limiti,derivateeandamentidellefunzionisuirazionali CapitoloB36:

Capitolo B36:

limiti, derivate e andamenti delle funzioni sui razionali

Contenuti delle sezioni

a. generalit`a sulle funzioni sui razionali p.2 b. limiti al finito delle funzioni-QtQ p.5 c. limiti di composizioni di funzioni-QtQ p.7 d. continuit`a delle funzioni-QtQ p.11

e. limiti infiniti e all’infinito delle funzioni-QtQ p.13 f. derivate delle funzioni-QtQ p.15

g. andamenti delle funzioni-QtQ polinomiali p.18

h. punti singolari e andamenti delle funzioni-QQ razionali fratte p.19 i. traslazioni, dilatazioni e riflessioni delle funzioni-QtQ p.20

20 pagine

B36:0.01 Questo capitolo, continuando a procedere con gradualit`a, introduce alcune nozioni basilari per l’analisi infinitesimale, limitandosi a trattare le funzionidi una variabile sui numeri razionali a valori razionali, i soli oggetti numerici finora definiti in modo soddisfacente.

Queste funzioni consentono di impostare sulla base di precise definizioni, senza dover fare ricorso all’intuizione, le esigenze computazionali che conducono alla introduzione dei numeri calcolabili e suc- cessivamente allo studio dei numeri reali e delle corrispondenti funzioni, ossia degli oggetti basilari e ampiamente trattati dall’analisi infinitesimale e dalle sue pi`u diffuse applicazioni.

Va osservato che le funzioni sui razionali, con i loro ingredienti sensibilmente pi`u elementari di quelli delle funzioni sui reali a valori reali, consentono di introdurre con portata limitata ma logicamente solida nozioni essenziali per le funzioni univariate quali: limiti al finito e all’infinito, continuit`a, deri- vate e comportamenti rispetto a crescita o decrescita, comportamenti rispetto alle trasformazioni pi`u importanti, ossia rispetto alle traslazioni, alle dilatazioni e alle riflessioni.

B36:a. generalit` a sulle funzioni sui razionali

B36:a.01 In queste pagine prenderemo in considerazione funzioni del genere {Q −→ Q}, entit`a che chiamiamo anche funzioni-QtQ, cio`e insiemi di coppie di razionali f ∈ Q × Q tali che

ha, bi, ha, ci ∈ F =⇒ b = c .

Il loro insieme lo denoteremo con FunQtQ e per una generica delle sue funzioni useremo tipicamente la lettera f .

Tra le funzioni-QtQ quelle che pi`u spesso prendiamo in considerazione sono quelle individuate da espressioni nelle quali intervengono solo una variabile razionale, che spesso si scrive x, costanti razionali e le operazioni aritmetiche: addizione, sottrazione, prodotto e divisione. Queste sono dette funzioni-QtQ razionali fratte e il loro insieme si denota con FunQtQRat.

Se in particolare nella espressione non interviene la divisione si hanno le funzioni-QtQ polinomiali, il cui insieme denotiamo con FunQtQPln.

Come visto in B33, sono funzioni-QtQ polinomiali: x³, 4 x⁴− x²+ 3 x − 3.5 . Sono invece esempi di funzioni-QtQ razionali fratte non polinomiali: 1/x, x − 1

x + 1, x² 4 x³+ 4 x²+ x − 5/3 . Notiamo esplicitamente che qui consideriamo solo funzioni univariate, in una sola variabile nell’insieme dei razionali.

B36:a.02 Spesso `e utile trattare espressioni razionali nelle quali interviene qualche parametro, che di solito qui denoteremo con lettere come a, b, m ed n.

Pu`o essere opportuno considerare che questi parametri corrano su Q; si potrebbe pensare che le funzioni individuate da queste espressioni siano funzioni razionali bivariate oppure che si tratti di famiglie di funzioni-QtQ indicizzate da parametri razionali. In effetti questo dilemma va considerato tutt’altro che grave, in quanto il contesto, ovvero gli scopi per i quali si utilizzano questi oggetti chiariscono di che si voglia trattare ed `e perdonabile che non si insista sulla distinzione. Anzi per la scorribilit`a dell’esposizione pu`o essere raccomandabile non insistere sulle distinzioni.

Talora `e opportuno servirsi di parametri a valori interi e per questi si preferiscono le lettere M , n e d.

In molti discorsi matematici come questo, dopo aver introdotto certi oggetti con definizioni precise, si procede a utilizzarli parlandone con minore precisione. Se questo atteggiamento `e motivato dalla scorrevolezza della presentazione e il contesto consente di evitare dubbi sostanziali si pu`o parlare di vaghezza accettabile.

Constateremo che molte situazioni di vaghezza accettabile possono anche considerarsi situazioni di abuso di linguaggio. In molti contesti si possono trascurare alcune specificazioni, ad esempio parlare di funzioni polinomiali invece che di funzioni-QtQ polinomiali; questo pu`o vedersi come vaghezza per la mancanza di precisazione di dominio e di codominio o come abuso di linguaggio.

Il contesto di queste situazioni deve essere formulato in modo da evitare ogni ambiguit`a.

Inoltre va notato che la vaghezza in situazioni come la precedente nella quale si trascura una specif- icazione come “-QtQ” diventa ancor pi`u giustificata, in quanto riguarda sviluppi ed enunciati validi sia per funzioni-QtQ che per le entit`a che chiameremo funzioni-RtR e altre pi`u generali.

B36:a.03 Nel seguito incontreremo molti intervalli e molti altri sottoinsiemi di Q e pi`u avanti molti intervalli e sottoinsiemi di R, l’insieme dei numeri reali; per tali oggetti useremo notazioni compatibili

distinte dalle sole specificazioni. Talora inoltre useremo notazioni semplificate che trascurano le speci- ficazioni; presenteremo quindi situazioni vaghe che il contesto dovr`a rendere accettabili.

Ricordiamo che si denota con IntvlQ l’insieme degli intervalli di numeri razionali; pi`u in particolare si denota con IntvlQLtd l’insieme degli intervalli limitati di razionali e con IntvlQNltd l’insieme degli intervalli illimitati di razionali.

Per il dominio della generica f ∈ FunQtQ scriviamo D := dom(f ); inoltre scriviamo D := Adrn Q(D) l’insieme dei punti di accumulazione di tale dominio e, tipicamente, per uno di questi punti useremo la scrittura xv ∈ D.

Una comune semplificazione del linguaggio consiste nell’utilizzare una espressione per individuare la funzione che essa individua. Questo abuso di linguaggio in genere, cio`e in molti contesti, `e veniale e giustifica notazioni come “f (x)” per individuare non completamente una funzione che a ogni lecito valore di x associa il valore fornito dall’espressione f (x).

Nelle presentazioni di fatti matematici la sostituzione di una entit`a matematica (funzione, insieme, relazione, ...) con una espressione in grado di identificarlo (espressione costituita da variabili, costanti, operatori e altri costrutti noti) `e molto comune; essa pu`o chiamarsi metonimia espressione pro entit`a.

Una funzione individuata da una espressione potrebbe essere precisamente quella che ha come dominio l’insieme di tutti i valori della variabile per i quali l’espressione `e sensata; questa metonimia `e tran- quillamente accettabile per le funzioni-QtQ razionali fratte, in quanto, come vedremo, per ciascuna di tali espressioni si sa determinare facilmente il preciso dominio.

Va tuttavia segnalato che talora con una espressione si vuole pi`u vagamente individuare qualche fun- zione che si avvicina alla suddetta, soprattutto quando il dominio di questa non si sa o non si vuole individuare.

In effetti le metonimie “espressione pro entit`a” sono da utilizzare con una certa elasticit`a.

Osserviamo anche che diverse espressioni equivalenti individuano la stessa funzione-QtQ; `e auspicabile che il fatto di non distinguere tra queste sia solo un abuso di linguaggio veniale.

B36:a.04 Prendiamo ora in considerazione vari esempi di funzioni-QtQ individuate da una espressione.

Le pi`u semplici da definire sono le funzioni espresse da un polinomio definite per ogni x razionale, come la f (x) := 3x³− 4x7 .

Si hanno poi funzioni-QtQ definite da una espressione limitatamente a un preciso sottoinsiemi di Q, per esempio: f (x) := (x³)

Q+

.

Spesso interessano funzioni definite da due o pi`u espressioni riguardanti sottodomini privi di punti-QtQ comuni come quella definita con la scrittura

F (x) := x ∈ (0 :: 1] x² ∪^: x ∈ (1 :: +∞) 2x − 1 , o con la quasi equivalente

F (x) :=

x² se 0 ≤ x ≤ 1 , 2x − 1 se 1 < x .

Per avere vera una formula equivalente avremmo dovuto appesantirla richiedendo anche x ∈ Q; anche questo tipo di semplificazione conviene considerarla come vaghezza accettabile.

Possono presentare interesse funzioni-QtQ date da una espressione ma con l’eccezione di alcuni valori della variabile per i quali alla funzione si fanno assumere valori diversi da quelli forniti dalla espressione che in tal modo vale solo negli intervalli aperti delimitati dai suddetti valori: un esempio:

f (x) :=

₁

x se x ∈ Q−∪ Q˙ + ,

0 se x = 0 . g(x) :=







1 + 0.5x²

4 − x² se −2 < x < 0 ,

4 se x = 0 ,

0.25 x³ se 0 < x < 2 .

Si possono considerare anche funzioni definite da espressioni diverse in una infinit`a numerabile di intervalli come:

r(x) := ∪^{: +∞}_j=1 (j − 1) < x ≤ j j(−1)^j−1x , s(x) := ∪^{: +∞}_j=1 (j − 1) < x ≤ j j/x . Infine segnaliamo funzioni che in ogni intervallo finito del dominio assumono infiniti valori. Per un esempio si considerino i numeri dell’intervallo (0 :: 1) e per il generico di questi numeri scriviamo n/d la sua forma frazionaria ridotta e ricordiamo che la sua scrittura in base 2 i ha la forma 0.b₁b₂b₃....

Chiamato E il sottoinsieme dei numeri la cui scrittura binaria richiede un numero finito di bits si osserva che `e costituito da tutti e soli i numeri x con il denominatore della forma ridotta d pari a una potenza di 2 che scriviamo 2^L(x), con L(x) := log₂(d) .

I rimanenti razionali in esame, il cui insieme denotiamo con E, sono tutti quelli per i quali d `e multiplo di un numero primo diverso da 2, ovvero tutti quelli che richiedono una scrittura binaria infinita.

Esaminiamo la funzione

x ∈ E L(x) ∪^: x ∈ E x .

In ogni intervallo I contenuto in [0 :: 1) si trovano infiniti valori: tutti gli infiniti valori razionali appartenenti ad I e tutti gli interi positivi. Osserviamo anche che si tratta di una funzione tutt’altro che facile da visualizzare, ma che il valore che essa assume in corrispondenza di un qualsiasi punto del suo dominio si pu`o calcolare con facilit`a.

B36:b. limiti al finito delle funzioni-QtQ

B36:b.01 Consideriamo la funzione-QtQ f (x) e denotiamo con D il suo dominio.

Si dice che il numero razionale L `e limite-Q della f (x) per x tendente a x, e si scrive lim_x→xf (x) = L , sse

∀ ∈ Q+ Q+3 δ x ∈ D ∩ [x − δ:: x + δ] =⇒ |f (x) − L| <  . La precedente situazione si pu`o appoggiare su una figura come la seguente

//input pB36b01

Dalle definizioni si ricavano direttamente le seguenti affermazioni.

x→3lim 2 x² = 18 .

x→0lim

x²− 3x + 4 x³− 6x + 8 = 1

2 .

B36:b.02 Si dice che il limite-Q della f (x) per x tendente a x `e +∞, e si scrive lim

x→x

f (x) = +∞ , sse

∀M ∈ Q+ Q+3 δM x ∈ D ∩ [x − δ_:: x + δ_] =⇒ f (x) > M . Si dice che il limite-Q della f (x) per x tendente a x `e −∞ e si scrive lim

x→xf (x) = +∞ sse

∀M ∈ Q+ Q+3 δM x ∈ D ∩ [x − δ_:: x + δ_] =⇒ f (x) < −M . Per interpretare le definizioni precedenti possono servire figure come le seguenti.

//input pB36b02

Dalle definizioni si ricava direttamente che lim

x→4

3

(x − 4)² = +∞ , lim

x→−a

x

(x + a)⁴ = −∞ .

B36:b.03 Si dice che il numero razionale L `e limite-Q della f (x) per x tenente a +∞ e si scrive

x→+∞lim f (x) = L sse

∀ ∈ Q+ Q+3 M x ∈ D ∩ [M :: +∞] =⇒ |f (x) − L| <  . Si dice che il numero razionale L `e limite-Q della f (x) per x tenente a −∞ e si scrive lim

x→−∞f (x) = L sse

∀ ∈ Q+ Q+3 M x ∈ D ∩ [ − ∞ :: −M ] =⇒ |f (x) − L| <  . Per interpretare e ricordare le precedenti definizioni possono servire le figure seguenti.

//input pB36b03

Dalle definizioni si ottiene:

lim

x→+∞

2 x²− 4 x² = 2

x→−∞lim

4 x³− 5 x − 18 6 x³ =2

3

x→+∞lim x + 1 2x + 4 =1

2

x→−∞lim 3

(x − 4)² = 0

B36:b.04 Si dice che il limite-Q della f (x) per x tendente a +∞ `e +∞ e si scrive lim

x→+∞f (x) = +∞

sse

∀M ∈ Q+ Q+3 NM x ∈ D ∩ [NM :: +∞] =⇒ f (x) > M . Si dice che il limite-Q della f (x) per x tendente a +∞ `e −∞ e si scrive lim

x→+∞f (x) = −∞ sse

∀M ∈ Q+ Q+3 NM x ∈ D ∩ [NM :: +∞] =⇒ f (x) < −M . Si dice che il limite-Q della f (x) per x tendente a −∞ `e +∞ e si scrive lim

x→−∞f (x) = +∞ sse

∀M ∈ Q+ Q+3 NM x ∈ D ∩ [ − ∞ :: −NM] =⇒ f (x) > M . Si dice che il limite-Q della f (x) per x tendente a −∞ `e −∞ e si scrive lim

x→−∞f (x) = −∞ sse

∀M ∈ Q+ Q+3 NM x ∈ D ∩ [ − ∞ :: −NM] =⇒ f (x) < −M . Le precedenti situazioni si possono presentare con le figure che seguono.

//input pB36b04

Dalle definizioni si ottengono le seguenti affermazioni:

x→+∞lim x²− 4x + 20 = +∞

x→+∞lim (7 − x)³) = −∞

x→−∞lim x²− 4x + 20 = +∞

x→−∞lim (x − 1)(x − 3)(x − 5) = −∞

B36:c. limiti di composizioni di funzioni-QtQ

B36:c.00 Il calcolo dei limiti, come vedremo, riveste grande importanza e quindi risulta opportuno predisporre strumenti che consentano di eseguirlo in modo efficiente ed efficace.

Sarebbe molto faticoso individuare ciascun limite ricorrendo ad una delle precedenti definizioni. Risulta invece possibile servirsi dei risultati che presentiamo qui di seguito che, in buona sostanza, consentono di calcolare un limite di una funzione F ottenuta componendo funzioni pi`u semplici fi mediante opportune combinazioni di limiti delle funzioni f_i.

B36:c.01 Nel seguito faremo spesso riferimento a intervalli di razionali e per essi conviene introdurre alcune notazioni locali.

Consideriamo x0∈ Q , δ, δ−, δ+, M−, M+∈ Q+ e poniamo:

i(x0, δ) := (x0− δ :: x0+ δ) , intervallo aperto con centro in x0 e semiampiezza δ ; i⁰(x0, δ) := i(x0, δ) \ {x0} , corrispondente “bucato” di i(x0, δ);

i−(x0, δ−) := (x0− δ−:: x0) , intervallo aperto a sinistra di x0 con ampiezza δ− ; i+(x0, δ+) := (x0:: x0+ δ+) , intervallo aperto a destra di x0 con ampiezza δ+ ; i−(M−) := ( − ∞ :: M−) , intervallo aperto illimitato a sinistra di M− ;

i+(M+) := (M+:: +∞) , intervallo aperto illimitato a destra di M− ; Introduciamo anche le notazioni:

Intvl

Q^,O,Ltd per l’insieme degli intervalli razionali aperti limitati e la sua abbreviazione locale I_f; Intvl

Q^,O,−∞ per l’insieme degli intervalli razionali aperti illimitati inferiormente.

Intvl

Q^,O,+∞ per l’insieme degli intervalli razionali aperti illimitati superiormente¿

Ci occuperemo spesso del comportamento di funzioni del genere {Q −→ Q} limitatamente all’interno di qualche intervallo di razionali aperto (limitato o illimitato) I contenuto nel dominio di tali fun- zioni e troveremo conveniente denotare con FunQtQ_⊇I l’insieme delle funzioni razionali aventi dominio contenente I.

Ricordiamo anche che tutte le funzioni polinomiali sono definite in ogni intervallo razionale, mentre ciascuna delle funzioni razionali fratte `e definita soltanto negli intervalli aperti che non contengono nessuno dei punti razionali nei quali si annulla il suo denominatore nella sua forma ridotta.

B36:c.02 Consideriamo due funzioni f, g ∈ FunQtQ definite in un intervallo razionale aperto I e un suo punto-Q x0 ; in altre parole consideriamo f, g ∈ FunQtQ_⊇I e x0∈ I .

(1) Prop.: Se esistono finiti i due limiti-Q lim

x→x0

f (x) =: Lf e lim

x→x0

g(x) =: Lg , allora esiste il limite-Q della somma delle due funzioni ed `e

x→xlim₀f (x) + g(x) = lim

x→x₀f (x) + lim

x→x₀g(x) .

Dim.: Per ogni  ∈ Q+ l’esistenza del primo limite implica che si trova δ∈ Q+ (dipendente da ) tale che ∀x ∈ i⁰(x0, δ) |Lf− f (x)| < /2 .

L’esistenza del secondo limite a sua volta implica che si trova η_∈ Q+ tale che

∀x ∈ i⁰(x₀, η_) |Lg− g(x)| < /2 ; Introdotto ρ_:= min(δ_, η_) , accade che

∀x ∈ i⁰(x0, ρ) |Lf+ Lg− (f (x) + g(x))| = |Lf− f (x) − Lg− g(x)| ≤ |Lf− f (x)| + |Lg− g(x)| <  Semplificando alquanto il precedente enunciato si riformula dicendo che il limite della somma di due funzioni `e la somma dei loro limiti.

B36:c.03 Consideriamo la funzione f ∈ FunQtQ_⊇I e il numero α ∈ Q.

(1) Prop.: Se esiste finito il limite lim

x→x₀f (x) =: L, allora esiste finito il limite della funzione α f (x) proporzionale di quella data e si ha:

x→xlim0

α f (x) = α lim

x→x0

f (x) .

Dim.: Per ogni  ∈ Q+ (idap) l’esistenza del limite implica che si trova δ∈ Q+ tale che

∀x ∈ [x0− δ:: x0+ δ]\ {x0} |L − f (x)| < /|α|.

Accade quindi che ∀x ∈ i⁰(x₀, δ_) |α L − α f (x)| = |α| · |L − f (x)| <  In particolare lim

x→x₀(−f (x)) = − lim

x→x₀f (x) , se il limite al secondo membro esiste finito; questo fatto sbrigativamente si presenta dicendo che il limite della funzione opposta `e l’opposto del limite della funzione data.

B36:c.04 (1) Prop.: Consideriamo l’intervallo I ∈ If, un punto x0∈ I \ {0} e due funzioni f (x), g(x) ∈ FunQtQ_⊇I . Se esistono i due limiti Lf := lim

x→x₀f (x) e Lg := lim

x→x₀g(x), allora esiste il limite dalla loro differenza e si ha

lim

x→x0

f (x) − g(x) = lim

x→x0

f (x) − lim

x→x0

g(x) . Dim.: Si ottiene dalle due proposizioni precedenti c01 e c02

In parole povere si afferma che il limite della differenza di due funzioni `e la differenza dei loro limiti.

Gli enunciati in c02(1), c03(1) e c04(1) si semplificano, sottacendo le condizioni di validit`a, anche affermando che il passaggio al limite rispetta le operazioni di somma, moltiplicazione per una costante e differenza delle funzioni.

(2) Prop.: Consideriamo l’intervallo razionale I, un razionale x0 ∈ I e due funzioni f (x), g(x) ∈ FunQtQ_⊇I; siano inoltre α e β due numeri razionali.

Se esistono finiti i due limiti Lf := lim

x→x0

f (x) e Lg := lim

x→x0

g(x), allora esiste finito il limite dalla loro combinazione lineare e si ha

x→xlim₀α f (x) + β g(x) = α lim

x→x₀f (x) + β lim

x→x₀g(x) .

Dim.: La la funzione del primo membro dell’enunciato si ottiene mediante due moltiplicazioni per costanti e una somma delle funzioni di cui sono noti i limiti, cio`e mediante operazioni che rispettano il passaggio al limite; quindi l’enunciato segue da c02 e c03

Semplificando alquanto si dice che il limite di una combinazione lineare `e la combinazione lineare dei limiti.

B36:c.05 Prop. 1 Consideriamo l’intervallo razionale I, un punto-Q x0∈ I e due funzioni f (x), g(x) ∈ FunQtQ_⊇I Se esistono finiti i due limiti Lf := lim

x→x₀f (x) e Lg := lim

x→x₀g(x), allora esiste finito il limite del loro prodotto e si ha

lim

x→x0

f (x) · g(x) = lim

x→x0

f (x) · lim

x→x0

g(x) .

Dim.: Per ogni  ∈ Q+ si tratta di individuare un intervallo i(x0, δ) con δ∈ Q+ tale che sia

∀x ∈ i⁰(x0, δ) |f (x) · g(x) − Lf· Lg| < .

Dato che |f (x) g(x)−L_fL_g| = |f (x) g(x)−L_fg(x)+L_fg(x)−L_ftL_g| ≤ |g(x)| |f (x)−L_f|+|L_f| |g(x)−

Lg| , introdotto G := max (x ∈ I \ {x0} :| |g(x)|) , basta assumere δ, η ∈ Q+ tali che per x ∈ i⁰(x0, δ) sia |f (x) − L_f| < 

2 G e |g(x) − L_g| <  2 Lg

; con tali scelte infatti si ottiene

|f (x) · g(x) − L_f · L_g| < G 

2 G+ L_g  2 L_g = 

In parole povere: il limite del prodotto `e uguale al prodotto dei limiti, oppure il passaggio al limite rispetta il prodotto tra funzioni-QtQ.

(2) Prop.: Consideriamo un I ∈ IntvlQ, un x₀∈ I, una f (x) ∈ FunQtQ_⊇I e un qualsiasi intero positivo d; se esiste finito il limite L := lim

x→x₀f (x), allora esiste finito il limite per x tendente a x0 della funzione f (x)^d ed `e uguale a (limx→x₀f (x))^d .

Dim.: Basta applicare d − 1 volte la proposizione precedente

In parole povere: il limite della potenza d-esima di una funzione `e la potenza d-esima del limite della funzione data.

B36:c.06 (1) Prop.: Consideriamo l’intervallo razionale I, un punto-Q x₀∈ I e una g(x) ∈ FunQtQ_⊇I; se esiste finito il limite L := lim

x→x₀g(x) ed `e L 6= 0, allora esiste finito il limite della funzione reciproca per x tendente a x0 e si ha

x→xlim0

1

g(x) = 1

limx→x₀g(x) .

Dim.: L’enunciato chiede di associare a ogni  ∈ Q+ un intervallo i(x0, δ) con δ∈ Q+tale che sia

∀x ∈ i⁰(x0, δ)    

1 g(x)− 1

L    

<  .

Dato che    

1 g(x)− 1

L    

= |g(x) − L|

|L| |g(x)| , introdotto G := max{x ∈ I \ {x0} :| g(x)} , basta assumere δ∈ Q+tale che per x ∈ i⁰(x0, δ) sia |g(x) − L| <  |L| G per assicurare che per x ∈ i⁰(x0, δ) si abbia 

1 g(x)− 1

L    

<  |L| G

|L| G , cio`e che valga la disuguaglianza richiesta

In parole povere: il limite della funzione reciproca di una funzione data `e il reciproco del limite di tale funzione; oppure: il passaggio al limite rispetta la trasformazione nella funzione reciproca.

(2) Prop.: Consideriamo l’intervallo razionale I, un punto-Q x₀ ∈ I e due funzioni f (x), g(x) ∈ FunQtQ_⊇I

Se esistono finiti i due limiti L_f := lim

x→x₀f (x) e L_g := lim

x→x₀g(x) e questo `e diverso da 0, allora esiste finito il limite del quoziente f (x)

g(x) e si ha

x→xlim0

f (x)

g(x) = lim_x→x0f (x) limx→x₀g(x) . Dim.: Discende direttamente da c05(1) e da c06(1)

La semplificazione analoga a quelle date per le precedenti proposizioni recita:

il limite del quoziente di due funzioni `e il quoziente dei loro limiti.

B36:c.07 I risultati dei paragrafi precedenti si possono sintetizzare dicendo, sempre con linguaggio semplificato, che in condizioni opportune, l’azione di ciascuna delle 4 operazioni aritmetiche su funzioni- QtQ si pu`o scambiare con l’operazione di passaggio al limite.

A questo punto possiamo prendere in considerazione il problema di ottenere il limite di una funzione- QtQ F (x) che sappiamo esprimere come polinomio di funzioni razionali f1(x), ..., fm(x) dandogli una forma esprimibile come P (f1(x), ..., fm(x)) , limite relativo alla tendere della variabile x a un numero razionale x che sia diverso dai valori che rendono nullo qualche denominatore delle f_i(x).

Infatti sappiamo che i limiti per x tendente a x di ciascuna delle fi(x) `e esprimibile come fi(x) e quindi il limite della F (x) richiesto si pu`o ottenere valutando l’espressione P (f₁(x), ..., f_m(x)) .

Con parole semplici possiamo affermare che il limite di una composizione polinomiale come la suddetta esiste ed `e dato dalla stessa composizione polinomiale dei valori limite delle fi(x), cio`e dei valori fi(x).

Pi`u in generale accade che, ricorrendo anche alle proposizioni c06(1)(2), esiste il limite di una qualunque composizione razionale fratta di funzioni-QtQ esprimibile come R(f<sub>1</sub>(x), ..., f<sub>m</sub>(x)) per la variabile tendente a ogni valore razionale x che non renda nullo alcuno dei denominatori delle funzioni razionali in gioco e che tale limite `e ottenibile con operazioni razionali dalla espressione R(f1(x), ..., fm(x)) . Quindi in parole povere diciamo che il limite di una composizione razionale fratta di un certo numero di funzioni-QtQ dotate di limiti finiti esiste ed `e dato dalla stessa composizione razionale fratta dei corrispondenti valori limite.

Anticipando la possibilit`a di definire e controllare funzioni individuate da espressioni non razionali, possiamo arrivare a una conclusione ancor pi`u generale riguardante il limite per x tendente ad un valore x per il quale non si annulla alcuna delle funzioni in gioco di una funzione esprimibile razionalmente mediante funzioni per le quali si sanno calcolare i valori limiti per x tendente a x. Questo limite `e dato dalla composizione razionale dei valori limiti delle funzioni in gioco.

B36:d. continuit` a delle funzioni-QtQ

B36:d.01 Consideriamo l’intervallo razionale finito aperto I, un punto-Q x0∈ I e una funzione f (x) ∈ FunQtQ_⊇I.

Tale f (x) si dice funzione-QtQ continua in x₀ sse lim

x→x₀f (x) = f (x₀) . Si dice anche che una tale funzione gode della continuit`a puntuale in x₀.

Una funzione di FunQtQ_⊇I che `e continua in tutti i punti dell’intervallo-Q I si dice continua in tale intervallo; si dice anche che essa gode della propriet`a della continuit`a nell’intervallo I.

Denotiamo con FunQtQCnt_x0 l’insieme delle funzioni-QtQ continue nel punto-Q x₀ appartenente al proprio dominio.

B36:d.02 La somma di due funzioni continue in un intervallo I `e continua in I.

La funzione ottenuta moltiplicando per un qualsiasi α ∈ Q una funzione continua in un intervallo I `e continua in I.

Ogni combinazione lineare di due funzioni continue in un intervallo I `e continua in I.

La funzione prodotto di due funzioni-QtQ continue in un intervallo di razionali I `e continua in I.

Per ogni d intero positivo la potenza d-esima di una funzione di FunQtQCnt_I `e continua in I.

B36:d.03 Le funzioni-QQ polinomiali, che come si `e trovato, sono funzioni il cui dominio `e l’intero Q, sono continue in ogni punto di Q.

Si possono definire le combinazioni polinomiali di funzioni di FunQtQ.

Le combinazioni polinomiali di funzioni di FunQtQCnt_I sono funzioni continue in I.

Va osservato che i polinomi si possono considerare anche come strumento per la composizione di funzioni sugli elementi di un campo che contiene Q e a valori a valori in tale campo.

B36:d.04 Una funzione-QtQ f ∈ FunQtQ_⊇I si dice funzione infinitesima in un punto x0 di I sse

x→xlim₀f (x) = 0 .

Sono esempi di funzioni-QtQ razionali infinitesime relativamente al razionale x₀le funzioni della forma (x − x0)^k per ogni k intero positivo.

Inoltre se ρ(x) `e una qualsiasi funzioni-QtQ razionale continua in un intorno di x0, accade che per ogni intero positivo k si ha

x→xlim₀ (x − x0)^k· ρ(x)

= 0 · ρ(x0) ; quindi anche la funzione (x − x₀)^k· ρ(x) `e infinitesima per x tendente a x₀.

Si osserva che la funzione (x − x₀)^k `e un polinomio di grado k. Anche alle funzioni della suddetta forma (x − x0)^k· ρ(x) si attribuisce il grado k e si dicono funzioni infinitesime di grado k in un intorno del razionale x0.

Per queste funzioni-QtQ si dice anche che x₀`e uno zero di grado k.

Si dice anche che x0 `e uno zero di grado k per la suddetta funzione

Alle funzioni definite in un intorno di x0e ivi continue si attribuisce il grado di infinitesimalit`a uguale a 0.

Si dimostra allora facilmente che, date due funzioni-QtQ che in un intorno I di un razionale x0 sono infinitesime dei gradi, risp., h e k, il loro prodotto `e una funzione-QtQ che nell’intorno I `e infinitesima di grado h + k.

B36:d.05 Consideriamo la semplice funzione 1

(x − x0)^d definita in un intorno di x0 a eccezione di x0; tale funzione si dice definita in ogni intorno bucato di x0.

Evidentemente lim

x→x0−

1

(x − x0)^d = (−1)^d∞ e lim

x→x0+

1

(x − x0)^d = +∞ . Servendoci del passaggio al valore assoluto si ha che per ogni d intero positivo

x→xlim₀+

1 (x − x₀)^d

= +∞ .

Il valore razionale x0 viene detto polo di ordine d della funzione precedente alla quale si pu`o dare la forma (x − x0)^−d

Conviene notare esplicitamente che quest’ultima funzione non `e una funzione razionale, in quanto ot- tenuta con l’operazione di passaggio al valore assoluto che non `e una operazione aritmetica elementare.

Per ogni funzione-QtQ della forma 1

(x − x₀)^d · g(x) con g(x) funzione-QtQ definita e continua in un intorno di x0 si giunge alla conclusione simile

lim

x→x0+

1

(x − x0)^d · g(x)    

= +∞ .

Anche per una di queste funzioni-QtQ si dice che x0 costituisce un polo di ordine d.

B36:d.06 Si osserva che una funzione-QtQ definita in un intervallo I := (a :: b) con l’eventuale esclusione del valore x₀ interno a I e avente la forma (x − x₀)ⁿ· g(x) con n intero (diverso da 0) e con g(x) continua in x0, se n > 0 si dice avere in x0un infinitesimo di grado n, se n < 0 si dice avere un polo di ordine −n = |n|.

I ruoli di grado di infinitesimo e di ordine di polo si possono considerare l’uno il reciproco dell’altro.

Questa contrapposizione si chiarisce meglio con le considerazioni che seguono su somme, prodotti e divisioni tra funzioni-QtQ aventi uno zero o un polo in un intorno di un punto razionale x₀.

Consideriamo due funzioni-QtQ definite in un intervallo I := (a :: b) con la eventuale esclusione del valore interno x0e alle quali si possono dare, risp., le forme

f (x) = (x − x0)^m· ρ(x) e g(x) = (x − x0)ⁿ· σ(x) , con m ed n interi e ρ(x) e σ(x) continue in I . Vogliamo studiare i comportamenti delle composizioni razionali di queste funzioni.

B36:e. limiti infiniti e all’infinito delle funzioni-QtQ

B36:e.01 Procediamo ora a occuparci della possibilit`a di ricavare informazioni sui limiti di funzioni- QtQ ottenute per composizione razionale di funzioni-QtQ per le quali abbiamo informazioni sui limiti nei casi nei quali si vogliano limiti relativi alla variabile tendente a +∞ o tendente a −∞ o si abbiano valori limite espressi da −∞ e da +∞.

Nel seguito intendiamo che x denoti una variabile razionale, che a, b e x0 denotino numeri razionali;

inoltre faremo riferimento a un intervallo aperto di razionali I := (a :: b), a un suo valore interno x0, cio`e a un razionale x₀ tale che a < x₀< b, all’insieme FunQtQ_⊇I costituito dalle funzioni-QtQ aventi come dominio I o un suo sovrainsieme e in particolare al suo sottoinsieme FunQtQRat_⊇I costituito dalle funzioni-QtQ razionali il cui dominio contiene I.

Si dice che per x tendente a b da sinistra f (x) ∈ FunQtQ_⊇I tende a +∞ sse per ogni M ∈ Q+ (ippag) si trova un _M ∈ Q+ tale che per ogni x ∈ (b −  :: b) sia M < f (x). in tale caso scriviamo limx→b−f (x) = +∞.

Si dice che per x tendente a b da sinistra f (x) ∈ FunQtQ_⊇I tende a −∞ sse per ogni M ∈ Q+ (ippag)

si trova un M ∈ Q+ tale che per ogni x ∈ (b −  :: b) sia f (x) < −M . in tale caso scriviamo limx→b−f (x) = −∞.

Si dice che per x tendente ad a da destra f (x) ∈ FunQtQ_⊇I tende a +∞ sse per ogni M ∈ Q+ (ippag) si trova un M ∈ Q+ tale che per ogni x ∈ (a :: a + ) sia M < f (x). in tale caso scriviamo lim_x→a+f (x) = +∞.

Si dice che per x tendente ad a da destra f (x) ∈ FunQtQ_⊇I tende a −∞ sse per ogni M ∈ Q+ (ippag)

si trova un _M ∈ Q+ tale che per ogni x ∈ (a :: a + ) sia f (x) < −M . in tale caso scriviamo limx→a+f (x) = −∞.

Si dimostrano facilmente questi esempi riguardanti funzioni-QQ razionali:

x→0−lim 1

x² = +∞ .

x→−2−lim

x⁴− 20

x + 2 = −∞ .

x→0+lim 1

x³ = +∞ . lim

x→4+

x − 10

(x − 4)⁴ = −∞ .

B36:e.02 Consideriamo ora due intervalli illimitati aventi, risp., la forma J := (b :: +∞) e la forma K := −∞ :: a .

Si dice che per x tendente a +∞ f (x) ∈ FunQtQ_⊇J tende a un razionale L sse per ogni  ∈ Q+ (ipap) si trova un r ∈ J tale che per ogni x ∈ (r :: +∞) sia L −  < f (x) < L + . in tale caso scriviamo limx→+∞f (x) = L.

Si dice che per x tendente a +∞ f (x) ∈ FunQtQ_⊇J tende a +∞ sse per ogni M ∈ Q+ (ippag)si trova un r_M ∈ J tale che per ogni x ∈ (r :: +∞) sia M < f (x). in tale caso scriviamo limx→+∞f (x) = +∞.

Si dice che per x tendente a +∞ f (x) ∈ FunQtQ_⊇J tende a −∞ sse per ogni M ∈ Q+(ippag)si trova un r_M ∈ J tale che per ogni x ∈ (r :: +∞) sia f (x) < −M . in tale caso scriviamo limx→+∞f (x) = −∞.

Si dice che per x tendente a −∞ f (x) ∈ FunQtQ_⊇K tende a un razionale L sse per ogni  ∈ Q+ (ipap) si trova un r_∈ K tale che per ogni x ∈ ( − ∞ :: r) sia L −  < f (x) < L + . in tale caso scriviamo limx→−∞f (x) = L.

Si dice che per x tendente a −∞ f (x) ∈ FunQtQ_⊇K tende a +∞ sse per ogni M ∈ Q+(ippag)si trova un rM ∈ K tale che per ogni x ∈ (−∞ :: r) sia M < f (x). in tale caso scriviamo limx→+−inf tyf (x) = +∞.

Si dice che per x tendente a −∞ f (x) ∈ FunQtQ_⊇J tende a −∞ sse per ogni M ∈ Q+(ippag)si trova un r_M ∈ K tale che per ogni x ∈ ( − ∞ :: r) sia f (x) < −M . in tale caso scriviamo limx→−∞f (x) = −∞.

Si dimostrano facilmente gli esempi seguenti che riguardano funzioni-QtQ razionali:

. . . .

B36:e.03 (1) Prop.: Consideriamo I ∈ If, x0∈ I e due funzioni f (x), g(x) ∈ FunQtQ_⊇I; se esiste finito il limite Lf := lim

x→x₀f (x) con Lf 6= 0, e si ha limx→x₀f (x) = +∞ , allora si ha

x→xlim₀f (x) g(x) = −∞ se L_f < 0 +∞ se L_f > 0 . Dim.: ...

(2) Prop.: Consideriamo I ∈ I_f, x₀∈ I e due funzioni f (x), g(x) ∈ FunQtQ_⊇I; se esiste finito il limite Lf := lim

x→x₀f (x) con Lf 6= 0, e si ha limx→x₀f (x) = +∞ , allora si ha

x→xlim₀f (x) · g(x) = −∞ se L_f < 0 +∞ se L_f > 0 . Dim.: . . . .

B36:e.04

B36:f. derivate delle funzioni-QtQ

B36:f.01 Consideriamo una funzione-QtQ f (x) con D := dom(f ), due razionali x1 e x2 in D con x₁< x₂ e l’intervallo I := [x₁:: x₂] (non ridotto a un punto).

Si dice pendenza media nell’intervallo I della f (x) il rapporto f (x2) − f (x1)

x₂− x₁

Evidentemente se la f (x) `e crescente in I la sua pendenza media in I `e positiva, mentre se la f (x) `e decrescente in I la sua pendenza media in I `e negativa.

Si osserva anche che modificando la f (x) in una funzione che cresce pi`u rapidamente aumenta la sua pendenza media. Per esempio moltiplicando per un fattore α ∈ Q+una funzione-QtQ a valori positivi se α > 1 si aumenta la sua pendenza, se 0 < α < 1 la sua pendenza diminuisce.

Una piccola generalizzazione porta a considerare l’elemento di riferimento x ∈ D e il suo cosiddetto incremento h ∈ Qnz tale che anche x + h appartenga a D ed entrambi i valori siano contenuti in un intervallo interamente contenuto in D. La pendenza media della f (x) relativa al valore del suo argomento x e alla variante di questo x + h ottenuta con l’incremento h viene fornita dal cosiddetto rapporto incrementale

f (x + h) − f (x)

h ;

Al variare di h abbiamo una funzione di tale variabile.

B36:f.02 Si dice pendenza nel punto hx, f (x)i ∈ Q × f (Q) della f (x) il limite per l’incremento h tendente a 0 del relativo rapporto incrementale, se tale limite esiste:

lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h .

Facendo variare x sull’insieme D⁰ ⊆ D dei valori per i quali questa funzione risulta definita si ottiene una funzione associata alla f (x) chiamata derivata della funzione-QtQ della f (x).

Per tale funzione si usano tre notazioni f⁰(x) := d

dxf (x) := Dxf (x) := lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h .

Una funzione-QtQ f che nell’intervallo I ⊆ dom(f ) possiede laderivata `e detta funzione derivabile nell’intervallo I/

Denotiamo con FunQtQDrvb_I l’insieme delle funzioni-QtQ derivabili in I; in particolare denotiamo con FunQtQRatDrvb_I l’insieme delle funzioni-QtQ razionli e derivabili in I.

B36:f.03 Cominciamo con il considerare le derivate delle funzioni monomiali.

Per ogni a ∈ Q si ha D^x[a] = lim

h→0

a − a

h = 0 , evidentemente.

Dx[a x] = lim

h→0

a(x + h) − a x

h = a .

La derivata della funzione che rappresenta una retta-QQ non verticale (passante per l’origine) `e una costante.

D_xx² = lim

h→0

(x + h)²− x²

h = lim

h→0

2 h x + h²

h = 2 x .

La derivata della funzione che rappresenta una parabola con asse verticale rappresenta una retta e la cosa si interpreta dicendo che la parabola `e una curva che per x << 0 decresce molto rapidamente, poi decresce sempre meno, poi inizia a crescere e continua crescendo sempre di pi`u.

Dx[x³] = lim

h→0

(x + h)³− x³

h = lim

h→0

3 x²h + 3 x h²+ h³

h = 3 x² .

Questa funzione `e sempre crescente.

(1) Prop.: Per ogni intero positivo m si ha D_xx^m = m x^m−1. Dim.: Occorre avere presente lo sviluppo del binomio [B33f01]

(x + h)^m= x^m+ mx^m−1h +m(m − 1)

2 x^m−2h²+ · · · m(xh^m−1) + h^m lim

h→0

(x + h)^m− x^m

h = lim

h→0

h m x^m−1x + h^{2 m(m−1)}₂ x^m−2+ h³[· · ·]

h = mx^m−1

B36:f.04 (1) Prop.: Consideriamo f (x), g(x) ∈ FunQtQDrvb_I e α, β ∈ Q.

(1) Dx[αf (x) + βg(x)] = αDxf (x) + βDxg(x) Dim.:

Dx[α f (x) + β g(x)] = lim

h→0

α f (x + h) + β g(x + h) − [α f (x) + β g(x)]

h

= α · lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h + β · lim

h→0

g(x + h) − g(x)

h = α D_xf (x) + β D_xg(x) Abbiamo quindi che la derivazione `e una trasformazione lineare delle funzioni-QtQ alle quali si pu`o applicare.

In particolare la derivazione si pu`o applicare a tutti i polinomi su qualsiasi intervallo di Q.

Dalla linearit`a e dalla derivata delle potenze positive della variabile si deduce che la derivata di un polinomio di grado m `e un polinomio di grado m − 1:

(2) D_x

"_m X

i=0

α_ixⁱ

#

=

m

X

i=1

iα_i−1xⁱ⁻¹ =

m−1

X

j=0

(j + 1) α_j+1x^j .

B36:f.05 Prop. Consideriamo f (x), g(x) ∈ Fun t DrvbI .

(1) D_x[f (x) · g(x)] = D_x[f (x)] · g(x) + f (x) · D_x[g(x)] . Dim.: Dx[f (x) · g(x)] = lim

h→0

f (x + h)g(x + h) = f (x)g(x)

h =

lim

h→0

[f (x + h) − f (x)] · g(x)

h + lim

h→0

f (x) · [g(x + h) − g(x)]

h = D_x[f (x) · g(x) + f (x) · D_x[g(x)]

La (1) `e la formula per la derivazione del prodotto.

B36:f.06 (1) Prop.: D_x1

x = − 1 x². Dim.: Dx

1

x = lim

h→0 1 x+h−¹_h

h = lim

h→0

x − (x + h)

h(x + h)x = lim

h→0− 1

(x + h)x = − 1 x²

Questo permette di affermare che la funzione-QtQ che rappresenta l’iperbole equilatera `e decrescente in Qnz .

(2) Prop.: Dx

1

x^k = −k 1 x^k+1 . Dim.: D_x 1

x^k = lim

h→0 1

(x+h)^k −_x¹k

h = lim

h→0

x^k− (x + h)^k h(x + h)^kx^k

= lim

h→0

x^k− [x^k+ khx^k−1+ h²· · ·]

h(x + h)^kx^k = lim

h→0

 −k

(x + h)^kx



= −k 1 x^k+1 Si ha quindi l’enunciato pi`u comprensivo

(3) Prop.: ∀z ∈ Qnz Dx[x^z] = z x^z−1 , Dx[x⁰] = 0 . B36:f.07 Prop. Consideriamo f (x), g(x) ∈ FunQtQDrvb_I .

(1) D_x n(x)

d(x)



= n⁰(x) d(x) − n(x) d⁰(x)

d²(x) = n⁰(x)

d(x) −n(x) d⁰(x) d²(x) .

Dim.: Dx

 n(x) d(x)



= lim

h→0 n(h+h) d(x+h)−^n(x)_d(x)

h = lim

h→0

1 h

n(x + h) d(x) − n(x) d(x + h) d(x + h) d(x)

= lim

h→0

(n(x + h) − n(x)) d(x) − n(x) (d(x + h) − d(x))

h d(x + h) d(x) = n⁰(x) d(x) − n(x) d⁰(x) d²(x)

La precedente va considerata la formula per la derivata del quoziente tra due funzioni derivabili.

Alcuni esempi:

Dx

a x + b

c x + d = a(c x + d) − (a x + b)c (c x + d)² .

B36:g. andamenti delle funzioni-QtQ polinomiali

B36:g.01 L’andamento delle funzioni monomiali `e facilmente conoscibile.

Derivata positiva equivale a funzione crescente.

Derivata negativa equivale a funzione decrescente.

Funzioni che crescono / decrescono illimitatamente per x → ±∞. Queste due situazioni dipendono dal segno del coefficiente del termine αnxⁿ del grado pi`u elevato e dalla parit`a di tale grado n.

. . . . .

Esempi . . . . .

B36:g.02 Presentazione geometrica della derivata e della tangente a una curva polinomiale.

Equazione della tangente nel punto x0di una curva data da una funzione P (x) in un intorno del punto hx0, P (x₀)i nel quale `e derivabile espressa come funzione T (X).

T (X) − P (x₀) X − x0

= P⁰(x0) ovvero T (X) = P⁰(x0) X + P (x0) − P⁰(x0) x0 .

Si tratta di una funzione crescente [risp. decrescente] sse la P (x) in un intorno di x0 `e crescente [risp.

decrescente].

In particolare la formula vale per la tangente a una curva polinomiale per qualsiasi valore (razionale) di x0.

B36:g.03 Polinomio derivato. Collegamento tra andamento di una funzione polinomiale e andamento della funzione del suo polinomio derivato.

Punti di massimo relativo e punti di minimo relativo.

Punto di minimo per x = 0 per le potenze pari x^2h Massimi, minimi e annullamento della derivata prima B36:g.04 Derivate successive.

∀k = 1, 2, ..., m Dxk

x^m= m(m − 1) · · · (m − k + 1)x^m−k .

Dipendenza dalla derivata seconda la quale esprime concavit`a verso l’alto o verso il basso.

Flessi delle funzioni polinomiali. Punti di flesso e annullamento della derivata seconda x³presenta un flesso orizzontale per x = 0; lo stesso accade per ogni potenza dispari x^2h+1.

B36:g.05 Dato un polinomio si dicono suoi polinomi antiderivati i polinomi le cui derivate coincidono con P (x).

Antiderivate del polinomio ax²+ bx + c sono i polinomi a 3x³+b

2x²+ c x + C, con C costante (razionale) arbitraria.

La differenza di due polinomi antiderivati di uno stesso polinomio `e una costante.

Interpretazione del polinomio antiderivato come area.

B36:h. punti singolari e andamenti delle funzioni-QtQ razionali fratte

B36: h.01 Andamento presso l’origine di 1/x, 1/x²e 1/xⁿ. Punti singolari

Esempi

B36:i. traslazioni, dilatazioni e riflessioni delle funzioni-QtQ

B36: h.01 Le funzioni-QtQ, in quanto sottoinsiemi del piano Q × Q, possono essere assoggettate a varie trasformazioni.

Qui consideriamo le pi`u semplici che portano a nuove funzioni-QtQ facilmente individuabili, per le quali risulta agevole stabilire quali caratteristiche rimangono invariate e quali sono i cambiamenti delle caratteristiche modificate.

Le prime trasformazioni sono le traslazioni orizzontali e verticali.

Vengono poi le omotetie in orizzontale e in verticale

Seguono le riflessioni rispetto a rette-QQ orizzontali e everticali.

Va considerata inoltre la riflessione rispetto alla diagonale principale, trasformazione che raramente porta a funzioni-QtQ.

In particolare la riflessione rispetto a una retta-QQ parallela alla diagonale y = x o alla codiagonale y = −x trasforma una retta-QQ in una retta-QQ.

Testi dell’esposizione in http://www.mi.imati.cnr.it/alberto/ e in http://arm.mi.imati.cnr.it/Matexp/