u O x y z O O Assi principali d’inerzia di un corpo rigido

scelto un punto qualunque

O

e con i tre assi

x

^,

y

^,

z

scegliamo un sistema

Assi principali d’inerzia di un corpo rigido

ma passante per

O

di riferimento cartesiano solidale al corpo rigido con origine in

O

di un corpo rigido

orientati arbitrariamente ipotizziamo che il corpo stia

ruotando attorno ad un asse di rotazione qualsiasi

dal versore

u

^{^}

la direzione nello spazio dell’asse di rotazione sia individuata

la posizione di qualsiasi punto

P

_{i del corpo}

ˆ ˆ ˆ

i i i i

r  = x i + y j + z k

del punto

P

_i dall’asse di rotazione e’

R

_i

= r sen

_i

ϑ

_i

= ×  u r ˆ

_i

2 2

( ˆ )

i i i i

m R = m u r × 

ˆ ˆ ˆ

( β z

_i

⁻ γ y i

_i

) ⁺ ( γ x

_i

⁻ α z j

_i

) ⁺ ( β x

_i

⁻ α y k

_i

)

vettore posizione e la distanza

ˆ ˆ ˆ

u ˆ = α i + β j + γ k ˆ ˆ ˆ

i i i i

r  = x i + y j + z k

se e

rispetto ad

O

e’ definita dal

ˆ

_i

u r × = 

quadrando

u r ˆ × 

_i il ’’momento di inerzia’’ del rispetto all’asse di rotazione

si otterra’

m R

_{i i}^{2 ossia}

u ˆ

per ottenere il momento d’inerzia del corpo rigido occorrera’ sommare su tutti i punti costituenti il corpo

punto materiale

P

_i

2 2 2

2 2 2

xx yy zz xy yz zx

I = I α + I β + I γ − I αβ − I βγ − I γα

2 2

1

( )

n

xx i i i

i

I m y z

=

= ∑ +

e’ il momento d’inerzia rispetto all’asse

x

2 2

1

( )

n

yy i i i

i

I m x z

=

= ∑ +

e’ momento d’inerzia rispetto all’asse

y

e’ il momento d’inerzia rispetto all’asse

z

2 2

1

( )

n

zz i i i

i

I m x y

=

= ∑ +

1 n

xy i i i

i

I m x y

=

= ∑

1 n

yz i i i

i

I m y z

=

= ∑

1 n

zx i i i

i

I m x z

=

= ∑

sono i ’’prodotti d’inerzia’’

quadrando

dove

ˆ

_i

u r × 

e sommando su tutti i punti del corpo rigido si ha

sull’asse di rotazione

d 1

= I

le coordinate

X

_,

Y

_,

Z

di questo punto saranno

X I

= α Y

I

= β Z

I

= γ

se l’estremo del versore

u ˆ

che ha modulo unitario

un punto che disti

d

_da

O

dovra’ avere coordinate α

d

, β

d

, γ

d

ha coordinate α, β, γ che disti

di coordinate

P(X

_,

Y

_,

Z)

perche’

e quindi dista uno da

O

un punto

da

O

sara’ sempre possibile trovare

dividendo la

2 2 2

2 2 2 1

xx yy zz xy yz zx

I X + I Y + I Z − I XY − I YZ − I ZX =

questa e’ l’equazione a cui devono soddisfare le coordinate di un qualsiasi punto che disti

1

I

^dove

^I

rispetto all’asse di rotazione definito dai punti

O

_e

P

si ha per il momento d’inerzia

I

2 2 2

2 2 2

xx yy zz xy yz zx

I = I α + I β + I γ − I αβ − I βγ − I γα

e’ il momento d’inerzia del corpo

2 2 2

1 I

_xx

I

_yy

I

_zz

2 I

_xy

2 I

_yz

2 I

_zx

I I I I I I

α β γ αβ βγ γα

= + + − − −

ossia

dall’origine

O

detta “ elissoide di inerzia “

qualunque sia la distribuzione di massa del corpo

“teorema di Poinsot” : l’elissoide d’inerzia e’ fisso rispetto al corpo

del sistema di riferimento,

e comunque si scelga l’origine

O

l’insieme dei punti ( il ’’luogo dei punti’’ ) che soddisfano questa relazione e’ una superficie elissoidale con centro in

O

del corpo rigido rispetto al punto

O

e non dipende dalla scelta

ma solo da

O

questo e’ vero

e il punto geometrico

P

di intersezione

1 I

quindi e’ sempre possibile determinare e il momento d’ inerzia del corpo

calcolando la distanza tra

O

passante per il centro dell’elissoide si potra’ ottenere

dell’asse con l’elissoide, infatti la distanza

OP

_vale

l’elissoide d’inerzia di un corpo rigido rispetto a qualsiasi asse di rotazione

nell’ elissoide di inerzia vi sono sempre

e gli assi orientati nella direzione di questi due diametri

perpendicolare ad entrambi gli assi dell’elissoide d’inerzia e

del corpo rigido

formano un diametro massimo

sono perpendicolari tra loro

detti “

assi principali d’inerzia

” ed uno minimo,

insieme ad un terzo asse

se come assi

x,y, z,

solidali al corpo

la

I X

_xx ²

+ I Y

_yy ²

+ I Z

_zz ²

− 2 I XY

_xy

− 2 I YZ

_yz

− 2 I ZX

_zx

= 1

si semplificherebbe e diventerebbe

I X

_x ²

+ I Y

_y ²

+ I Z

_z ²

= 1

dove

I

_x

, I

_y

, I

_z , sono i momenti d’inerzia del corpo rispetto

agli assi dell’elissoide, ossia agli assi principali d’inerzia

si scegliessero gli assi dell’elissoide

sono i “ momenti principali d’inerzia”

, e

x y z

I I I

gli assi centrali di inerzia

se il punto

O

coincide con il centro di massa si parla

“ assi centrali d’inerzia ^”

ma possono essere di piu’

sono sempre di “elissoide centrale d’inerzia” e di

proprieta’ di simmetria

 se l’elissoide divenisse

sarebbe un asse centrale d’inerzia qualsiasi asse passante per

O

una superficie sferica

almeno tre se il corpo e’ dotato di

che specifica le caratteristiche

 Nota bene :

l’elissoide d’inerzia

del corpo rigido dal punto di vista delle rotazioni intorno ad un asse una equazione matematica

soltanto dalla forma del corpo rigido, masse al suo interno

l’ equazione che definisce l’elissoide d’inerzia non dipende

non e’ una parte di corpo rigido

 dunque l’elissoide d’inerzia

e’ una superficie geometrica definita da

ma anche dalla distribuzione delle

di forma elissoidale

1

v

n

i i i

i

L r m

=

= ∑ ×

  

ˆ ˆ ˆ

x

i

y

j

z

k

ω ω  = + ω + ω

1

( )

n

i i i

i

r m ω r

=

× ×

∑ ^{  }

esplicitando le componenti cartesiane della

si ha

L

_x

= I

_xx

ω

_x

− I

_xy

ω

_y

− I

_xz

ω

_z

y xy x yy y yz z

L = − I ω + I ω − I ω

z xz x yz y zz z

L = − I ω − I ω + I ω

1

( )

n

i i i

i

r m ω r

=

= ∑ ^ × ^ × ^

del tutto in generale per definizione

( ) I

_xx

ω

_x

− I

_xy

ω

_y

− I

_xz

ω

_z

i ˆ + ( − I

_xy

ω

_x

+ I

_yy

ω

_y

− I

_yz

ω

_z

) ˆ j +

( − I

_xz

ω

_x

− I

_yz

ω

_y

+ I

_zz

ω

_z

) k ˆ L  =

ˆ ˆ ˆ

x

i

y

j

z

k

ω ω  = + ω + ω

dato che e’ evidente che

L 

non e’ proporzionale a

ω ^

e’ la “matrice d’inerzia”

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

I I I

I I I

I I I

− −

− −

− −

la matrice

se scegliessimo come assi di riferimento gli assi principali d’inerzia la

ˆ ˆ ˆ

x x y y z z

L  = I ω i + I ω j + I ω k

e la relazione tra

L

e ω si semplificherebbe in matrice d’inerzia diagonalizzerebbe

in conclusione

per ogni corpo rigido

esisteranno sempre tre, ( o piu’ ) assi

sono perpendicolari tra di loro

L

e’ parallelo ad

ω

passanti per punto fisso

O

del corpo

questi assi

rispetto ad uno di essi

qualunque sia la sua forma geometrica e la sua distribuzione di massa

un qualsiasi

e hanno la caratteristica che quando il corpo ruota

in teoria,

sui supporti dell’asse di rotazione

 nel caso di corpi rotanti

che minimizzi, o al limite azzeri,

dunque sara’ necessaria una accurata progettazione e’ sempre possibile,

realizzare una configurazione

le sollecitazioni dinamiche

e tuttavia non sempre sara’ possibile realizzare questa condizione in pratica anche se lo sarebbe sempre in teoria

se un corpo rigido ,

asse centrale d’inerzia,

non ci sarebbe nessun momento esterno

la sua direzione nello spazio

Giroscopio

l’asse di rotazione conserverebbe invariata in rotazione rispetto ad un

il centro di massa del corpo sarebbe sull’asse di rotazione,

e dato che la forza peso si puo’ pensare esercitata sul centro di massa del corpo non avrebbe momento risultante

quindi

che faccia cambiare direzione all’asse

 principio di funzionamento dei giroscopi

ω ^

venisse messo sottoposto alla sola forza peso,

rispetto al centro di massa stesso percio’

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