Dinamica del corpo rigido

Dinamica del corpo rigido

Testo di riferimento:

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

•  cap.7

a.a. 2017-2018

Dinamica del corpo rigido

Testo di riferimento:

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

•  cap.7

a.a. 2017-2018

dal Programma

o  Dinamica del corpo rigido

Baricentro. Sistemi di forze parallele. Definizione e proprietà dei corpi rigidi. Densità di massa, posizione del centro di massa. Moto di un corpo rigido. Corpo rigido in rotazione attorno ad un asse fisso: energia cinetica, momento angolare e momento di inerzia.

Teorema di Huygens-Steiner. Pendolo composto.

Asse istantaneo di rotazione. Impulso angolare e momento dell’impulso. Moto di puro rotolamento.

Corpo rigido libero. Equazioni cardinali del moto.

Teoremi di König. Equilibrio statico del corpo rigido

Definizione di corpo rigido

o  È un sitema di punti materiali in cui la

posizione relativa dei diversi punti non

cambia nel tempo

|r

|=|r

-r

|=cost à d|r

|/dt=0 àd|r

|=0

|r

|=|r

-r

|=cost à d|r

|/dt=0 àd|r

|=0

r

Il teorema dell’energia cinetica

dL

= ( !

F

+ !

F

)• d !

r

= dL

+ dL

L

= L

+ L

v_i,A

v_i,B v_i

Sommando su tutti punti del sistema, il lavoro delle forze interne non si annulla !

dL

= !

F

• d !

r

= dE

L

= E

− E

formula della slide precedente

Concentriamoci un momento sul lavoro F_iŸdr_i:

F ! • d !

r + !

F • d !

r = !

F •(d !

r − d !

r ) = !

F • d( !

r − !

r ) = !

F • d ! r

Infatti se consideriamo una qualsiasi coppia di punti (m_i ed m_j):

slide presa dalla lezione sui sistemi di punti materiali

Corpo rigido

o  Il lavoro (totale) delle forze interne è sempre nullo perché la posizione

relativa dei punti resta costante (i

lavori si annullano a coppie, ma non sono in generali nulli)

dL = dL

=

i

∑ ^dE

⁼

i

∑ ^dE

L = E

− E

dL = dL

= dE

L = L

= E

− E

il lavoro delle forze interne scompare Teorema del lavoro e dell’energia cinetica per il corpo rigido:

Dinamica del corpo rigido

o  studieremo la dinamica in un

sistema di riferimento inerziale xyz o  utilizzeremo molto anche il sistema

di riferimento del centro di massa del corpo rigido

n  assi x’y’z’ con orientazione che non cambia rispetto a quelli del sistema inerziale

o  non è in generale un sistema inerziale

o  solo per rappresentazione (figure) conviene avere un terzo sistema x*y*z* con origine nel CM e

solidale al corpo rigido

n  in tale sistema ogni punto del corpo

rigido è fermo

Sistema continuo e discreto

o  In generale il sistema di punti materiali potrebbe essere costituito da n punti discreti (come

abbiamo sempre fatto sino ad ora)

o  oppure può essere considerato come un corpo continuo

n  con un corpo continuo, a tutte le “sommatorie su i” delle formule introdotte nelle lezioni precedenti, dobbiamo

sostituire integrali (somma su un numero infinito di punti, ciascuno con massa infinitesima)

n  Esempio: centro di massa

r !

=

m

! r

i

∑

m

r !

=

r !

corpo

∫ ^dm

m

Densità di un corpo

o   definizione: ρ=dm/dV

n   [ρ]=Kg/m

n  densità acqua: 1 kg/litro=1kg/

dm

=1000kg/m

o  massa di un corpo esteso

n 

n  se la densità è costante

m = dm

corpo

∫ ^{= ρ dV}

corpo

∫

m = ρ ^dV

corpo

∫ ^{= ρ V}

Densità superficiale e lineare

o  in casi particolari la massa può essere

distribuita su una superfice (es. pellicola, membrana) o su una linea (es. fune)

o  si tali casi si può definire una densità superficiale (di massa)

m = dm

Superfice

∫ ^{= ρ}

^dS

Superfice

∫ ^{m = dm}

linea

∫ ^{= ρ}

^dl

linea

∫

ρ

= dm

dS ρ

= dm

Kg/m²

dl

Centro di massa

o  inseriamo la densità nelle formule già ricavate

n  corpo omogeneo (densità costante) r !

=

r !

volume

∫ ^dm

dm

volume

∫ ⁼

r !

volume

∫ ^{ρ dV}

ρ ^dV

volume

∫ ⁼

r !

volume

∫ ^{ρ dV}

m

r !

=

ρ ^{r !}

volume

∫ ^dV

m = 1

V

r !

volume

∫ ^dV

Calcolo del centro di massa

o  per corpi omogenei, con proprietà

(geometriche di simmetria), il calcolo del

centro di massa è facile (risultato intuitivo)

Calcolo del centro di massa

o  Esempio 2.1

risultato:

r

=2R/π

u

Centro di massa e forza peso

o  quanto già ricavato per i sistemi di punti materiali (slide 48 della precedente lezione) continua a valere, anche per un corpo

continuo

o  non vi è bisogno di ricavare

nuovamente le stesse espressioni

n  Risultante delle forze peso

R=P=mg (applicata al centro di massa)

n  Momento rispetto ad un punto

fisso (es. origine): M=r

xmg

n  Energia potenziale: E

= mg z

Moto del corpo rigido

Consideriamo i casi più semplici o  moto puramente traslatorio

n  dinamica è “quella del punto materiale”

n  non c’è movimento rispetto al centro di massa: L’=0 , E

’=0

n  Le grandezze significative sono:

o  quantità di moto: P = mv

o  energia cinetica: E

=E

l’ equazione del moto è: R=ma_CM Il momento angolare lo ricavo a

partire da P e dalla posizione del CM:

L=L_CM=r_cm x mv_CM = r_cm x P

Moto del corpo rigido

Consideriamo i casi più semplici o  moto puramente rotatorio

n  la rigidità del corpo fa si che abbiano tutti la stessa velocità angolare ω ^che

è parallela all’asse di rotazione

n  la velocità dei diversi punti è diversa

o  v

=ω x r

(modulo v

=ωr

)

n  L’equazione che governa il moto è:

M=dL/dt

Studieremo meglio più avanti questo moto (in particolare quando l’asse di rotazione resta sempre lo stesso nel tempo)

ricaveremo l’accelerazione angolare α e le altre quantità (momento angolare) In generale il moto sarà quello roto-traslatorio. Ogni spostamento

infinitesimo può essere considerato come somma di una traslazione e di una rotazione infinitesime, individuate da v=v_CM e

ω

Moto del corpo rigido

o  un corpo rigido, ad un dato istante, può essere

n  in quiete

n  in moto puramente traslatorio n  in moto puramente rotatorio n  in moto roto-traslatorio

o  in un istante successivo, il suo stato di moto può variare (es. da puramente traslatorio a roto-traslatorio)

n  si parla di “atto di moto” ad un dato istante

In generale il moto sarà quello roto-traslatorio. Ogni spostamento

infinitesimo può essere considerato come somma di una traslazione e di una rotazione infinitesime, individuate da v=v_CM e

ω

moto del corpo rigido

moto del corpo rigido

La descrizione dell’atto di moto non è univoca:

Es. in figura

Moto puramente rotatorio intorno al’asse fisso,

oppure

moto rototraslatorio

con rotazione istantanea per un asse passante per il centro

di massa e parallelo al precedente, mentre la traslazione è indivudata dal moto (circolare) del centro di massa.

La velocità angolare è la stessa.

Corpo rigido vincolato ad asse fisso

l’asse è fisso rispetto ad un riferimento inerziale

n  descriviamo il moto in un

sistema di riferimento inerziale

o  la velocità angolare è ω=ωu

o  l’accelerazione angolare è α =

dω/dt = αu

n  velocità di un punto v

ha modulo v

=ωR

n  accelerazione di un punto a

ha componente normale ω

R

e

componente tangente αR

Corpo rigido vincolato ad asse fisso

momento angolare (rispetto ad O, sull’asse):

o  per punto P

: L

=r

x mv

n  perpendicolare ad r

e v

o  calcoliamo la componente z di L

(e poi di L=ΣL

)

n  momento angolare “assiale”

L

=L

cos(π/2-θ

) =L

sin(θ

)=m

r

sin(θ

) ωR

=mR

ω

L in generale non è parallelo a z

Corpo rigido vincolato ad asse fisso

L in generale non è parallelo a z

Calcoliamo la proiezione sull’asse z

L _z = Σ _i L _i,z = (Σ _i mR _i ² )ω

o  Definiamo I _z = Σ _i mR _i ²

n  momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse z

à _L

_=I

_ω

Momento angolare e momento di inerzia

o 

o  in generale L non è parallelo a z

n  vi sarà una componente trasversa all’asse z:

L

=L

cos(θ

)

o  caso in cui l’asse z è un’asse di simmetria*:

L=L

u

=I

ω

n  per ogni P

si considera il punto

simmetricamente opposto rispetto

all’asse P

L

+L

=2L

u

L

=I

ω

* in realtà si può fare un

discorso più ampio definendo gli “assi principali di inerzia”

Corpo rigido vincolato ad asse fisso

Equazione del moto

o  Se L è parallelo a ω=ωu

le relazioni sono vettoriali:

o  altrimenti basta considerare la proiezione sull’asse z

d ! L

dt = d

dt (I

!

ω ) = I

d ! ω

dt = I

! α M = ! d !

L

dt = I

! α

dL

dt = d

dt (I

ω ) = I

d ω

dt = I

α M

= dL

dt = I

α

Corpo rigido vincolato ad asse fisso

Equazione del moto

o  Integrando si ottiene la legge oraria del moto, note le condizioni iniziali (angolo e velocità angolare):

o  se M

=0, il corpo resta in quiete o si muove di moto circolare uniforme

α (t) = M

(t) I

ω (t) = ω

+ α ^{(t ')dt '}

o

∫

θ (t) = θ

⁺ ω ^{(t ')dt '}

o

∫

α = M

I

= 0 → ω (t) = ω

^, θ (t) = θ

+ ω

^t

Corpo rigido vincolato ad asse fisso

Equazione del moto

o  Integrando si ottiene la legge oraria del moto, note le condizioni iniziali (angolo e velocità angolare):

o  se M

=cost, il corpo si muove di moto circolare uniformemente accelerato

α (t) = M

(t) I

ω (t) = ω

+ α ^{(t ')dt '}

o

∫

θ (t) = θ

⁺ ω ^{(t ')dt '}

o

∫

α = M

I

= cost → ω (t) = ω

+ α ^t, θ (t) = θ

+ ω

t +

α ^t

Corpo rigido vincolato ad asse fisso

Energia cinetica

o  si ottiene con la solita formula:

Il teorema del lavoro e

dell’energia cinetica diventa:

E

=

m

v

i

∑ ⁼

^m

^R

^ω

i

∑ ⁼

^I

^ω

W = ΔE

=

I

ω

−

I

ω

In forma infinitesima:

dW = dE

= d(

I

ω

) =

I

d ω

= I

ω ^d ω = I

d θ

dt α dt = I

α ^d θ = M

d θ

(ora usiamo W anziché L per il lavoro)

Corpo rigido vincolato ad asse fisso

Il teorema del lavoro e dell’energia cinetica:

W = ΔE

=

I

ω

−

I

ω

In forma infinitesima:

dW = dE

= d(

I

ω

) =

I

d ω

= I

ω ^d ω = I

d θ

dt α dt = I

α ^d θ = Md θ

(ora usiamo W anziché L per il lavoro)

Integrando tra posizione iniziale e finale: W = M

d θ

ini fin

∫

La potenza istantanea vale: P = dW

dt = M

d θ

dt = M

ω

Esempio 7.3

o  Un cilindro di massa m ₁ =0.4 kg è

collegato alla massa m ₂ =0.2 kg tramite una carrucola di

raggio R=2.5 cm e momento di inerzia rispetto all’asse

I=2.5Ÿ10 ^-4 kg m ²

n  trascurando l’attrito calcolare

l’accelerazione

dal materiale didattico del Prof. Giglietto

dal materiale didattico del Prof. Giglietto

Esempio 7.4

o  Un disco omogeneo, di raggio r e massa m

ruota senza attrito attorno ad asse

passante per il suo

centro O. Sul bordo del disco è avvolto un filo inestensibile al cui

estremo vi è la massa m

n  determinare moto del

sistema, tensione del filo e la reazione dei supporti che reggono il filo

o  Il momento di inerzia del

disco vale I=1/2m

r

dal materiale didattico del Prof. Giglietto

Parallelismo tra moto rotatorio (con asse fisso) del corpo rigido e moto rettilineo del punto materiale

variabile moto rettilineo

1d Corpo rigido

con asse fisso

“posizione” x θ

vel. v=dx/dt ω=dθ/dt

acc. a=dv/dt α=dω/dt

inerzia m I_z

p=mv L_z=I_z ω

Eq. moto F=ma=dp/dt M_z=I_zα=dL_z/dt energia cin. E_K=1/2 m v² E_K=1/2 I_z ω² Lavoro infinit. dW = F dx dW = M_z dθ

Lavoro finito W=Integr(F dx) W=Itegr(M_z dθ ) Potenza P = dW/dt =F v P = dW/dt =M_zω

Momento di inerzia

o  I

= Σ

mR

[I

]= kg m

I = ∫ R

dm ⁼ ∫ ^{ρ R}

^{dV =} ∫ ^{ρ (x}

^{+ y}

^)dV

Momento di inerzia

o  I _z = Σ _i mR _i ² [I _z ]= kg m ²

Esempio 7.4

o  Calcolare momento di inerzia per asse z (uscente dal centro e

perpendicolare all’anello) di un anello omogeneo di raggio R e massa m.

o  Estendere il calcolo ad un guscio cilindrico sottile

Per l’anello il risultato è ovvio: I_z=mR²

anche per il guscio il risultato è ovvio: I_z=mR²

Esempio 7.5

o  Calcolare momento di inerzia per asse z (uscente dal centro e

perpendicolare al disco) di un disco omogeneo di raggio R e massa m.

o  Estendere il calcolo ad cilindrico pieno

Per l’anello infinitesimo a raggio r il contributo è: dI_z=dm r²

quanto vale la massa dm ?

detta ρ_s la densità superficiale ρ_s =m/πR² à dm = 2πr drρ_s Il momento d’inerzia totale vale:

I

= r

dm

0

∫

^{= 2 πρ}

^r

^dr

∫

⁼

^πρ

^R

⁼

^mR

Esempio 7.5

o  Calcolare momento di inerzia per asse z (uscente dal centro e

perpendicolare al disco) di un disco omogeneo di raggio R e massa m.

o  Estendere il calcolo ad cilindrico pieno

Per il cilindro, dividiamolo in tanti dischetti,

ciascuno di spessore dz, massa dm e volume dV=πR² dz ciascun dischetto contribuisce con dI_z =1/2 dm R²

quanto vale la massa dm ?

detta ρ la densità volumetrica ρ =m/(3/4πR³) à dm = πr² dz ρ Il momento d’inerzia totale vale:

I

= dI

cilin dro

∫ ⁼ ∫

^dmR

⁼

^mR

Esempio 7.6

o   Calcolare il momento di inerzia di un asta omogenea lunga d

rispetto ad un asse ortogonale e passante per il centro.

o  Ripetere il calcolo per l’asse passante per un estremo

Per il primo caso, detta S la sezione dell’asta: m=ρ Sd

I

= x

dm

−d/2

∫

^{= ρ S}

^x

^dx

∫

⁼

^{ρ Sd}

⁼

^md

nel secondo caso, cambiano solo gli estremi di integrazione:

I

= x

dm

0

∫

^{= ρ S}

^x

^dx

∫

⁼

^{ρ Sd}

⁼

^md

Teorema di Huygens-Steiner

o  Il momento d’inerzia di un corpo di massa m rispetto ad un asse che si trova ad una distanza a dal centro di massa del corpo è dato da

I=I

+ma

dove I

è il momento d’inerzia del corpo rispetto ad un asse parallelo al primo asse e

passente per il centro di massa I=I

+ma

Teorema di Huygens-Steiner

I=I

+ma

o   x =x’, y=y’+a, z=z’

o   il contributo al momento d’inerzia

dovuto ad un punto P

vale m

(x

+y

) o  sommando su tutti i punti:

I = m

(x

+ y

)

i

∑ ^{= m}

^{[x '}

^{+ (y'}

^{+ a)}

^{] =}

i

∑

= m

(x '

+

i

∑ ^y'

^{) + ma}

^{+ 2a m}

^y'

i

∑

m

y'

i

∑ ^{= my'}

^{= 0 I = I}

^{+ ma}

Connessione tra teorema di

Huygens-Steiner e teorema di Konig

o  Abbiamo ottenuto per l’energia cinetica di un corpo in rotazione attorno ad un asse z:

o  applichiamo il teorema di Steiner

ma

E

=

I

ω

E

=

(I

+ ma

) ω

=

I

ω

+

ma

ω

a ω = v

E

=

I

ω

+

mv

Esempio 7.8

o  Un disco ruota intorno all’asse in grigio passante per O.

n  a = 0.1 m n  m = 6 kg n  R =0.2 m n  ω = 12 rad/s

o  Calcolare:

n  la forza esercitata dai supporti sull’asse per mantenere la rotazione

n  il momento della forza peso rispetto al punto O

n  l’energia cinetica del disco

o  Se partendo da fermo il disco deve raggiungere in 4s la velocità di

regime (ω), che momento costante bisogna applicare ? Quanto vale

l’accelerazione tangente del centro di

massa?

Esempio 7.8

o  Un disco ruota intorno all’asse in grigio passante per O.

n  a = 0.1 m n  m = 6 kg n  R =0.2 m n  ω = 12 rad/s

o  Calcolare:

n  la forza esercitata dai supporti sull’asse per mantenere la rotazione

deve essere pari alla forza centripeta applicata al centro di massa m ω² a = 86.4 N

Esempio 7.8

o  Un disco ruota intorno all’asse in grigio passante per O.

n  a = 0.1 m n  m = 6 kg n  R =0.2 m n  ω = 12 rad/s

o  Calcolare:

n  il momento della forza peso rispetto al punto O

M = mg a = 5.9 N

Esempio 7.8

o  Un disco ruota intorno all’asse in grigio passante per O.

n  a = 0.1 m n  m = 6 kg n  R =0.2 m n  ω = 12 rad/s

o  Calcolare:

n  l’energia cinetica del disco

Il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione è I = ½ m R² + ma² = 0.12 + 0.06 kg m² = 0.18 kg m² L’energia cinatica vale: E_K=1/2 I ω² = 12.96 J

Esempio 7.8

o  Un disco ruota intorno all’asse in grigio passante per O.

n  a = 0.1 m n  m = 6 kg n  R =0.2 m n  ω = 12 rad/s

o  Se partendo da fermo il disco deve raggiungere in 4s la velocità di

regime (ω), che momento costante bisogna applicare ? Quanto vale

l’accelerazione tangente del centro di massa?

Poiché ω = αt à α = 12/4 = 3 rad/s² M=I α= 0,54 Nm

a_{CM, T} = α a = 0.3 m/s²

Pendolo composto

T = 2π

Ω = 2π I_z mgh

M

= −mghsen θ

M

= dL

dt = I

α = I

d

θ

dt

= −mghsen θ I

d

θ

dt

= −mghsen θ

2

Ω = mgh I_z

d

θ

dt

= −Ω

sen θ

per piccole oscillazioni:

d

θ

dt

= −Ω

θ

il periodo è

θ (t) = θ

sen(Ωt + φ ⁾

la soluzione è il moto armonico:

Moto di puro rotolamento

v_cm=-ω x r v_cm=ωr à a_CM= αr v_P= v_cm + ω x r Il punto C è fermo à

Moto di puro rotolamento

Moto di puro rotolamento

F+N +mg + f = m a_CM x: F- f = m a_CM

y: N =mg

Teorema del momento angolare (preso O come polo):

M = r x f = I

α à rf = Iα = I a

/r

Combinando equazione asse x e quest’ultima

a

= F m(1+ I

mr

)

f = F 1+ mr

I

perché l’attrito sia statico:

f ≤ µ

N = µ

mg ⇒ F ≤ µ

mg 1+ mr

I

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Moto di puro rotolamento

N + mg + f = m a_CM

x: f = m a_CM y: N =mg

M +r x f = I α M_z - rf = I a_CM /r

a

= M mr(1+ I

mr

)

f = M

r 1+ I mr

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

perché l’attrito sia statico:

f ≤ µ

N = µ

mg ⇒ M ≤ µ

mgr 1+ I mr

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Moto di puro rotolamento

N + mg + f +F = m a_CM y: N =mg

M +r x f = I α M_z - rf = I a_CM /r

a

= 1 m

F + M r 1+ I

mr

f = M

r − I mr

F 1+ I

mr

Se vi è sia una forza che un momento:

Moto di puro rotolamento

o  L’attrito è statico: non vi è lavoro.

o  Se le altre forze sono conservative (es.

forza peso), si ha la conservazione dell’energia meccanica

o  in realtà vi è sempre un po’ di attrito

“volvente”, dovuto alla deformabilità

dei corpi

Esempio 7.9 e 7.10

Impulso angolare. Momento dell’impulso

o  Teorema dell’impulso:

n  J=Δp=p

-p

o   Vale relazione analoga per i momenti

Impulso angolare

M dt !

t₁ t₂

∫ ^{= L(t !}

^{) − L(t !}

^{) = Δ L !}

M dt !

t₁ t₂

∫ ⁼ ( ^{r × ! F !} ) ^dt

t₁ t₂

∫ ^{= r × ! F dt !}

t₁ t₂

∫ ^{= r × ! J = Δ ! L !}

Leggi di conservazione per corpo rigido

o  Se la risultante delle forze esterne è nulla, si conserva la quantità di moto del sistema: P = m v

= cost

o  Se il momento delle forz esterne è nullo

rispetto ad un punto fisso O oppure rispetto a la centro di massa, si conserva il momento

della quantità di moto rispetto a tale punto: L

= cost

o  Se vi sono solo forze conservative si conserva l’energia meccanica: E

=E

+E

= cost

n  possiamo sempre scrivere: E

=1/2 mv

+ 1/2L

/I

Esempio

o  asta lasciata cadere, senza attrito. Che velocità ha il centro di massa nel punto più basso ?

E

=mgl

E

=1/2 I ω

+ mgl/2

I=1/3ml

E

=E

à ω = √(3g/l)

v

=ωl/2= √(3gl/4)

Corpo rigido “libero”

o  Equazioni “cardinali” del corpo rigido

n  R = m a

= dP / dt n  M

= dL/dt

o  si tratta di 2 equazioni vettoriali à 6 equazioni o  Quante sono le incognite per determinare

completamente la posizione (ad un dato istante) del corpo rigido ?

n  è sufficiente conoscere la posizione di due punti à poiché il corpo è rigido, conosco la posizione di tutti gli altri

o  da un punto di vista matematico, la dinamica del sistema è completamente determinata

n  ovviamente devono essere note le condizioni iniziali

Equilibrio statico del corpo rigido

o  Si ha equlibrio statico se:

n  R=0 n  M=0

o  Abbiamo dimostrato che in generale

n  M

=M

+ OO’ x R

o  Quindi se il momento è nullo rispetto

ad un punto O (poiché la risultante è

nulla), risulta nullo rispetto ad ogni

altro punto

Esempio 7.16

o  determinare le

reazioni F ₁ ed F ₂

dei due supporti

Esempio 7.17

o  La parete verticale è liscia, quella

orizzontale è scabra. Determinare

la reazione in B