(1) (Campi radiali o centrali) Per x ∈ R
N, x 6= 0, siano r = r(x) = kxk = px
21+ . . . x
2Nla norma del vettore x , e ˆ r = ˆ
r(x) =
xril versore radiale in x.
Se U : (0, +∞) → R `e una funzione di classe C
1, definiamo la funzione ˜ U : R
N\ {0} → R mediante la formula ˜ U (x) = U (r), dove r = kxk.
Verificare che vale la formula ∇ ˜ U (x) = U
0(r)ˆ r.
Se F(x) = g(kxk)x, x 6= 0, con g : (0, +∞) → R continua, si dice che F ` e un campo radiale o centrale.
Un tale campo ` e in generale definito in un insieme non sem- plicemente connesso, ad esempio se N = 2 e la funzione g non
`
e definibile in 0 ` e definito in R
2\ {(0, 0)}; `e il caso del campo F(x) =
Kr2ˆ r, cio` e F(x, y) =
K(x2+y2)32
(x, y), campo gravitazionale o elettrostatico generato da una massa o carica nell’ origine in R
2.
Mostrare che un campo radiale ` e conservativo e, se si scrive F(x) nella forma F(x) = u(r)ˆ r (cio` e si definisce u(r) in termini di g(r) come u(r) = rg(r)), esso ha per primitiva la funzione U (x) = U (r), dove U ` ˜ e una primitiva di u.
In particolare trovare una primitiva del campo (gravitazionale o elettrostatico) F(x, y) =
K(x2+y2)32
(x, y).
[ U (x) = U (r) = − ˜
Kr]
(2) Data la forma differenziale ω(x, y) =
log(√
x2+y2)
x2+y2
x dx +
log(√
x2+y2) x2+y2
y dy determinare l’ insieme di definizione, dire se ` e esatta e in caso affermativo calcolare una primitiva.
[ Campo radiale; U (x, y) =
12log
2(px
2+ y
2) =
18log
2(x
2+y
2) ]
(3) Sia g(x, y) una funzione continua su R
2. Data la forma diffe- renziale
ω(x, y) =
2xy
√
3(x2+y2)2
dx + (
g(x,y)y2 3
√
(x2+y2)2
+ cos(y)) dy
trovare l’ insieme di definizione D, una funzione g tale che la forma sia esatta in (ogni componente connessa di) D, e una primitiva per la forma ottenuta.
[ g(x, y) = −3x
2−y
2; in ognuna delle componenti connesse di D le primitive sono le funzioni U (x, y) =
y3(x
2+y
2)
13+sin(y)+
c ]
(4) Calcolare l’ integrale doppio R R
D
x dxdy, dove D = {(x, y) ∈ R
2: 1 ≤ x ≤ 2 , e
x≤ y ≤ e
x2}
[
12e
4− e
2−
12e ]
1
2
(5) Calcolare l’ integrale R R
D
cos(y)e
xdxdy, D = {(x, y) ∈ R
2: 0 ≤ y ≤
π2; 0 ≤ x ≤ sin(y)}
[ e − 2 ]
(6) Calcolare l’ integrale doppio R R
D
√x
y
dxdy dove D = {(x, y) ∈ R
2: x
2+ 3 ≤ y ≤ 4x}
[
85(3
52− 1) −
23(12
32− 4
32) ] (7) Calcolare l’ integrale doppio R R
D
(3x
2− 4x
3) dxdy dove D = {(x, y) ∈ R
2: x
4≤ y ≤ x
3}
[ 0 ]
(8) Calcolare l’ integrale doppio R R
D
arctan(x) dxdy, dove D = {(x, y) ∈ R
2: 0 ≤ x ≤ 1 ,
1+x1 2≤ y ≤ 1}
[
π4−
12log(2) −
π322]
(9) Calcolare l’ integrale doppio R R
D
arcsin(x) dxdy dove D = {(x, y) ∈ R
2: 0 ≤ x ≤
12,
√ 11−x2
≤ y ≤
√ 21−x2
}
[
π722]
(10) Invertire l’ ordine di integrazione nell’ integrale iterato R
21
dx R
x20
f (x, y) dy
per una funzione continua, cio` e esprimere il dominio sempli- ce Ω = {(x, y) ∈ R
2: 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x
2} come dominio semplice del tipo Ω = {(x, y) ∈ R
2: a ≤ y ≤ b , h
1(y) ≤ x ≤ h
2(y)} e conseguentemente scrivere l’ integrale come R
ba
dy R
h2(y)h1(y)
f (x, y) dx ).
Applicare il risultato al calcolo dell’ integrale doppio R R
Ω y
x2
e
−yxdxdy , dove Ω = [ 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x
2]
[ Ω = [ 0 ≤ y ≤ 4 , max{1, √
y} ≤ x ≤ 2 ] ; 4e
−2+ 1 − 3e
−1]
3
(11) Siano E
1, E
2insiemi in R
2, limitati, misurabili, con misura positiva, e tali che | E
1∩ E
2| = 0, dove | B | indica la misura (bidimensionale di Peano-Jordan) dell’ insieme B (ad esempio i due insiemi E
1, E
2sono disgiunti).
Dimostrare che il baricentro di E = E
1∪ E
2(rispetto a una qualunque densit` a costante fissata) appartiene al segmento avente per estremi il baricentro di E
1e il baricentro di E
2. (12) Sia A un dominio (cio` e un aperto connesso) del piano che (ri-
spetto a una densit` a costante) ha il baricentro nell’ origine (0, 0) degli assi cartesiani, e che ha per bordo il sostegno di un circuito γ (percorso una volta in senso antiorario).
Calcolare l’ integrale curvilineo R
γ
(y
2dx + 2x
2dy) [ 0 ; Usare il Teorema di Green . . . ]
(13) Calcolare in funzione del parametro α ∈ R l’ integrale curvili- neo
R
γ
y + √
x1+x2+y2
dx +
αx + √
y1+x2+y2
