Serie telescopiche
Si dice serie telescopica una serie del tipo:
+∞
X
n=m
(bn − bn+1)
oppure
+∞
X
n=m
(bn+1 − bn)
, (T)
in cui m ∈ N e {bn} sono assegnati.
ESEMPIO: per m = 1 e bn = n1, ∀ n ≥ 1, si ha la serie di Mengoli
+∞
X
n=1
1
n − 1 n + 1
=
+∞
X
n=1
1 n(n + 1)
La forma di una serie telescopica consente il calcolo esplicito della somma parziale n−ma
sn =
n
X
k=m
(bk − bk+1) , n ≥ m .
1
Si trova infatti:
sn =
n
P
k=m
(bk − bk+1)
= (bm − bm+1) + · · · + (bn−1 − bn) + (bn − bn+1)
= bm − bn+1
Ne segue che, se il limite di {bn} esiste, la serie (T) non oscilla e la sua somma `e data da:
+∞
P
n=m
(bn − bn+1) = lim
n→+∞(bm − bn+1)
= bm − lim
n→+∞bn+1 = bm − lim
n→+∞bn .
Ritornando alla serie di Mengoli, in cui m = 1 e bn = n1, ∀ n ≥ 1, si ha che
+∞
P
n=1
1
n − n+11
`e una serie convergente e la sua somma vale:
+∞
X
n=1
1
n − 1 n + 1
= 1 − lim
n→+∞
1
n = 1 . 2
