15

Il denominatore e` positivo per ogni valore di l6à 0. La derivata prima e`:

– positiva per l > 15;

– negativa per l < 15;

– nulla per là 15.

La funzione presenta un punto di minimo per là 15, in cui essa assume il valore Sminà S 15Ö Ü à 675.

La superficie di materiale che Andrea deve acquistare e` pertanto pari a 675 cm².

Se il costo al metro quadro e` di 20 euro, la spesa che Andrea deve sostenere e` pari a 1,35 euro.

c. All’aumentare del lato di base, se il volume del contenitore rimane costante, deve diminuire l’altezza, per cui il parallelepipedo si riduce sempre di piu`, fino a tendere al semplice quadrato di base, di area l².

Dal punto di vista analitico cio` e` evidente, poiche´ nell’espressione della funzione S lÖ Ü à l²á 6750

l , all’aumen- tare di l, il termine 6750

l diventa sempre piu` trascurabile, mentre tende a prevalere il termine l². Per grandi valori di l, si ha S lÖ Ü ’ l², il che equivale ancora a dire che, per grandi valori di l, il grafico riportato nelle figure

SIMULAZIONE 1

precedenti si avvicina sempre piu` a quello della parabola di equazione S à l²(fig. 2).

O

l s

10

5 15 20 25 30 35 40 45 50

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Figura 2

Questionario

1 Il cubo e la sua sezione con il piano sono mostrati infig. 1.

A G

B C 1

O 1

1 2

2

3

–2 –2

–1 –1

1

A

G 1 C

2 2

–2 –1

z

D O'

P

E F

H R K

x

y 4

5

O 1

–2 –1

–3 E –3

3 2

3 2 2

Figura 1

Gli spigoli del cubo paralleli all’asse z hanno equazioni:

AD: x à 2

y à 0 BE: x à 2

y à 2 CF: x à 0

y à 2 OO⁰: x à 0 y à 0

Determiniamo l’equazione del piano, del tipo ax á by á cz á d à 0, imponendo il passaggio per i tre punti dati:

P 2 ↵ ! ˇ3b á d à 0 Q 2 ↵ ! 3a á d à 0 R 2 ↵ ! c á d à 0

9

>=

>;

!

b à d 3 a à ˇd

3 c à ˇd

! x ˇ y á 3z ˇ 3 à 0 8

>>

>>

><

>>

>>

>:

RISOLUZIONI DELLE SIMULA ZIONI DELLA PROVA D’ESAME

Calcoliamo le coordinate dei punti di intersezione tra il piano e gli spigoli di cui sopra.

Gà ↵ \ AD:

xˇ y á 3z ˇ 3 à 0 xà 2

yà 0

!

xà 2 yà 0 zà 1 3 8

>>

><

>>

>:

! G 2, 0, 1 3 8

>>

><

>>

>:

Hà ↵ \ BE ! H 2, 2, 1Ö Ü

Kà ↵ \ CF ! K 0, 2, 5 3 Rà ↵ \ OO⁰! R 0, 0, 1Ö Ü

Le misure dei lati del quadrilatero GHKR sono:

GHà

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4á 4 9 r

à ÅÅÅÅÅÅÅÅ

40 9 r

à 2 3

ÅÅÅÅÅÅ p10

HKà 2 3

ÅÅÅÅÅÅ p10

KRà 2 3

ÅÅÅÅÅÅ p10

RGà 2 3

ÅÅÅÅÅÅ p10 Dunque il quadrilatero e` un rombo di perimetro pà 8

3 ÅÅÅÅÅÅ p10

. Per determinare l’area, calcoliamo la lunghezza delle diagonali:

GKà

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4á 4 á 16

9 r

à ÅÅÅÅÅÅÅÅ

88 9 r

à 2 3

ÅÅÅÅÅÅ p22 RHà ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

4á 4

p à 2 ÅÅÅ

p2 L’area e` data quindi da:

aà 1

2GK RHà 4 3

ÅÅÅÅÅÅ p11

2 Ponendo f⁰ÖxÜ à gÖxÜ, si ottiene l’equazione:

gÖxÜ à g⁰⁰ÖxÜ á x [1]

L’equazione omogenea associata alla[1]e`:

g⁰⁰ÖxÜ ˇ gÖxÜ à 0 [2]

L’equazione caratteristica e`:

t²ˇ 1 à 0 ! t à ⌃1

L’integrale generale della[2]e` quindi una funzione del tipo:

yà ’ xÖ Ü à c1e^xá c2e^ˇx

Cerchiamo un integrale particolare dell’equazione non omogenea, nella forma^gg xÖ Ü à ax á b. Determinia- mo i parametri a e b in modo chegg x^Ö Ü sia soluzione dell’equazione [1]:

^ gg⁰Ö Ü à ax

^ gg⁰⁰Ö Ü à 0x

Sostituendo nella [1] si ottiene:

axá b à 0 á x ! aà 1

bà 0 ! ^gg xÖ Ü à x

⇢

SIMULAZIONE 1