- 15 -
La rappresentazione "incoming R si ottiene mediante riflessione ri- spetto ad s della funzione
l pS '" pS '" 00
-c2 <P(3s(e f l ) + e f
2) se F = {fl,f2}e Cc
f
e lo spazio incoming ~ è l'insieme dei dati F e H tali per cui, Vt < O, u(x,t) = O se d(x,j) < -t
Il principio di Huygens, che si enuncia nel modo seguente:
se il dato iniziale F = {f l,f
2} è tale che f
1(x) = f
2(x) = O per ogni x per cui d(x,j) > a, allora u(j,t) = O per Itl > a
. -
vale esclusivamente Der gli spazi iperbolici reali di dimensione dispari.
'" ; \ Si ha ovviamente f
1 e f
2 = O per Isl> a e, da (7) u(j,t) = 1/2 f(Q F)(-t,b)db.
B +
; \
e f
2 e quindi casi, il principio Se M è uno spazio iperbolico reale di dimensione dispari, allora QF è
+
'"
un operatore differenziale su11é trasformate di Radon f l QF(-t,b) = O per ogni b e B se Itl > a. Negli altri
+
di Huygens non vale, infatti u(j,t) è antitrasformata di Fourier di
~ --'
q(-À) f R F(-À,b)db. Essendo u(j,t) a supporto compatto, q(-À) fR F(-À,b)db
B + B +
si estende ad una funzione olomorfa intera. Ne segue che q(À) è olomorfa intera e ciò si verifica, per le limitazioni di q(À) date in sezione 2, solo quando q(À), e quindi p(À), è un po1inomio.
5. LA MATRICE DELLO SCATTERING. -
Per ogni fissato À e R, la matrice dello scattering ~ è data da
~(À) L2(B)_L2(B) dove ~(À)f=p(À)(-À fl(-À,b)+f
2(-À,b)) se f è data da P(-À)(Àfl(À,b)-f
2(À,b))
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~ è causale se e solo se p è un polinomio.
Supponiamo che ~ sia causale; al variare di in C (X) le fun-ex>
c
'" '"
zioni g: (~,b) + p(-~)(\fl(~,b)-f2(\,b))
di causalità implica che anche le funzioni
appartengono ad Q+. LIi potes i
..., ...
p(\)(-\f
l(-\,b)+f
2(-\,b)) ap- partengono ad ll+. Ne segue che p(\) deve estendersi ad una funzione 010-
mor~a in Imz > O e quindi che p è un polinomio.
Viceversa se p è un polinomio, allora X è uno spazio iperbolico reale di dimensione dispari. Per tali spazi, non clè alcuna difficoltà ad esten- dere gli argomenti svolti nel caso di dimensione 3 in [5].
Inoltre, procedendo esattamente come in [5] si ottiene la seguente espre~
sione per la matrice dello scattering nel caso degli spazi iperbo1ici reali di dimensione dispari:
dove o+il1(m)p
o:.. il1(m)p
=1 )l(m) =1+ 2mn-l
e 0k è la proiezione ortogonale di N su tutto lo spazio generato dalle armoniche sferiche di ordine k.
6. Un'osservazione sulla trasformata di Radon. -
El ovvio che se 9 si annulla fuori della palla di centro j e raggio r B(j,r) allora
g(s,b) = O per s > r e per ogni b.
Non possiamo stabilire la proposizione inversa, ma dimostriamo che se g e L
2(x) e se ~(e's g) = O per s > r e per ogni b allora
9 = O fuori di B(j,r).
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Dimostrazione. -
Siano
j)r =U(r)Il
+ +
Premettiamo due osservazioni.
la Osservazione. -
e :Dr =U(-r)'D
Come Corollario del Lemma di Sezione 5 e del Lemma analogo per distri- buzioni n del tino
u(x,t) = f exp(pA(x,b)k_ (A(x,b)+t, b)db
B
si hanno i seguenti risultati:
R !)r consiste delle funzioni h(s,b) a quadrato sommabile e nulle per + +
S < r.
R cnr consiste delle funzioni h(s,b) a quadrato sommabile e tali che se + -
R F = h con F e !)r allora Q F soddisfa e: per s > -a.
+ - +
R :or consiste delle funzioni h(s,b) a quadrato sommabile nulle per s < a - -
R "Dr consiste delle funzioni h(s,b) a quadrato sommabile e ta l i che se - +
R F = h con F e~r allora QF soddisfa e: rer s > - a.
+ +
2a
Osservazione. -
Con un procedimento analogo a quello usato in Lenvna 3.11 [5], ma ragio- nando su O invece che su R si può 0,rovare che:
'+ +
se il dato (O,f) è tale che
allora
f = O per d(x;j) < r
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(O,f) si aoprossima con dati (O,f
N) appartenenti a 1>: +1>:
Utilizzando tali fatti possiamo dimostrare ora il risultato enunciato:
se lP(ePs
g) = O G = (O,g)
per s > r e per 09ni b e B , allora si ha se
R G= O + R G = O
pertanto
per s > r per s > r
r r
G è E-ortogonale a ~ + ~
+ -
Per la 2 osservazione, Ga è E-ortogonale ai dati (O,f) per cui sia f = O pe r d(x,j) < r.
Se ne deduce che g è ortogonale in L2
(X) ad ogni B(j,r), ovvero 9 = O fuori di B(j,r).
B I B L I O G R A F I A
f e L (X) nullo in2
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