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O per ogni x per cui d(x,j) &gt

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Academic year: 2021

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(1)

- 15 -

La rappresentazione "incoming R si ottiene mediante riflessione ri- spetto ad s della funzione

l pS '" pS '" 00

-c2 <P(3s(e f l ) + e f

2) se F = {fl,f2}e Cc

f

e lo spazio incoming ~ è l'insieme dei dati F e H tali per cui, Vt < O, u(x,t) = O se d(x,j) < -t

Il principio di Huygens, che si enuncia nel modo seguente:

se il dato iniziale F = {f l,f

2} è tale che f

1(x) = f

2(x) = O per ogni x per cui d(x,j) > a, allora u(j,t) = O per Itl > a

. -

vale esclusivamente Der gli spazi iperbolici reali di dimensione dispari.

'" ; \ Si ha ovviamente f

1 e f

2 = O per Isl> a e, da (7) u(j,t) = 1/2 f(Q F)(-t,b)db.

B +

; \

e f

2 e quindi casi, il principio Se M è uno spazio iperbolico reale di dimensione dispari, allora QF è

+

'"

un operatore differenziale su11é trasformate di Radon f l QF(-t,b) = O per ogni b e B se Itl > a. Negli altri

+

di Huygens non vale, infatti u(j,t) è antitrasformata di Fourier di

~ --'

q(-À) f R F(-À,b)db. Essendo u(j,t) a supporto compatto, q(-À) fR F(-À,b)db

B + B +

si estende ad una funzione olomorfa intera. Ne segue che q(À) è olomorfa intera e ciò si verifica, per le limitazioni di q(À) date in sezione 2, solo quando q(À), e quindi p(À), è un po1inomio.

5. LA MATRICE DELLO SCATTERING. -

Per ogni fissato À e R, la matrice dello scattering ~ è data da

~(À) L2(B)_L2(B) dove ~(À)f=p(À)(-À fl(-À,b)+f

2(-À,b)) se f è data da P(-À)(Àfl(À,b)-f

2(À,b))

(2)

- 16 -

~ è causale se e solo se p è un polinomio.

Supponiamo che ~ sia causale; al variare di in C (X) le fun-ex>

c

'" '"

zioni g: (~,b) + p(-~)(\fl(~,b)-f2(\,b))

di causalità implica che anche le funzioni

appartengono ad Q+. LIi potes i

..., ...

p(\)(-\f

l(-\,b)+f

2(-\,b)) ap- partengono ad ll+. Ne segue che p(\) deve estendersi ad una funzione 010-

mor~a in Imz > O e quindi che p è un polinomio.

Viceversa se p è un polinomio, allora X è uno spazio iperbolico reale di dimensione dispari. Per tali spazi, non clè alcuna difficoltà ad esten- dere gli argomenti svolti nel caso di dimensione 3 in [5].

Inoltre, procedendo esattamente come in [5] si ottiene la seguente espre~

sione per la matrice dello scattering nel caso degli spazi iperbo1ici reali di dimensione dispari:

dove o+il1(m)p

o:.. il1(m)p

=1 )l(m) =1+ 2mn-l

e 0k è la proiezione ortogonale di N su tutto lo spazio generato dalle armoniche sferiche di ordine k.

6. Un'osservazione sulla trasformata di Radon. -

El ovvio che se 9 si annulla fuori della palla di centro j e raggio r B(j,r) allora

g(s,b) = O per s > r e per ogni b.

Non possiamo stabilire la proposizione inversa, ma dimostriamo che se g e L

2(x) e se ~(e's g) = O per s > r e per ogni b allora

9 = O fuori di B(j,r).

(3)

- 17 -

Dimostrazione. -

Siano

j)r =U(r)Il

+ +

Premettiamo due osservazioni.

la Osservazione. -

e :Dr =U(-r)'D

Come Corollario del Lemma di Sezione 5 e del Lemma analogo per distri- buzioni n del tino

u(x,t) = f exp(pA(x,b)k_ (A(x,b)+t, b)db

B

si hanno i seguenti risultati:

R !)r consiste delle funzioni h(s,b) a quadrato sommabile e nulle per + +

S < r.

R cnr consiste delle funzioni h(s,b) a quadrato sommabile e tali che se + -

R F = h con F e !)r allora Q F soddisfa e: per s > -a.

+ - +

R :or consiste delle funzioni h(s,b) a quadrato sommabile nulle per s < a - -

R "Dr consiste delle funzioni h(s,b) a quadrato sommabile e ta l i che se - +

R F = h con F e~r allora QF soddisfa e: rer s > - a.

+ +

2a

Osservazione. -

Con un procedimento analogo a quello usato in Lenvna 3.11 [5], ma ragio- nando su O invece che su R si può 0,rovare che:

'+ +

se il dato (O,f) è tale che

allora

f = O per d(x;j) < r

(4)

- 18 -

(O,f) si aoprossima con dati (O,f

N) appartenenti a 1>: +1>:

Utilizzando tali fatti possiamo dimostrare ora il risultato enunciato:

se lP(ePs

g) = O G = (O,g)

per s > r e per 09ni b e B , allora si ha se

R G= O + R G = O

pertanto

per s > r per s > r

r r

G è E-ortogonale a ~ + ~

+ -

Per la 2 osservazione, Ga è E-ortogonale ai dati (O,f) per cui sia f = O pe r d(x,j) < r.

Se ne deduce che g è ortogonale in L2

(X) ad ogni B(j,r), ovvero 9 = O fuori di B(j,r).

B I B L I O G R A F I A

f e L (X) nullo in2

[l]M.P.Gaffney, A.6peUaf. Stoku'.6 theoftem 60ft c.omplete ftie.ma.nrU.a.n mani6old6,

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