Esercizi sul corpo rigido.
Precisazioni: tutte le figure geometriche si intendono omogenee, se non è specificato diversamente. Abbreviazioni: cdm: centro di massa. CR: corpo rigido.
Centro di massa.
1. Trovare il cdm di un CR formato da 2 sbarre omogenee, di massa 5kg e lunghezza 60cm (AB), e 7kg e 1.2m (BC) (usare BC e AB come assi cartesiani) [0.35m, 0.125m]
2. Calcolare la posizione del cdm di un CR formato da un cilindro (di massa m1=2kg, raggio R1=4cm e altezza h=40cm) e da una sfera (di massa m2=1kg e raggio R2=10cm. Sfera e cilindro sono coassiali, con la sfera tangente ad una faccia del cilindro [10cm dentro il cilindro, dal lato del la sfera]
3. Determinare la posizione del cdm
a) di un cono omogeneo, di raggio R e altezza h [h/4 dalla base]
b) di una semisfera di raggio R [3R/8 dal centro]
4. Un CR omogeneo è formato da una semisfera di raggio R e un cono di raggio R e altezza h. Calcolare l'altezza del cono affinché il cdm si trovi dal lato della semisfera (in questo caso il solido è in equilibrio stabile nella posizione in figura). [h< 3R]
Equilibrio del corpo rigido.
5. Un artista eccentrico appende i suoi quadri per un angolo. Se un quadro ha dimensioni 40x70cm, determinare l’angolo che forma il lato più lungo con la verticale. [29.7°]
6. Una sbarra di massa m=20kg e lunghezza l=2m è appoggiata orizzontalmente su due punti, A e B, situati il primo a distanza l/4 dall’estremo sinistro, il secondo all’estremo destro. Determinare le reazioni normali NA e NB dei due appoggi.
[NB=mg/3=65.4N, NA=2NB=130.8N]
7. Un’asta di massa m=10kg e lunghezza l=80cm è vincolata a ruotare intorno ad un suo estremo. Essa è tenuta in equilibrio da una forza F, orizzontale, applicata all’estremo libero con l’asta che forma un angolo di 60° rispetto alla verticale.
Determinare il modulo di F e della reazione vincolare. [ F=85N, R=130N]
8. Una persona sostiene un’asta di 3m e 5kg, orizzontalmente, afferrandola ad un estremo e in un punto a 0.3m dall'estremo. Calcolare le forze applicate nell'ipotesi che siano entrambe verticali. [in modulo: 196N all'estremo, 245N nell'altro punto]
9. Un disco di raggio 0.3m e massa 6kg è vincolato a ruotare intorno al suo asse, nel piano verticale. Ad esso è rigidamente attaccata un'asta di 1.2kg lunga 1m inclinata di 45° come in figura. Il tutto è tenuto in
B C
A
45
equilibrio da una massa m sospesa ad un filo avvolto sulla circonferenza del disco. Trovare il valore di m. [2.26kg]
Momenti d’inerzia.
10. Calcolare il momento d’inerzia del sistema descritto nel prob. 1, rispetto ad un asse passante per A, ortogonale al piano del disegno. [6.48kgm2]
11. Calcolare il momento d’inerzia di una cornice quadrata, formata da 4 aste di massa m=0.5 kg e lunghezza l=60cm, rispetto ad un asse ortogonale al quadrato, passante per uno dei vertici. [ 2 0.6 2
3
10m kgm
I = l = ]
12. Calcolare il momento d’inerzia di un’asta di massa m e lunghezza l, rispetto ad un asse passante per il centro di massa ma formante un angolo θ con l’asta.
[
(
sin)
212
1 ml θ
I = ]
13. Calcolare il momento d’inerzia di un sistema formato da un’asta di lunghezza l=0.4m e massa m=1kg, ed una sfera attaccata all’estremo, di massa m’=0.5kg e raggio R=10cm, rispetto ad un asse ortogonale all'asta passante per l'altro estremo [0.18kgm2]
14. Dimostrare che il momento d’inerzia di un cono, di massa m, raggio R e altezza h, rispetto al suo asse, vale 2
10 3 mR . Rotazione con asse fisso.
15. Un disco di 5kg e raggio 30cm è vincolato a ruotare intorno al proprio asse orizzontale. Un'asta di 0.5kg lunga 0.8m è fissata al bordo del disco come in figura. Calcolare l’accelerazione angolare del sistema quando è lasciato andare [α =6.9 rad/s2]
16. Una massa m=0.5kg è appesa ad un cilindro di massa M=4kg e raggio R=10cm, mediante un filo di massa trascurabile. Il cilindro è vincolato a ruotare senza attrito, nel piano verticale, intorno al proprio asse. Calcolare l’accelerazione della massa m e la tensione della fune. [T=0.8mg=3.92N, a=0.2g=1.96m/s2]
17. Due masse m1=3kg e m2=2kg sono appese ad una puleggia di massa m3=10kg e raggio R=20cm mediante una fune di massa trascurabile (v.figura). a) Calcolare l’accelerazione delle due masse nell’ipotesi che la fune scivoli senza attrito sulla puleggia.
b) Calcolare l’accelerazione delle masse nell’ipotesi che la fune non possa scivolare sulla puleggia. (Nota: nel 2° caso le tensioni sono diverse nei 2 rami) [a) 1.96 m/s2, b) 0.98 m/s2]
18. Calcolare la reazione vincolare esercitata dal perno della pulegga nei due casi del prob. 17. [a) T1=T2=23.5N, R=145.1N, b) T1=26.5N, T2=21.6N, R=146.1N ]
m2
m1
19. Il sistema del prob. 1 è vincolato a ruotare nel piano verticale intorno al punto A. La posizione iniziale è mostrata in figura. Calcolare l’accelerazione angolare iniziale, appena il sistema è lasciato libero di muoversi. [α= 8.63 rad/s2]
20. Nel problema precedente, calcolare la velocità angolare massima del sistema.
Calcolare la reazione vincolare in tale condizione. [ω=5.84 rad/s, R= 359N]
21. Nel prob. 17 calcolare la velocità della massa m1 dopo che questa è scesa di 1m, partendo da ferma, usando la conservazione dell’energia. [a) 1.98m/s, b) 1.40m/s]
22. Al disco del prob. 16 si applica una coppia τ, mediante un motore, in modo tale che la massa m salga con velocità costante pari a 2m/s. Quanto vale la tensione del filo in questo caso? Qual è il valore del momento τ? Qual è la potenza erogata?
[T=mg, τ=TR, P=τω=Tv]
23. Un disco di massa m=20kg e raggio R=15cm inizialmente compie 10 giri al secondo intorno al proprio asse. Se il disco è soggetto ad un momento di attrito costante, di modulo 2.5Nm, qual è l’accelerazione angolare? Quanti giri compie prima di fermarsi? [11.1 rad/s2 in modulo, 28.3 giri]
24. Un’asta vincolata a ruotare intorno ad un suo estremo è rilasciata, a riposo, in posizione θ=135° rispetto alla verticale (inclinata verso l'alto). Calcolare la velocità angolare nel punto più basso, e la reazione del vincolo in quell’istante.
[ =
(
+ °)
=(
5+3sin45°)
45 2 sin 3 1
2 mg
g R l V
ω se l è la lunghezza dell’asta]
Moto di rotolamento.
25. Una sfera di massa m=0.2kg e raggio R=4cm scende rotolando su un piano inclinato. Se parte da ferma e percorre un dislivello h=1m, quanto vale la sua velocità finale? [v=ωR= 10gh/7 =3.74m/s]
26. Calcolare l’accelerazione angolare della sfera nel problema 25. [5gsinθ/7R dove θ è l’inclinazione del piano rispetto all’orizzontale]
27. Come cambierebbe la risposta al prob. 25 se anziché una sfera avessimo avuto un disco? [v=ωR= 4gh/3=3.62m/s]
28. Una sfera si trova su un piano inclinato con coefficiente di attrito statico µS=0.3.
Qual è l’inclinazione massima del piano affinche il moto sia di puro rotolamento?
[θ ≤46.4°]
29. Uno yo-yo (v. figura) è formato da un rocchetto di massa 100g, con momento d’inerzia I=5.10-5kgm2. Il diametro interno, su cui è avvolto il filo, è di 2cm. Calcolare l’accelerazione e la tensione del filo durante la discesa []
B C
A
30. Un cilindro di massa 2kg e raggio R=10cm rotola su un piano orizzontale, con velocità di traslazione v=10m/s. Determinare a che altezza sale su un piano inclinato (dislivello del cdm) nell’ipotesi a) che il piano sia scabro in modo da garantire le condizioni di rotolamento e b) che il piano sia perfettamente liscio. [7.65m, 5.10m]
Urti con corpi rigidi.
31. Un’asta di massa m=3kg e lunghezza l=60cm, inizialmente a riposo, è sospesa ad un estremo intorno al quale può ruotare liberamente. Essa riceve un impulso J=5Ns, orizzontale, nell’estremo libero. Calcolare: la velocità angolare subito dopo l’urto; l’impulso esercitato dal vincolo nell’urto; l’angolo massimo raggiunto dall’asta. [8.3rad/s, 2.5Ns, 73.0°]
32. Risolvere il problema 31 nell’ipotesi che l’impulso sia applicato a metà dell’asta.
[4.2rad/s, -1.25Ns, 34.6°]
33. L’asta del prob. 31, nelle stesse condizioni iniziali, viene colpita da una massa puntiforme m=0.1 kg e velocità, al momento dell’urto, v=50m/s, orizzontale. Se l’urto avviene all’estremo libero dell’asta, e la massa vi rimane attaccata, quanto valgono: la velocità angolare subito dopo l’urto;
l’impulso esercitato dal vincolo nell’urto; l’angolo massimo raggiunto dall’asta? [7.6rad/s, 2.3Ns, 102°]
34. Risolvere il prob. 33 nell’ipotesi che l’impatto avvenga a metà dell’asta. [4.1rad/s, -1.2Ns, 48°]
35. L’asta del prob. 31 è inizialmente a riposo in posizione orizzontale. Viene lasciata libera di ruotare fino al punto più basso dove urta con l’estremo una massa m’=0.5kg, inizialmente ferma. Se m’ acquista una velocità, subito dopo l’urto, pari a 2 m/s, quanto vale la velocità angolare dell’asta dopo l’urto? [5.3 rad/s]
36. Un’asta di massa m=2 kg e lunghezza l=60cm è inizialmente a riposo su un piano orizzontale liscio. Essa viene colpita ad un estremo da una massa puntiforme m’=0.4kg alla velocità di 3m/s che vi resta attaccata.
(v.figura per i dettagli dell’urto). Determinare:
a) la velocità del cdm prima e dopo l’urto [0.50 m/s]
b) se il momento angolare si conserva nell’urto, e rispetto a quale polo [Si, qualsiasi]
c) Calcolare la velocità angolare e l’energia cinetica dopo l’urto.
[ω=0.4.62 rad/s, 0.99 J]
J
