Lezione 13
INDAGINI CAMPIONARIE
Nelle situazioni reali quasi tutte le indagini statistiche sono effettuate su un numero limitato delle unità che costituiscono la popolazione di interesse. Si parla allora di indagini campionarie e il gruppo di n unità effettivamente rilevate costituisce il cosiddetto campione.
Solo a titolo di esempio, le indagini campionarie sono comuni nella rilevazione di opinioni, orientamenti politici, livello di soddisfazione per un prodotto o per un servizio.
In questi casi le informazioni ottenute non consentono di conoscere esattamente la struttura distributiva della variabile (o delle variabili) oggetto di studio nella popolazione, ma di ottenere informazioni approssimate che sono però via via più attendibili al crescere del numero n di unità esaminate.
Uno dei problemi di fondamentale importanza in qualsiasi indagine campionaria è la scelta del criterio con cui selezionare le n unità.
I metodi più comunemente usati prevedono
1. la selezione di unità che si considerano rappresentative della popolazione (il campione così estratto si dice “campione ragionato”)
2. la selezione di unità che sono effettivamente disponibili, come avviene nella sperimentazione di nuovi farmaci sull'uomo (che si basa su volontari) o nei controlli di qualità di prodotti immagazzinati (in cui spesso si selezionano le unità più facilmente raggiungibili).
In questi casi due casi è però difficile estendere i risultati ottenuti sul campione all’intera popolazione, per la presenza di criteri soggettivi insiti nella scelta delle unità esaminate.
3. la selezione mediante un criterio di scelta casuale. Questo metodo, pur essendo piuttosto semplice, si rivela molto spesso adeguato e consente di estendere i risultati ottenuti alla popolazione di interesse.
Nel corso di queste lezioni ci si occuperà esclusivamente del terzo metodo di selezione.
Il campione estratto seguendo il criterio di scelta casuale è detto campione casuale e può essere sempre assimilato al risultato ottenuto in una prova che consiste nell’estrazione casuale di palline da un'urna
Se, per esempio, interessa rilevare la variabile “sesso” si può far riferimento all’estrazione di n palline da un’urna contenente palline di due soli colori:
bianche e nere. Lo stesso vale per qualsiasi variabile dicotomica, ossia per quelle variabili che assumono solo due modalità, come nel caso della classificazione delle unità in occupati-disoccupati, cattolici-non cattolici, favorevoli o contrari a un qualche provvedimento legislativo.
Nel caso di variabili che assumono più modalità diverse si può far riferimento all’estrazione di n palline un’urna contenente palline di colori diversi oppure palline numerate.
Per utilizzare le informazioni campionarie in modo corretto occorre tenere presente che il campione estratto è solo uno dei possibili campioni che si sarebbero potuti estrarre da quella popolazione.
Il campione che si è effettivamente osservato è quindi influenzato dall’effetto di diversi fattori che esercitano un effetto casuale, ossia imprevedibile (i cosiddetti fattori casuali), e pertanto può essere considerato come il risultato di una prova, che può dare origine a risultati diversi caratterizzati da livelli di probabilità diversi.
Anche se non si è ancora esplicitamente considerato il significato del termine
“probabilità” è però chiaro che i dati campionari possono essere utilizzati solo tenendo presenti considerazioni di carattere probabilistico.
Per il momento basta tenere presente che in un campione casuale le n unità che lo compongono sono state estratte con un criterio casuale e che ogni unità della popolazione ha una probabilità non nulla di entrare a far parte del campione.
I campioni casuali si suddividono in due grandi categorie:
- i campioni casuali semplici (con o senza ripetizione) - i campioni casuali complessi
In queste lezioni ci si occuperà solo dei primi e, per chiarire cosa si intende con campione casuale semplice con ripetizione e con campione casuale semplice senza ripetizione, si consideri un’urna contenente N palline, di cui alcune sono di colore bianco mentre le altre sono nere.
Nel caso di un campione con ripetizione l’esperimento consiste nell’estrarre n palline reinserendo nell’urna ogni pallina estratta prima di procedere a una nuova estrazione.
Prima di effettuare l’estrazione, si può solo affermare che il campione di n palline potrà essere formato da n palline nere, da 1 pallina bianca e n-1 palline nere, da 2 pallina bianca e n-2 palline nere, ..., da n palline bianche.
Tutti questi risultati sono possibili e quindi è possibile estrarre campioni con una composizione anche molto diversa da quella dell'urna.
Nella figura successiva, per esempio, la forma con il bordo rosso rappresenta un’urna contenente 14 palline nere e 2 palline bianche, mentre le 5 forme con il bordo azzurro corrispondono ai possibili campioni di 4 elementi che possono essere estratti dall’urna se ciascuna pallina estratta viene reinserita nell’urna prima di procedere a una nuova estrazione. I campioni considerati differiscono fra loro per il numero di palline bianche e nere che li compongono.
Se si utilizza un’estrazione senza ripetizione, invece, i possibili campioni che differiscono fra loro per il numero di palline bianche e nere che li compongono sono i seguenti, in quanto l’urna contiene solo due palline di colore bianco.
In ogni caso, i diversi possibili campioni hanno probabilità diverse di essere estratti e queste probabilità dipendono dalla composizione dell'urna.
Il calcolo delle probabilità consente di determinare la probabilità associata a ognuno dei possibili campioni e di individuare quindi i risultati campionari più probabili, quelli meno probabili, quelli estremamente improbabili.
Va notato che le indagini campionarie si basano sull’unico campione che è stato effettivamente estratto e, non conoscendo la composizione della popolazione da cui il campione proviene, non si può mai sapere se la sua composizione è simile a quella della popolazione oppure ne differisce sostanzialmente.
Si possono però fare considerazioni di carattere probabilistico che consentiranno, come vedremo, di fare congetture sulla struttura più verosimile della popolazione da cui il campione è stato estratto. In altri termini, sono queste considerazioni che permettono di estendere i risultati ottenuti sul campione alla collettività da cui il campione proviene.
Nelle pagine seguenti ci si occuperà di argomenti che sembrano essere poco legati ai discorsi inerenti al campionamento, eppure sono fondamentali per la comprensione di cosa sia effettivamente un campione e di come possa essere utilizzato per ottenere informazioni sulla popolazione di provenienza del campione stesso.
EVENTI ELEMENTARI E COMPOSTI
Si è detto che il campione estratto può essere considerato come il risultato generato da un esperimento casuale (o prova), un esperimento, cioè, i cui risultati non possono essere previsti con sicurezza prima dell’effettuazione dell’esperimento stesso.
Nelle situazioni reali una prova può consistere in un esperimento scientifico, nell'osservazione di un fenomeno, nell'estrazione di un’unità statistica da una popolazione, di una pallina da un'urna o di una carta da un mazzo oppure nel lancio di un dado o di una moneta.
I possibili risultati associati all’esperimento sono generalmente diversi fra loro e caratterizzati da diversi livelli di probabilità.
Prima di occuparci delle situazioni che ci interessano per le indagini campionarie, ossia dell’estrazione di un campione di numerosità n da una popolazione costituita da N unità statistiche, dovremo definire meglio i possibili risultati che possono interessare quando si effettua una prova e come si può misurare la probabilità ad essi associata.
Cominciamo con il considerare una popolazione di N unità, ciascuna delle quali è univocamente identificata mediante un numero (che va da 1 fino a N). Se si considera l’estrazione casuale di una singola unità (e quindi un campione composto da un solo elemento) è evidente che esistono N possibili risultati associati alla prova a seconda che sia stata estratta la prima unità, la seconda,
…, l’ultima. In questo caso è evidente che non ha senso distinguere fra estrazione con o senza ripetizione.
Schematizzando quanto appena visto, nel corso dell’esperimento si possono osservare N risultati diversi i (dove la lettera greca si legge omega) che corrispondono alla “estrazione della i-esima unità statistica” (con i = 1, 2, …, N).
ESEMPIO
Si consideri un'urna contenente N = 5 palline numerate da 1 a 5 (corrispondente alla figura dal contorno rosso) e un esperimento che consiste nell’estrazione di una singola pallina.
I possibili risultati (riportati nelle figure dal contorno azzurro) sono 1 (estrazione della pallina numero 1), 2 (estrazione della pallina numero 2), ...,
5 (estrazione della pallina numero 5).
L’interesse per l’esperimento potrebbe però essere rivolto non al numero presente sulla pallina estratta, ma a esiti di tipo diverso come, per esempio, se
la pallina estratta presenta un numero pari, se la pallina presenta un numero minore di 3 oppure se la pallina presenta un numero superiore a 2.
Tutti i casi considerati:
- la pallina estratta presenta un numero specifico - la pallina estratta presenta un numero pari
- la pallina estratta presenta un numero minore di 3 - la pallina estratta presenta un numero maggiore di 2 costituiscono altrettanti eventi.
In generale, nella teoria della probabilità, il cosiddetto evento è un insieme di risultati ritenuto di interesse nell’esecuzione dell’esperimento e a questo insieme di risultati viene assegnata una certa probabilità.
Gli eventi più semplici che possono essere considerati nella prova, detti eventi elementari o punti campionari, coincidono con i singoli risultati dell’esperimento.
Nel caso dell’estrazione di una sola pallina dall’urna contenente le 5 palline numerate, per esempio, è elementare l’evento “uscita della pallina contrassegnata con il numero 2”, mentre non è elementare l’evento “uscita di una pallina con un punteggio pari”.
NOTAZIONI E DEFINIZIONI
Di seguito indicheremo gli eventi con le lettere maiuscole e i singoli risultati che compongono l’evento stesso verranno indicati fra parentesi graffe.
Per esempio, indicato con A l’evento “uscita della pallina numero 1”, A è un evento elementare in quanto è costituito dal solo risultato 1, ossia
A = {1}.
Indicato con B l’evento “pallina contrassegnata da un numero pari” e con C l’evento “pallina con un numero superiore a 2” si vede subito che i due eventi non sono elementari, in quanto risulta
B = {2, 4}, C = {3, 4, 5}.
Gli eventi elementari risultano sempre necessari (o esaustivi) e incompatibili
Questi due aggettivi stanno a indicare che uno dei possibili eventi elementari deve necessariamente verificarsi nella prova e che il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi di un qualsiasi altro evento elementare.
Nell’esempio con l’urna contenente le palline numerate, per esempio, una delle palline numerate deve necessariamente essere estratta e l’uscita di quella particolare pallina impedisce che sia estratta una pallina con un numero diverso.
Effettuata una prova a cui sono associati N possibili risultati diversi, si usa dire che uno degli N eventi elementari risulterà vero mentre tutti gli altri risulteranno falsi.
ESEMPIO
In una prova che consiste nel lancio di un dado a 6 facce, elencare i risultati che costituiscono l’evento A “uscita della faccia pari”
Indicato con la notazione i il risultato “uscita della faccia contrassegnata con il punteggio i ” (con i = 1, 2, 3, 4, 5, 6), l’evento A è costituito da
A = {2, 4, 6}
L’insieme di tutti gli eventi elementari è detto spazio fondamentale (o spazio campionario) .
Nel caso dell’urna contenente le 5 palline numerate lo spazio fondamentale è
= {1, 2, 3, 4, 5}
ESEMPIO
Considerata la prova che consiste nel lancio di un dado a 6 facce, indicare lo spazio fondamentale
= {1, 2, 3, 4, 5,6}
Si sono definiti come eventi elementari quei particolari eventi, necessari e incompatibili, che coincidono con i risultati dell’esperimento.
Oltre a questi eventi si è visto che, in occasione di una prova, possono essere considerati anche degli eventi diversi da quelli elementari. Gli eventi che non sono elementari sono detti eventi composti.
Una volta definito lo spazio campionario si può dare una definizione più rigorosa di questi eventi.
Un qualsiasi evento composto corrisponde un a sottoinsieme di . Tale evento si verifica quando si verifica un evento elementare che gli appartiene.
ESEMPIO
Considerata la prova che consiste nel lancio di un dado a 6 facce si elenchino i risultati che costituiscono l’evento composto D “uscita di una faccia superiore a 4”.
Dato lo spazio campionario
= {1, 2, 3, 4, 5,6}
D è un sottoinsieme di composto dai due soli risultati D = {5,6}
per cui si verifica se esce la faccia 5 oppure la faccia 6.
Oltre agli eventi elementari e composti esistono altri due eventi che è opportuno introdurre prima di passare alle operazioni sugli eventi.
Lo spazio campionario coincide con il cosiddetto evento certo che, come chiarisce l’aggettivo, è un evento che si verifica necessariamente.
Nel caso del lancio di un dado l’evento certo è l’evento “uscita di una faccia con un numero compreso fra 1 e 6”.
Nel caso del lancio di una moneta le cui facce sono contrassegnate dalle lettere A e B, l’evento certo è “uscita della faccia A o della faccia B”.
In occasione di una prova è anche possibile considerare degli eventi che non possono verificarsi e che, per tale motivo, sono detti impossibili.
Un evento impossibile è un evento che non contiene nessun elemento di , per cui è un insieme vuoto, e viene indicato con la notazione ∅.
Nell’esperimento che consiste nel lancio di un dado a sei facce, lo spazio fondamentale è = {1, 2, 3, 4, 5,6} ed esempi di eventi impossibili sono:
“uscita della faccia contrassegnata da 0” oppure “uscita di una faccia contrassegnata da un punteggio superiore a 6”
ESEMPIO
Data un’urna contenente 20 palline numerate da 1 a 20, si indichi con i il risultato “estrazione della pallina contrassegnata dal numero i”.
Identificare gli eventi: A “la pallina presenta un numero corrispondente a un multiplo di 3”, B “la pallina estratta presenta un punteggio maggiore di 18” e l’evento certo .
A= {3, 6, 9, 12, 15, 18}, B = {19, 20},
= {i : i=1, 2, …, 20}.
In alcune situazioni lo spazio fondamentale potrebbe non essere finito, ma questi casi non verranno esplicitamente considerati.
Dato lo spazio fondamentale resta definito anche un particolare insieme A, detto classe degli eventi, che rappresenta l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di .
Il numero di elementi che compongono A è pari a 2N, dove N rappresenta il numero di eventi elementari che costituiscono .
ESEMPI
1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di una moneta le cui facce sono contrassegnate da “testa” e “croce”. Determinare quanti e quali sono gli elementi dell'insieme A.
Il numero di elementi di A è 22 = 4.
Indicato con T il risultato “testa” e con C il risultato “croce” gli elementi che costituiscono A sono:
∅, {T}, {C}, = {T , C }.
2) Considerato un esperimento che consiste nell’estrazione di una pallina da un'urna con palline di 3 colori diversi (bianco, nero e giallo), determinare quanti e quali sono gli elementi di A
Il numero di elementi di A è 23 = 8.
Indicato con B il risultato “pallina bianca”, con N il risultato “pallina nera” e con G il risultato “pallina gialla” gli elementi che costituiscono A sono:
∅, {B}, {N}, {G}, {B , N}, {B , G}, {N , G}, = {B , N , G}
3) Considerato un esperimento che consiste nel lancio di un dado equilibrato, si determini il numero di elementi dell’insieme A
Il numero di elementi della classe di eventi è pari a 26 = 64. Si ha infatti l’evento impossibile ∅, 6 eventi elementari, 15 coppie di eventi elementari, 20 terne, 15 quaterne, 6 cinquine e l’evento certo :
∅,
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6},
{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {2, 6} {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}
{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 2, 6}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 3, 6}, {1, 4, 5}, {1, 4, 6}, {1, 5, 6}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 3, 6}, {2, 4, 5}, {2, 4, 6}, {2, 5, 6}, {3, 4, 5}, {3, 4, 6}, {3, 5, 6}, {4, 5, 6}
{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 3, 6}, {1, 2, 4, 5}, {1, 2, 4, 6}, {1, 2, 5, 6}, {1, 3, 4, 5}, {1, 3, 4, 6}, {1, 3, 5, 6}, {1, 4, 5, 6}, {2, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 6}, {2, 3, 5, 6}, {2, 4, 5, 6}, {3, 4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
OPERAZIONI SUGLI EVENTI
Gli eventi composti considerati in precedenza si ottengono dagli eventi elementari mediante opportune operazioni. Qui di seguito vengono esaminate le più comuni operazioni sugli eventi.
1) UGUAGLIANZA.
Due eventi A e B, sottoinsiemi di , risultano uguali, e tale uguaglianza si esprime mediante la notazione A B, quando il verificarsi dell'uno implica necessariamente il verificarsi dell'altro e il non verificarsi dell'uno implica necessariamente il non verificarsi dell'altro.
Esempio
Considerato un esperimento che consiste nel lanciare 6 dadi: l’evento A che corrisponde alla sequenza 1, 2, 3, 4, 5, 6 dei punteggi ottenuti è uguale all’evento B che corrisponde alla sequenza 6, 5, 4, 3, 2, 1 se l’ordine dei punteggi è considerato irrilevante
Le operazioni sugli eventi risultano di più semplice comprensione utilizzando i diagrammi di Venn, che permettono di rappresentare graficamente il risultato di ciascuna operazione.
Nel grafico successivo lo spazio fondamentale è rappresentato dal rettangolo bianco, mentre l’ellisse di colore grigio rappresenta un evento A, corrispondente a un sottoinsieme di .
2) UNIONE o SOMMA
Dati i due eventi A e B, sottoinsiemi di , la loro unione (o somma) è quell'evento, indicato con il simbolo AB (che si legge A o B), che si verifica quando si verifica A oppure B.
Il sottoinsieme di corrispondente all'evento AB contiene quindi tutti gli eventi elementari del sottoinsieme A e del sottoinsieme B.
Va sottolineato che il risultato dell’unione di due eventi resta il medesimo se si scambia l’ordine degli eventi che la compongono, per cui
(AB) (BA)
Nella somma di due eventi è necessario distinguere fra due possibili situazioni diverse:
- A e B hanno almeno un evento elementare in comune - A e B non hanno alcun evento elementare in comune.
Se nessuno degli eventi elementari che costituiscono A è contenuto anche in B i due eventi si dicono incompatibili. In questo caso i due eventi non possono mai verificarsi insieme, ossia il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro.
Se almeno uno degli eventi elementari che costituiscono A è contenuto anche in B i due eventi si dicono invece compatibili. In questo caso è possibile che in una singola prova i due eventi si verifichino insieme.
ESEMPIO
Considerato un mazzo di carte francesi (da 52 carte, escludendo i jolly) e l’esperimento che consiste nell’estrazione di una singola carta dal mazzo, si considerino gli eventi:
A “uscita di un asso”
C “uscita di una carta di cuori”
F “uscita di una figura (fante, regina o re) P “uscita di una carta di picche”
Indicare le coppie di eventi incompatibili e le coppie di eventi compatibili.
Le coppie di eventi incompatibili sono A e F
C e P
Le coppie di eventi compatibili sono A e C
A e P C e F F e P
Una volta chiarito cosa si intende per eventi compatibili e incompatibili, nel grafico successivo è riportato un esempio di unione per due eventi incompatibili A e B.
Unione di eventi incompatibili
In questo caso i due sottoinsiemi A e B di non hanno alcun elemento in comune e sono quindi disgiunti, come accade sempre nel caso in cui A e B sono eventi elementari.
La somma può estendersi ad un numero finito o numerabile di eventi.
ESEMPI
1) Con riferimento all’esperimento che consiste nel lancio di un dado a sei facce, l'evento "risultato pari" corrisponde all'evento somma {2}{4}{6} ossia all’evento "punteggio uguale a 2” o "punteggio uguale a 4” o "punteggio uguale a 6”.
2) Considerata un’urna contenente 10 palline numerate da 1 a 10 e l’esperimento che consiste nell’estrazione di una pallina, sia A l’evento "pallina
con un numero inferiore a 2" e B l’evento "pallina con un numero superiore a 8".
Si determini se A e B sono compatibili o incompatibili.
Si elenchino gli eventi elementari che compongono l’evento AB.
A e B sono incompatibili. Infatti risulta A = {1}
B = {9, 10}
Gli eventi elementari che compongono AB sono quindi AB = {1, 9, 10}.
Nel grafico seguente è riportato un esempio di unione di due eventi compatibili A e B.
Unione di eventi compatibili
In questo caso i due sottoinsiemi A e B di hanno almeno un elemento in comune.
ESEMPI
1) Con riferimento all’esperimento che consiste nel lancio di un dado a sei facce, si considerino gli eventi A "risultato pari" e B "multiplo di 3".
Si determini se A e B sono compatibili o incompatibili.
Se sono compatibili, indicare quali sono gli eventi elementari in comune.
Si elenchino gli eventi elementari che compongono l’evento AB. A e B sono compatibili. Infatti risulta
A = {2, 4, 6} B = {3, 6}
L’unico evento elementare che compare sia in A sia in B è 6. Gli eventi elementari che compongono AB sono
AB = {2, 3, 4, 6}.
2) Considerata un’urna contenente 10 palline numerate da 1 a 10 e l’esperimento che consiste nell’estrazione di una pallina, sia A l’evento "pallina con un numero inferiore a 5" e B l’evento "pallina con un numero dispari".
Si determini se A e B sono compatibili o incompatibili.
Si elenchino gli eventi elementari che compongono l’evento AB.
A e B sono compatibili. Infatti risulta A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 3, 5, 7, 9}
Gli eventi elementari 1 e 3 compaiono sia in A sia in B.
Gli eventi elementari che compongono AB sono quindi AB ={1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}.
3) NEGAZIONE
Dato un evento A, sottoinsieme di, si definisce come evento contrario ad A (o evento non A o, anche, negazione di A) quell’evento costituito dagli eventi elementari che non appartengono ad A. L’evento negazione si indica comunemente con uno dei seguenti simboli:𝐴̅ oppure Ac.
Utilizzando i diagrammi di Venn, l’evento contrario ad A corrisponde all’area colorata in grigio.
ESEMPI
1) Considerata un’urna contenente 10 palline numerate da 1 a 10, se A indica l'evento "pallina pari", Ac è l'evento "pallina dispari".
2) Con riferimento all’esperimento che consiste nel lancio di un dado a sei facce, se B indica l’evento "multiplo di 3", l’evento contrario corrisponde a
Bc = {1, 2, 4, 5}
Si osservi che l’unione di un evento A e dell’evento contrario Ac corrisponde necessariamente all’evento certo
𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = Ω
4) INTERSEZIONE O PRODOTTO
Dati i due eventi A e B sottoinsiemi di , la loro intersezione (o prodotto) è quell'evento AB (che si legge A e B), che si verifica quando si verifica contemporaneamente sia A sia B.
L’evento AB è costituito da tutti quegli eventi elementari che compaiono sia in A sia in B.
Anche l’intersezione, come l’unione, può essere estesa ad un numero finito o numerabile di eventi e, come per l’unione il risultato resta il medesimo se si scambia l’ordine degli eventi che la compongono, per cui
(AB) (BA)
Con riferimento ai diagrammi di Venn, il prodotto degli eventi A e B è costituito dall’area colorata in nero.
ESEMPI
1) Considerata un’urna contenente 10 palline numerate da 1 a 10, sia A l’evento
“uscita di una pallina pari” e B l’evento “pallina con un multiplo di 3”.
Determinare gli eventi elementari che costituiscono AB
Dati
A ={2, 4, 6, 8, 10} B ={3, 6, 9}
risulta AB ={6}
2) Considerato l’esperimento che consiste nel lancio di un dado a sei facce, sia A l’evento “uscita di un risultato dispari” e B l’evento “uscita di un risultato minore o uguale a 4”.
Determinare gli eventi elementari che costituiscono AB
Dati
A ={1, 3, 5} B ={1, 2, 3, 4} risulta AB ={1, 3}
Va notato che se gli eventi A e B sono incompatibili fra loro, la loro intersezione dà luogo all’evento impossibile
Se due eventi A e B sono incompatibili
(𝐴 ∩ 𝐵) ≡ (𝐵 ∩ 𝐴) = ∅
5) IMPLICAZIONE
In alcuni casi il verificarsi di un certo evento A implica necessariamente il verificarsi di B, nel senso che se si verifica A si verifica necessariamente anche B.
Per indicare questa circostanza si usa il simbolo “”, per cui la notazione A B indica che l’evento A implica necessariamente B .
Questa circostanza si verifica se tutti gli eventi elementari che costituiscono A sono anche eventi elementari di B, come accade nella figura successiva.
Esempio di un evento A che implica B
Va notato che se sono valide contemporaneamente le due relazioni A B
B A questo significa che A B.
ESEMPI
1) Considerato l’esperimento che consiste nel lancio di un dado, l’evento A
“risultato multiplo di 4” implica necessariamente l’evento B “risultato pari”, mentre non è vero il viceversa.
Risulta infatti A ={4}
B ={2, 4, 6}
2) Considerata un’urna contenente 8 palline numerate da 1 a 8 l’evento A
“pallina con un punteggio dispari” implica necessariamente l’evento B “pallina con un punteggio corrispondente a un numero primo”
Risulta infatti A ={1, 3, 5, 7} B ={1, 2, 3, 5, 7}
6) DIFFERENZA
Dati due eventi A e B, sottoinsiemi di , la differenza A − B è l’evento costituito dagli eventi elementari di A che non appartengono anche a B.
Risulta abbastanza chiaro che l’operazione di differenza non avrebbe senso se A e B fossero incompatibili fra loro, in quanto A – B corrisponderebbe semplicemente all’evento A.
Nel disegno successivo la differenza A – B corrisponde all’area colorata in grigio.
ESEMPIO
Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di due dadi a 6 facce. Sia A l’evento “uscita di un punteggio dispari” e B l’evento “multiplo di 3”. Indicare gli eventi elementari che costituiscono l’evento A − B e l’evento B −
I due eventi A e B sono A = {3, 5, 7, 9, 11} B = {3, 6, 9, 12}
per cui le differenze risultano A − B = {5, 7, 11}
B − A = {6, 12}
