Urto in campo centrale Vogliamo portare il corpo

(1)

Urto in campo centrale

Vogliamo portare il corpo 𝑚

1

su un’orbita circolare avente raggio maggiore del perielio dell’orbita attuale, e maggiore possibile. Compiremo il processo attraverso un passaggio intermedio: in primo luogo porteremo il corpo 𝑚

₁

su un’orbita ellittica avente un perielio maggiore, e in un secondo momento passeremo

all’orbita circolare. Il passaggio da un’orbita all’altra saranno così veloci da poter essere considerati istantanei.

Per effettuare il passaggio dall’orbita attuale ad un’orbita ellittica con perielio più grande, lo faremo urtare con un corpo 𝑚

2

. Dopo l’urto i due corpi rimangono attaccati.

1. Fissato il punto in cui avviene l’urto, trovare la configurazione delle due orbite che massimizza il valore del perielio dell’orbita finale

2. Fissati ora i parametri dell’ orbita del primo corpo (eccentricità, valore del perielio), come scegliere i parametri dell’orbita del secondo corpo (eccentricità, valore del perielio, angolo fra i due perieli) in modo che l’orbita dei due dopo lo scontro abbia massimo perielio possibile?

Una volta che i due corpi sono sull’orbita intermedia, per passare all’orbita circolare finale vogliamo espellere una piccola massa 𝑚

₃

in modo da passare all’orbita finale desiderata.

3. In che punto dell’orbita dovremo espellere tale massa? E in che direzione?

4. Che valore ha tale massa?

Per far avvenire tale processo, è necessario che i due corpi dispongano di una sufficiente quantità di energia interna di qualche tipo.

5. Trovare la minima quantità di energia necessaria

NOTE: può essere utile usare le seguenti formule per l’eccentricità e la traiettoria delle orbite:

𝜀 = 1 + 2𝐿

²

𝐸

𝐺

²

𝑚

³

𝑀

²

, 𝑙 = 𝐿

²

𝐺𝑚

²

𝑀 , 𝑟(𝜃) = 𝑙 1 + 𝜀𝐶𝑜𝑠(𝜃)

dove 𝜀 è l’eccentricità, 𝐿 il momento angolare, 𝐸 l’energia, 𝑀 ≫ 𝑚 le due masse, 𝑟(𝜃) la distanza dal fuoco

contenente la massa 𝑀, 𝜃 l’angolo fra la posizione e il raggio vettore indicante il perielio.

(2)

Moto in campo centrale

Consideriamo un corpo, di massa 𝑚 in moto in uno spazio che contiene una densità di massa costante 𝜌, ad eccezione di una corona sferica di raggio interno 𝑎 e raggio esterno 𝑏. Il corpo parte da una distanza 𝑟

₀

> 𝑏 con una velocità 𝑣

₀

in direzione tangente.

1. Scrivere l’energia del corpo

2. Trovare la condizione su 𝑣

0

affinché il corpo non entri mai nella corona sferica durante il suo moto Ipotizziamo ora che la condizione al punto precedente non sia soddisfatta

3. Trovare la distanza di minima dal centro della sfera a cui potrà trovarsi l’oggetto durante il suo moto in funzione di 𝑣

0

4. Disegna i diversi tipi di orbita che può avere l’oggetto al variare di 𝑣

0

. Assicurati che il disegno contenga tutte le caratteristiche importanti dell’orbita

5. Quanto vale il tempo di rivoluzione, al variare di 𝑣

0

?

(3)

Vela Solare

Consideriamo un corpo, di massa 𝑚 in moto attorno al sole. Tale corpo possiede energia 𝐸 < 0 e momento angolare attorno al centro di attrazione gravitazionale 𝐿.

1. Trova la distanza minima e massima possibile dal sole

A un certo punto il corpo apre una “vela solare”, ovvero una vela che può sfruttare la pressione data dalla radiazione del sole. La vela, di area 𝐴, permette all’oggetto di subire una forza dovuta al fatto che riflette i fotoni in arrivo dal sole. La potenza irradiata dal sole nelle lunghezze d’onda nelle quali la vela è in grado di operare (ovvero di riflettere i fotoni) è 𝑃. La vela viene tenuta aperta sempre nella direzione del sole per massimizzare l’effetto.

2. Come si modificano le distanze minime e massime permesse?

3. Qual è la nuova forma dell’orbita?

4. Immaginando che la vela venga aperta nel punto di minima distanza, disegnare la traiettoria dell’oggetto nel mezzo periodo che precede e che segue l’apertura della vela

5. Per quale valore della potenza l’oggetto può allontanarsi a distanza infinta dal centro di attrazione?

6. Nel caso in cui la potenza solare irraggiata sia piccola, qual è il nuovo periodo di rivoluzione?

(4)

Moto in campo di Yukawa

Consideriamo un corpo, di massa 𝑚 in moto in un potenziale di Yukava 𝑉 = − 𝐺𝑀

𝑟 𝑒

^−𝑘𝑟

1. Trova la densità di massa che generi tale potenziale 2. Trova il periodo di rivoluzione

3. Data una piccola perturbazione radiale, trova il periodo delle oscillazioni radiali 4. I due periodi coincidono, o si verifica il fenomeno della precessione?

Urto in campo centrale Vogliamo portare il corpo

Urto in campo centrale

Vogliamo portare il corpo 𝑚

su un’orbita circolare avente raggio maggiore del perielio dell’orbita attuale, e maggiore possibile. Compiremo il processo attraverso un passaggio intermedio: in primo luogo porteremo il corpo 𝑚

su un’orbita ellittica avente un perielio maggiore, e in un secondo momento passeremo

all’orbita circolare. Il passaggio da un’orbita all’altra saranno così veloci da poter essere considerati istantanei.

Per effettuare il passaggio dall’orbita attuale ad un’orbita ellittica con perielio più grande, lo faremo urtare con un corpo 𝑚

. Dopo l’urto i due corpi rimangono attaccati.

1. Fissato il punto in cui avviene l’urto, trovare la configurazione delle due orbite che massimizza il valore del perielio dell’orbita finale

2. Fissati ora i parametri dell’ orbita del primo corpo (eccentricità, valore del perielio), come scegliere i parametri dell’orbita del secondo corpo (eccentricità, valore del perielio, angolo fra i due perieli) in modo che l’orbita dei due dopo lo scontro abbia massimo perielio possibile?

Una volta che i due corpi sono sull’orbita intermedia, per passare all’orbita circolare finale vogliamo espellere una piccola massa 𝑚

in modo da passare all’orbita finale desiderata.

3. In che punto dell’orbita dovremo espellere tale massa? E in che direzione?

4. Che valore ha tale massa?

Per far avvenire tale processo, è necessario che i due corpi dispongano di una sufficiente quantità di energia interna di qualche tipo.

5. Trovare la minima quantità di energia necessaria

NOTE: può essere utile usare le seguenti formule per l’eccentricità e la traiettoria delle orbite:

𝜀 = 1 + 2𝐿

𝐸

𝐺

𝑚

𝑀

, 𝑙 = 𝐿

𝐺𝑚

𝑀 , 𝑟(𝜃) = 𝑙 1 + 𝜀𝐶𝑜𝑠(𝜃)

dove 𝜀 è l’eccentricità, 𝐿 il momento angolare, 𝐸 l’energia, 𝑀 ≫ 𝑚 le due masse, 𝑟(𝜃) la distanza dal fuoco

contenente la massa 𝑀, 𝜃 l’angolo fra la posizione e il raggio vettore indicante il perielio.

Moto in campo centrale

Consideriamo un corpo, di massa 𝑚 in moto in uno spazio che contiene una densità di massa costante 𝜌, ad eccezione di una corona sferica di raggio interno 𝑎 e raggio esterno 𝑏. Il corpo parte da una distanza 𝑟

> 𝑏 con una velocità 𝑣

in direzione tangente.

1. Scrivere l’energia del corpo

2. Trovare la condizione su 𝑣

affinché il corpo non entri mai nella corona sferica durante il suo moto Ipotizziamo ora che la condizione al punto precedente non sia soddisfatta

3. Trovare la distanza di minima dal centro della sfera a cui potrà trovarsi l’oggetto durante il suo moto in funzione di 𝑣

4. Disegna i diversi tipi di orbita che può avere l’oggetto al variare di 𝑣

. Assicurati che il disegno contenga tutte le caratteristiche importanti dell’orbita

5. Quanto vale il tempo di rivoluzione, al variare di 𝑣

?

Vela Solare

Consideriamo un corpo, di massa 𝑚 in moto attorno al sole. Tale corpo possiede energia 𝐸 < 0 e momento angolare attorno al centro di attrazione gravitazionale 𝐿.

1. Trova la distanza minima e massima possibile dal sole

2. Come si modificano le distanze minime e massime permesse?

3. Qual è la nuova forma dell’orbita?

4. Immaginando che la vela venga aperta nel punto di minima distanza, disegnare la traiettoria dell’oggetto nel mezzo periodo che precede e che segue l’apertura della vela

5. Per quale valore della potenza l’oggetto può allontanarsi a distanza infinta dal centro di attrazione?

6. Nel caso in cui la potenza solare irraggiata sia piccola, qual è il nuovo periodo di rivoluzione?

Moto in campo di Yukawa

Consideriamo un corpo, di massa 𝑚 in moto in un potenziale di Yukava 𝑉 = − 𝐺𝑀

𝑟 𝑒

1. Trova la densità di massa che generi tale potenziale 2. Trova il periodo di rivoluzione

3. Data una piccola perturbazione radiale, trova il periodo delle oscillazioni radiali 4. I due periodi coincidono, o si verifica il fenomeno della precessione?

5. Per quali 𝑟 le orbite circolari sono stabili?

Note: può essere utile utilizzare il potenziale efficace.