A.A. 2011/2012 Corso di Analisi Matematica I

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A.A. 2011/2012

Corso di Analisi Matematica I

Stampato integrale delle lezioni

Volume 1

Massimo Gobbino

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Indice

Lezione 001: Insiemi - Notazioni, unione, intersezione, differenza, cardinalità, insieme delle parti, prodotto cartesiano . . . 6 Lezione 002: Funzioni tra insiemi. Iniettività, surgettività, funzione inversa, imma-

gine e controimmagine di un insieme . . . 9 Lezione 003: Principio di induzione. Applicazione alla somma dei termini di pro-

gressioni aritmetiche e geometriche . . . 13 Lezione 004: Esempi di disuguaglianze dimostrate per induzione. Disuguaglianza

di Bernoulli. . . 17 Lezione 005: Numeri reali: propriet`a algebriche, ordinamento, assioma di conti-

nuità. Maggioranti, minoranti, massimo, minimo. . . 21 Lezione 006: Estremo inferiore e superiore: definizioni, caratterizzazioni, esempi . 25 Lezione 007: Interpretazione di iniettività e surgettività in termini di grafico. Ope-

razioni sui grafici di funzioni reali. . . 28 Lezione 008: Funzioni pari, dispari, periodiche, monotone. Iniettivit`a ed equazioni.

Monotonia e disequazioni. . . 32 Lezione 009: Funzioni elementari: potenze, radici, esponenziali, logaritmi, seno,

coseno, tangente . . . 36 Lezione 010: Funzioni trigonometriche inverse. Interpretazione di immagine e

controimmagine in termini di grafico ed esercizi relativi. . . 40 Lezione 011: Propriet`a vere definitivamente e frequentemente. Definizione di suc-

cessione e sue visualizzazioni. Definizioni di limite per successioni. . . 44 Lezione 012: Esempi di limiti di successioni calcolati usando la definizione. Teoremi

di permanenza del segno ed unicit`a del limite. Teorema del confronto e dei carabinieri. Retta reale estesa. . . 48 Lezione 013: Fattoriali, binomiali e loro significato combinatorio. Anagrammi di

una parola. Propriet`a dei binomiali. Binomio di Newton. . . 52 Lezione 014: Teoremi algebrici per i limiti di successioni. Esempi di limiti calcolati

usando teoremi algebrici e di confronto. . . 56 Lezione 015: Criteri della radice, del rapporto e rapporto → radice. Dimostrazione

del criterio della radice. Limite della radice n-esima di costanti, polinomi e di n! 60 Lezione 016: Esempi di applicazione dei criteri del rapporto e della radice. Confronti

tra ordini di infinito di potenze, esponenziali, fattoriali . . . 64 Lezione 017: Esercizi misti sui limiti di successioni utilizzando i criteri visti finora.

Esercizi su propriet`a di simmetria delle funzioni. . . 67 Lezione 018: Limiti di funzioni: definizioni . . . 71 Lezione 019: Funzioni continue. Elenco dei limiti di notevoli. Cambio di variabili

nei limiti. Esempi di limiti calcolati utilizzando limiti notevoli. . . 74 3

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Lezione 020: Criterio funzioni → successioni. Trucco di passaggio all’esponenziale.

Esempi di limiti di funzioni e successioni calcolati mediante limiti notevoli. . . 77 Lezione 021: Discussione delle disuguaglianze sin x ≤ x ≤ tan x. Dimostrazione dei

principali limiti notevoli. Cambio di variabili per spostare i limiti a 0 oppure + infinito. . . 81 Lezione 022: Sottosuccessioni e loro utilizzo per dimostrare la non esistenza di limiti

di successioni e funzioni . . . 85 Lezione 023: Successioni monotone e relativo teorema di esistenza del limite. Il

numero e (la successione che lo definisce `e monotona e compresa tra 2 e 3). . . 89 Lezione 024: Esercizi misti sui limiti che sfruttano le tecniche viste fino a questo

momento . . . 93 Lezione 025: Definizione di o piccolo e sue propriet`a . . . 97 Lezione 026: Sviluppini e loro utilizzo per il calcolo di limiti . . . 101 Lezione 027: Equivalenza asintotica. Esempi di limiti calcalati usando le tecniche

viste finora. . . 105 Lezione 028: Definizione di rapporto incrementale e di derivata. Significato geome-

trico. Retta tangente. Relazioni tra derivabilit`a e continuit`a. . . 109 Lezione 029: Derivate di alcune funzioni elementari dimostrate mediante la defini-

zione. Regole di derivazione. . . 113 Lezione 030: Derivata della funzione inversa. Derivata della composizione. Esempi

di calcolo di derivate. . . 117 Lezione 031: Teorema di De L’Hopital. Esempi in cui si pu`o e non si pu`o applicare.

Pericoli dei limiti met`a per volta e dell’equivalenza asintotica. . . 121 Lezione 032: Funzioni iperboliche . . . 125 Lezione 033: Formula di Taylor con resto di Peano: enunciato, idea della dimostra-

zione, esempi di applicazione . . . 129 Lezione 034: Sviluppi di Taylor delle funzioni elementari. Sviluppi di Taylor di

somma, differenza, prodotto. . . 133 Lezione 035: Sviluppi di Taylor di funzioni composte . . . 137 Lezione 036: Cautele nel calcolo di polinomi di Taylor di funzioni composte. Esempi

di limiti calcolati utilizzando i polinomi di Taylor. . . 141 Lezione 037: Formula di Taylor con centro in un punto diverso dall’origine. Esercizi

riassuntivi sui limiti. . . 145 Lezione 038: Definizione di serie come limite delle somme parziali. Condizione

necessaria e propriet`a algebriche. Serie geometriche. . . 148 Lezione 039: Serie telescopiche. Comportamento delle serie a termini di segno

costante. Enunciato dei criteri della radice, del rapporto, del confronto, del confronto asintotico (caso standard). Serie armoniche generalizzate. . . 152 Lezione 040: Esercizi sulla convergenza di serie a termini positivi (non negativi) . 156 Lezione 041: Dimostrazione dei criteri per serie a termini positivi. Casi limite di

confronto asintotico ed esempi di applicazione. . . 160 Lezione 042: Serie a termini di segno qualunque: enunciato del criterio di Leibnitz

e dell’assoluta convergenza ed esempi di applicazione . . . 164 Lezione 043: Dimostrazione dei criteri di Leibnitz e dell’assoluta convergenza. Serie

di potenze: notazioni, raggio di convergenza e formula per calcolarlo. . . 168

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INDICE 5

Lezione 044: Serie di potenze: dimostrazione della formula per il calcolo del raggio di convergenza. Serie di Taylor e loro utilizzo per il calcolo della somma di speciali serie numeriche. . . 172 Lezione 045: Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Esempi di

applicazione. . . 176 Lezione 046: Studio locale di funzioni e criterio delle derivate successive per lo

studio dell’andamento di una funzione nell’intorno di un punto stazionario . . 180 Lezione 047: Teorema di Weierstrass e sue varianti. Ricerca operativa dei punti di

max e di min. . . 184 Lezione 048: Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange . . . 188 Lezione 049: Dimostrazione del caso 0/0 del teorema di De L’Hopital. Legami tra

segno della derivata in un intervallo e monotonia di una funzione. . . 192 Lezione 050: Esercizi misti su serie parametriche . . . 196 Lezione 051: Esercizi misti su successioni, serie, polinomi di Taylor, studio locale di

funzioni . . . 199 Lezione 052: Primo esempio di studio globale di funzioni. Asintoti e loro equazioni. 202 Lezione 053: Esempi di studio di funzioni . . . 206 Lezione 054: Formula di Taylor con resto di Lagrange e applicazioni (calcolo ap-

prossimato di funzioni, dimostrazione di disuguaglianze) . . . 210 Lezione 055: Convessit`a e legami con il segno della derivata seconda. Disuguaglianze

classiche. . . 214 Lezione 056: Lipschitzianit`a e legami con la derivata prima . . . 218

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6 Corso di Analisi Matematica I

Lezione 001

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Stampato integrale delle lezioni 7

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