Prodotti di vettori 21/10
Riassunto
Scelto un sistema cartesiano Oxyz , l’elemento
v = (v1, v2, v3) = (v1, 0, 0) + (0, v2, 0) + (0, 0, v3) ∈ R3 corrisponde alla somma di tre vettori paralleli agli assi. Geo- metricamente, un vettore è determinato dalla sua direzione e della sua norma, non dal punto di applicazione. La somma e la differenza di due vettori sono poi rappresentate medianti i diagonali di un parallelogramma oppure i lati di un triangolo.
In particolare, ~AB − ~AC = ~CB .
La norma di un vettore u = ~AB = (x, y, z) è la lunghezza kuk = |AB| = q
x2 + y2 + z2.
Il prodotto scalare di v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) è il numero v·w = v1w1+v2w2+v3w3. In particolare, v·v = kvk2. Se θ è l’angolo tra v 6= 0 e w 6= 0, allora
v · w = kvk kwk cosθ
e il prodotto è zero solo se v, w sono ortogonali (cioè, a 90o).
Il prodotto vettoriale di v e w è il vettore
v × w = (v2w3−v3w2, v3w1−v1w3, v1w2−v2w1) ortogonale ad entrambi v, w. La sua norma soddisfa
kv × wk = kvk kwk | sin θ|
mentre il verso è determinato dalla regola della mano destra.
