Esercizi su statistiche campionarie

(1)

Esercizi su statistiche campionarie

1. Considerato un campione casuale semplice di tre elementi estratto con ripetizione, si determini valore atteso e varianza del seguente stimatore del parametro 

3 2

1

4 1 4

1 X X

X

T   

2. Considerato un campione casuale semplice di due elementi estratto con ripetizione, si determini se i seguenti stimatori del parametro  sono corretti e si determini quello più efficiente

2 1

1

3 1 3

2 X X

T  

2 1

2

2 1 2

1 X X

T  

3. Considerato un campione casuale semplice di 10 elementi estratto con ripetizione, si determini se i seguenti stimatore del parametro 

3

5 3 1 1

X X T  X  

4 2

₅ ₁₀

1 2

X X T  X  

5 2 3

2

₄ ₆ ₈ ₁₀

2 3

X X X X

T  X    

sono corretti, se ne calcoli l’errore quadratico medio supponendo che ² sia pari a 5 e si individui quello più efficiente

4. Considerata la seguente funzione dei dati campionari

n n

i i

n X n

X

T 2

3

1



 

^





si verifichi se si tratta di uno stimatore consistente del parametro 

5. Considerata una popolazione bernoulliana di parametro ignoto  si verifichi se la seguente funzione dei dati campionari

1



 



n X T

n i

i

è uno stimatore corretto e consistente di  mediante il calcolo dell’errore quadratico medio

6. Data una popolazione normale N(, ²) si determini la distribuzione di

  ^





 



ⁿ

i i i

i

X

X n T

4 3

1

2 3

1 6

1

(2)

Soluzioni

1.

                   4 1 4 1 4

1 4

1

3 2

1

E X E X

X E T

E

lo stimatore è corretto

   

1

 

2

 

3 ² ² ² ²

16 18 16

1 16

1         



 V X V X V X T

V

2.

              3 1 3 2 3

1 3

2

2 1

1

E X E X

T

E

  ^   ^   ^ ^ ^ ^ ^ ^

2 1 2 1 2

1 2

1

2 1

2

E X E X

T

E

 

1

 

1

 

2 ² ² ²

0 . 5

²

9 5 9 1 9

4 9

1 9

4         

 V X V X T

V

 

₂

 

₁

 

₂ ² ² ²

0 . 5

²

4 2 4

1 4

1         

 V X V X T

V

    T

2

V T

1

V 

T2 è più efficiente di T1

3.

        ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

3 3 3

5 3

1 1

X E X E X T E

E

           _  _ _ 4 4 4

2

₅ ₁₀

1 2

X E X E X T E

E

            _

5 9 5

2 3

2

₄ ₆ ₈ ₁₀

2

3

 E X  E X  E X  E X  E X 

T

E

lo stimatore è distorto

          1 . 6 9 15 9 3 9

5 2 3

1 1

1

  V X  V X  V X    

T V T

MSE

         

875 . 16 1 30 16 6 16

4

₅ ₁₀ ²

2 1

2

  V X  V X  V X    

T V T MSE

           

8 . 25 3 95 25 19 25

4 9

4

₄ ₆ ₈ ₁₀ ²

3

 V X

2

 V X  V X  V X  V X     T

V

     5 4 5

9

3

  

T B

 

₃ ²

25 8 16 .

3  

 T

MSE

Risulta quindi che lo stimatore più efficiente è il primo, in quanto

  T

₁

MSE   T

₂

MSE   T

₃

MSE  

(3)

4.

   

     _ _ _



 



  

 

 

 

 

^



n n n n

X n n E n

X E T

E

_n

n i

i

2 2

3 3 2

3

1 stimatore asintoticamente corretto

   

     

 

²

2 2 2

2 2

2 3

1

4 3 4

3 3 4

3 n n n n

X n n V n

X V T

V

_n

n i

i

   _ 

 

 

 

 

 

^



Dato che risulta

 

  ⁰

lim lim











T V

T E

n



T è uno stimatore consistente di 

5.

   

1  1

1

 

  



n n n

X E T

E

n i

i

   





E T

n

lim

lo stimatore è asintoticamente corretto

   

1 1

1   



 

 

 n n

n n n

T n

B      

   

 

²

2 1

1 1

1 

 

  



n n n

X V T

V

n i

i

 

  0

lim 





V T

n

   

     

 

²

2 2 2

2

1 1 1

1 1





 

 



 

n n n

n T n

MSE      

  0

lim 





MSE T

n lo stimatore è consistente

6. Una combinazione di v.c. normali ha ancora una distribuzione normale. I suoi parametri sono

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