ESERCIZI DI CALCOLO II dicembre 2006

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ESERCIZI DI CALCOLO II dicembre 2006

 Metodo di induzione

 Esponenziali ed altre funzioni trascendenti nel campo complesso

 Integrali definiti ed indefiniti

 Serie numeriche: serie telescopiche ed altre serie la cui somma è direttamente calcolabile.

1. Dimostrare che per ogni n  1 vale l'identità

) 4 ( 4

) 5 10 2

( )

4 )(

3 (

3 12

7 ²

1

2 3



 











 n

n n n k

k

k k

k

n k

.

{Suggerimento: il polinomio 2n⁴24n³95n²141n68 è divisibile per (n + 1)(n +4).}

2. Dimostrare che per ogni n  1 vale l'identità

) 6 )(

5 (

! )!

1 2 ( 30 6

5 26 2

1  

 



 





 





 n n

n k k

n k

. 3. Determinare tutte le soluzioni z complesse dell'equazione e^z = 5 + 12i.

{R. 



 



  



 i k

z 2

13 arcsen12 13

log }

4. Determinare tutte le soluzioni z complesse dell'equazione cos z = ⁵. {R. ^z^²^k^^ⁱ^log( ⁵^²⁾, ^z ^²^k^^ⁱ^log( ⁵^²⁾,}

5. Determinare tutte le soluzioni z complesse dell'equazione sen z = i 3. {R. ^z^²^k^^ⁱ^log(²^ ³⁾, ^z^⁽²^k^¹⁾^^ⁱ^log(²^ ³⁾}

6. Calcolare



_x³_^x₆₄^dx^. ^{R.₂₄¹ ^log_x^x²²^_⁸₄_x^x^_¹⁶₁₆^₄¹₃^arctg^x₂^₃²^^c^}

7. Calcolare



  



5

1

2 2 5

1

3 dx

x x

x . {R. ^log¹⁰ ^arctg³

2

3  }

8. Calcolare



⁹ _

0 4dx

x

x . {R.

2 arctg3 4

6 }

9. Calcolare ³¹



_ _ _

0191 x 3 4x 1

dx .

{R. ^



 



 



 259

arctg 9 259

arctg 19 259 247

108 17

log31 247 249 4 log9 247

243 }

10. Calcolare





2 / 1

3 / 1

2 2

3

5 x xdx. {R. _



 



 

36 11 5 6 arcsen5 3

2 }

11. Calcolare la somma della serie



^

0 4 216 15 1

n n n . {R.

6 1 }



^

 





1 1

1

) 1 )(

1 (

1

n n n

e e

e ne

ne .

{Suggerimento: aggiungere e sottrarre n al numeratore.} {R.

1 1



e }



^





1

2

63 7 5

n n

{R. 29 104}