Le e,5-8marzo2003
Matemati a, Musi a e Te nologie:
un trinomio possibile
P.Pantano - E. Bilotta,
CentroInterdipartimentaledellaComuni azione
UniversitadellaCalabria,Cubo17B,Ar ava atadiRende(CS)
bilotta/piepauni al.it
Sommario
Inquestolavorodes riviamo omelete nologiedell'informazionee
della omputazionearri his onoil lassi orapportotraMatemati a
e Musi a, mettendo a disposizionedell'artista nuovi metodie stru-
mentiperla reativitamusi ale. InuovimodellidellaS ienzalegati
aifrattali, aisistemidinami i, alla omplessitae al aos fornis ono
unagrandequantitadistrutturematemati he heattraversooppor-
tuni odi i possono esseretradottiin suonie musi a. L'artista puo
usare questo ontesto per le proprie produzioni, ed il matemati o
puo trovare nelleproduzionimusi ali una semanti a dellestrutture
matemati he astratte heintervengono nel orsodei suoi studi. In
questolavorovengonoesploratiirapportitraSpaziMatemati i,Spazi
Sonori e Spazi Musi ali e ome le strutture matemati he possono
esseretradotteinmusi aattraversoopportuni odi i.
1 Introduzione
Fin dall'anti hita il rapporto tra Matemati a e Musi a e stato esplorato.
DasemprelaletturadellaNaturahapermessoagliS ienziati di desumere
leleggimatemati he hemodellanoipro essi helapervadono. Etalirap-
porti numeri isiritrovanonel nostromododiintenderelarealta. Laserie
diFibona i,lasezioneaurea,leleggidellaGestaltsonosolo al uniesem-
pi di ome i nostrisensiprin ipali, visioneeudito, sianosintonizzatisulle
dinami he hegestis onoipro essidellaNatura, hediventanopro essiin-
ons io ons idi onos enzaerappresentazione.
Pitagoratrovo herapportitralelunghezzedelle ordevibrantiespressida
rapporti tra pi olinumeri (1:2, 1:3, 2:3,...) produ evano suoni armoniosi
[26℄[16℄. L'armonia,alla basedellateoriadella onsonanza, risultavaper-
tantostrettamente orrelataairapportitrapi olinumeri.An hesebisogno
aspettareilXIXse olo onl'analisidiFourierper hequestofenomenofos-
se ompreso,almenoper io he on ernelaFisi a, lastretta orrelazione
1
DipartimentodiLinguisti a,UniversitadellaCalabria
2
tra Matemati aeMusi a ispiropare hi s ienziatieartisti, omeKeplero
eBa h soloper itarne al uni. Le strutture matemati he sono presenti in
molte opere musi ali. Canoni e fughe possono essere spiegati in termini
di gruppi di simmetrie erotture di simmetrie [31℄.
E meno noto, ma non
perquesto menointeressante, hestrutture frattalisianopresentiinmolte
opere stori he [17℄ [21℄ e questo ra orzala onvinzione he Matemati ae
Musi asirelazioninotraloroadunlivellomoltoprofondo. Questoarti olo
miraamettereinevidenza ome ilrapportostori otraMatemati aeMu-
si a trova un ulteriore ra orzamento oni nuovi paradigmi della S ienza
Contemporanea,fornendoesempi sull'usodellepiu avanzate te ni he om-
putazionali hemettonoadisposizioneimportantistrumentidianalisiedi
reazionedi artefattimusi ali. Inun ertosenso laMusi a rappresentala
semanti adellevariestrutturematemati hee,in unsensopiuampio,della
naturadel mondoquandoquestimodelli sonoallabase di teorieempiri he
heinter ettanoespieganoifenomeninaturali.
L'uso degli elaboratori elettroni i ha allargato molto il ampo d'indagi-
ne degli studiosi della natura ed una nuova ategoria di fenomeni, pura-
mente arti iali, sonovenutialla lu e. Gli UniversiArti iali dovequesti
fenomeni intervengono, sono stati reati dalla fantasia degli s ienziati, al
ne di omprendere, in ontesti piu limitati e sotto ontrollo, fenomeni
biologi i omplessi omelariproduzioneel'auto-riproduzione,l'evoluzione,
l'auto-organizzazione;inquestisettorile lassi heteoriedellas ienzabasate
sullaprevisione ertadell'a aderedial unifenomeninonfunzionanomolto
benea ausadellanatura omplessadel ontesto herendel'impredi ibilita
una aratteristi a ostante. Gli Automi Cellulari sono uno dei prin ipali
strumenti utilizzati erappresentano uno degliargomentidi questolavoro.
Vedremo helaMusi a enon solouna manifestazionefenomeni ama una
delle possibili hiavi interpretative e di indagine del settore. In un erto
senso essa rappresenta laSemanti a dei fenomeni omplessi he via viasi
manifestano. Per omprendere peroappieno tale uso, dovremopro edere
pergradiedintrodurreunaseriedi nozionie onvenzioni.
Questolavororiassumestudi eri er hepluriennali ondotteall'internodel
gruppo di ri er a interdis iplinare sui Sistemi Evolutivi (ESG- Evolutive
SystemGroup)presentepressol'UniversitadellaCalabria,i uilavorisono
rintra iabilialseguenteindirizzohttp://galileo. in om.uni al.it/esg/dove
edisponibile an heunagalleriadi immaginiedimusi hedirettamente ol-
legate aquanto esposto in questo lavoro. Una ri aduta importante daun
punto di vistas ienti o di questeattivitadiri er ael'organizzazionedei
workshop ALMMA (Arti ialLife Models foMusi al Appli ations),la ui
primaedizionesiesvoltaaPraganel2001,lase ondaaSydneynel2002e
laterzasisvolgeraaDortmundnel 2003.
Illavoroeorganizzatonelmodoseguente: nellasezione2vengonodes ritti
gli spazi sonori e gli spazi musi ali e ome essipossono essere matemati-
amente rappresentati. Questo onsentiradi reare analogie tra strutture
genzadel aos in sistemi dinami ipuoessere rappresentatamusi almente
e ome la musi a puo onsentire l'esplorazione dei vari fenomeni. Nella
sezione4, utilizzando gli automi ellulari,analizzeremo la omplessitadei
vari fenomeni emergenti in universi arti iali e vedremo ome tale om-
plessitapuoesseretradottain musi a.
Nellasezione 5 on entreremolanostra attenzione sugli auto-riproduttori
allabasedeltentativodivonNeumanndi omprenderelalogi adellavitae
omequestopuoesserefontediispirazionedivari ostruttimusi ali. Nella
sezione 6 des riveremo l'evoluzione dei sistemi biologi i e ome la onso-
nanzapitagori apuoessereutilizzataperla reazionediartefattimusi ali.
Nellasezione7trarremoin nedelle on lusioni.
2 Spazi Matemati i, Spazi Sonori e Spazi Musi ali
Iprin ipaliparametri si idel suono[16℄[29℄sono :
Intensita:elegataall'energiadell'ondasonora hesipropaganell'aria
e hevieneper epitadalnostroore hio omevolumedelsuono.
Altezza: elafrequenzadell'ondasonora.
Timbro: elegato alla formadell'onda. Ogni strumento musi ale ne
haunoproprio[28℄.
Durata: el'intervallo ditemponelqualevieneemessoilsuono.
Perrappresentareformalmentequestegrandezzepossiamointrodurreil on-
ettodispaziosonoro heinprimaapprossimazionepuoessererappresenta-
todaunospaziotridimensionalei uiassirappresentanofrequenza,durata
eintensita. Unasequenzasonoraeuninsieme dipuntiinquestospazio.
Inquesta rappresentazioneman a il timbro, he manifestala presenza di
armoni hesuperioririspettoalla frequenza fondamentale. Se onsiderassi-
moan heil timbro,lospaziosonoroavrebbeun'in nitadi dimensioni. La
s elta hesifae onsiderareuninsieme ditimbri prede niti eti hettati da
unnumeroedaggiungereun'ulterioredimensioneallospaziosonoro.
Questaulterioregrandezzaassume,ingenerale,valoridis reti.
Vediamoora omesipuoottenereunospaziomusi alepartendodallospazio
sonoropre edentementede nito. Lenotemusi alisonoottenutes egliendo
suonidiparti olarifrequenze. Essepossonoesseregeneratetutte apartire
dalLAfondamentaledimezzandooraddoppiandolefrequenzeedividendo
l'intervallo di ottavain 12 parti uguali nella s ala logaritmi a [16℄. Nelle
notemusi ali,un'ulterioredis retizzazionesie ettuasulladuratadellenote
he oraassumeranno valore 4/4,2/4, 1/4, 1/8,1/16, 1/32, 1/64. Mante-
nendo ostantel'intensita,lospaziomusi alepuoessereallorarappresentato
omeuno spaziodis retobidimensionale dovesu unasseabbiamoinserito
laduratadellanotaesull'altroassel'altezzadellanotastessa.
strumento musi ale un numero ompreso tra 1e 128 e pertanto il nostro
spazio musi ale si trasforma in uno spazio tridimensionale dis reto. Una
nota orrisponderaalloraadunpuntoditalespazio,daorain poiindi ato
onM,esaraindividuata dauna ternadoveilprimo numerorappresenta
l'altezza dellanota, il se ondonumerolasuadurata edil terzonumerolo
strumento on uilanotadeveessereeseguita:
nota=(Altezza;Durata;Strumento): (1)
Unamelodiaalloradiventa:
f :N !N 3
(2)
dovef eun'appli azione heasso iaadunasequenzadinumerinaturaliuna
ternadinumerinaturali, heindividuano,inunaopportuna odi abinaria,
la notamusi ale. Pertanto una melodia Me puoan he essere individuata
daunasu essionedi elementidi M:
Me=fm
1
;m
2
;:::;m
i
;:::;m
n jm
i
2Mg (3)
Riassumendo,possiamoa ermare he:
Gli spazimusi alipossonoessere onsiderati ome spazitridimensio-
nali,analoghiaglispazisonori,solo heoraivaloridituttelevariabili
sarannodis reti.
Questi spazisonoan helimitati.
Il odi e MIDI odi aesattamente,in formato binario, i valori(al-
tezze) dellenote, ladurata eiltimbro.
Una volta individuato rigorosamentelo spazio sonoroo musi ale ele or-
rispondentisequenzesonoreomelodie,possiamooperaredelletrasformazioni
su esse. Ad esempiose onsideriamo una melodia Me, possiamo ostruire
una nuova melodia operando on una traslazione sull'altezza della nota.
Questo equivarra a suonare la melodia su una s ala melodi a di erente.
Questo pro essoe alla base della ostruzione dei anoni. Sulle sequenze
musi ali le piu frequenti trasformazioni he possono essere fatte sono le
seguenti[31℄:
a) traslazioni(spostamentodellemelodiein altezzaoneltempo)
b) ri essioni(siainaltezza heneltempo)
) mezzigiri(simmetriepuntuali).
A questo punto possiamo gia stabilire delle orrispondenze tra strutture
matemati heestrutturemusi aliin unmododeltutto naturale.
unparametro: onsiderandoi valori adintervalli dis reti,unpro esso
disoni azionepuofar orrispondereaipuntifP
1
;P
2
;:::P
n
;:::gdella urva
individuatadaisu essivi valoridi, unasu essionedi puntinellospazio
sonoro reando osuna orrispondentesequenzasonora. Nellasezionesu -
essivautilizzeremo unanalogo pro esso per lasoni azione di traiettorie
nellospaziodellefasiprodottedasistemidinami i. Sequenzemusi alipos-
sonoessereottenuteallostessomodo.
E ben noto he piu suoni opiu note possono essere prodotte e as oltate
simultaneamente. Questo onsente ad esempio di produrre piu melodie
he possono essereeseguite ontemporaneamente. I anoni utilizzano te -
ni hedi questo tipo: partendodauna su essioneiniziale dinote, tramite
una trasformazione, si reano altre melodie he vengono eseguite simul-
taneamente o on uno spostamento temporale. La possibilita di eseguire
piumelodie ontemporaneamenteelastretta orrispondenza hepuoessere
stabilitatraspazimatemati iespazimusi ali, omevedremo onvariesem-
pi nella sezione su essiva, onsente un'esplorazione molto interessante di
strutture matemati he omplesse ome gli attrattori strani he si manife-
stanoad esempio nei sistemi dinami i [13℄, [20℄. Ovviamente non sempre
puoesserestabilita una orrispondenzadiretta trauna strutturamatema-
ti aedunasequenzasonoraomusi ale,maene essariofaredelleoperazioni
intermedie, ostruendodapprimauna su essionedi elementiestabilendo,
in una fase su essiva, una orrispondenza tra questa su essione ed una
su essionenellospaziosonoroomusi ale.
Adottando ome metafora un triangolo di musi azione [3℄, [6℄ he on-
nettelestrutturematemati heprodotteall'internodiqual hemodellofor-
male o teoria empiri a e di erenti me anismi di musi azione o soni -
azione,possiamo reareinnumerevolirappresentazionioartefattimusi ali.
Questopro essosaraevidenziatonellasezionesu essivaquandoparleremo
di usamente dimusi agenerativa.
3 La musi a generativa e l'esplorazione del Caos
Ilpiufamosoesempiostori odi omposizionealgoritmi aeilMusikalis hes
Wurfelspiel onos iutoan he ome\gio odei dadimusi ali". Attribuitaa
Mozart, l'idea alla base di questo so sti ato gio o musi ale onsiste nella
reazionedi unamelodias egliendo a aso, tramiteunlan io di dadi,una
sequenzadi battutepre edentementede nite. Neglianni re entil'avvento
del omputerharesodisponibilialla omposizionemusi alemoltialtristru-
mentisia on ettuali hete ni i [29℄,[22℄, [14℄.
3
Inparti olare nuovi appro i basati sull'uso di iterazioni [18℄, sulla teoria
3
Per una breve introduzione alla omposizione automati a di musi-
a si fa ia riferimento al lavoro di Cope disponibile al seguente indirizzo
http://arts.u su.edu/fa ulty/ ope/history.html. Una grande lista di riferimenti
sullamusi a algoritmi a e rintra iabile sulla ban a dati algorithmi .net al seguente
del aos[27℄, [2℄, [35℄, [30℄, [10℄, sui frattali [33℄, [34℄, [12℄, [15℄, [17℄, [21℄,
sugliautomi ellulari[23℄,[3℄,[6℄,sullavitaarti iale[7℄,[1℄ onsentonoai
ompositori di allargare le loro possibilita reativenella produzione musi-
ale.
L'appro io generativooalgoritmi o alla produzionemusi ale e basatosu
duepro essi
Generazionedi sequenzenumeri he
Trans odi a di talisequenzeinmusi a
Comeabbiamogiadetto,perlagenerazionedisequenzenumeri hepossiamo
utilizzarevarimodelli matemati i ome adesempioi sistemidinami i. Un
sistemadinami osipuos rivere ome:
_
X=F(X;t;
1
;:::
n
) (4)
dove X e un vettore ostruito on le variabili di stato del sistema, t, il
tempo, e la variabile indipendente,
1
;:::
n
sono i parametri di ontrollo
delsistema e on _
X eindi ataladerivatadel vettoreX rispettoaltempo.
Molti modelli si i, biologi i, me ani i, sono rappresentati da sistemi di
questotipo. An hegliautomi ellularisonosistemidinami i,inquantogli
stati del sistema varianonel tempo. Essi, pero,possonoassumere soloun
numero nitodistatieiltempo\tras orre" onpassidis reti,per uisono
sistemidinami idis reti.
Perprodurre musi aapartire da unsistema dinami oene essario reare
una orrispondenzafralevariabilidelsistemaeiparametri si idelsuono
(vedi gura1). I parametrisonori heutilizzeremosonolafrequenza,l'in-
Figura1: Corrispondenzatralegrandezzediunsistemadinami oeiparametri
si idelsuono omeintensita,durataefrequenza.
tensita,il timbroeladurata. Volendomusi areletraiettorienellospazio
dellefasi,bisognaasso iareaivalori ontinuidellevariegrandezzedelsiste-
madinami o ivalori dis retirelativi aiparametrimusi ali. Ilprimo passo
in questa direzione onsiste nella determinazione dell'intervallo di valori
ompresi fra il minimo ed il massimo delle grandezze. Il se ondo passo
prevedel'asso iazionediunanotamusi alequandoilvaloredellagrandez-
zae ompresoinun ertointervallo(vedi gura2). Pervedereneldettaglio
le musi he prodotte on i sistemi dinami i, analizziamo al uni esempi. I
Figura2:Corrispondenzatragliintervallidiunagrandezzadelsistemadinami o
ele notemusi ali ditre ottave. Con M edmabbiamo indi ato ilmassimoe il
minimorispettivamentedellagrandezzadelsistemadinami o.
altri odi i di musi azione sono in [10℄.
4
Di seguito sono presentate le
traduzionimusi alidial unisistemidinami ifraipiu noti.
L'os illatorearmoni o
Nel asodell'os illatorearmoni o, la(4)rappresenta laseguente oppia di
equazionidi erenziali
_ x
1
= x
2
_ x
2
= kx
1
(5)
Inquesto asoX =
x
1
x
2
eilvettorerelativoallegrandezzedinami he;il
sistemahaunsoloparametrodi ontrollok. Se onsideriamol'andamento
(neltempo)diunasolavariabiledelsistemaotteniamoilgra odisinistra
della gura 3. Asso iando al valoredella grandezza l'altezza delle note a
su essivivalori deltempo, otteniamolatras rizionemusi ale visualizzata
nella gura3b.
Figura3: Asinistral'andamento diunavariabiledistatodell'os illatorearmo-
ni o;adestrala orrispondentemelodia,asso iandol'altezzadiunanotaalvalore
dellavariabiledistato.
4
Una galleria di suoni e musi he ottenuta da sistemi dinami i e rintra iabile al
Sistemapreda-predatore
Unsistemaparti olarmenteinteressanteequellorelativoaduepopolazioni
he interagis onotra loro (le prede e i predatori). Il omportamento del
sistemaeregolatodadueequazionidi erenziali[25℄:
8
<
: _ x
1
= k
1 x
1
1 x
1
k
2
k
3 x
1 x
2
_ x
2
= k
4 x
2 +k
5 x
1 x
2
(6)
Inquesto asolevariabilidistatosono x
1 ex
2
,ediparametridi ontrollo
sono k
1
;k
2
;k
3
;k
4
;k
5
e regolano il tasso di nas ita, di morte, di res ita,
et .,delleduepopolazioni. Nella gura4vengonorappresentatiduetipi di
traiettorie onvergentiversoduepunti ssiele orrispondentimelodie.
Figura 4: A sinistraletraiettorie onvergonoversoduepunti ssi. A destrale
orrispondentimelodie. Nelprimo asolamusi aprodotta onsisteinunamelodia
le uinotevariano i li amenteinaltezza la uidi erenzasi smorzaviavia he
isiavvi inaalpunto riti o. Nelse ondo asolenotetendonopiurapidamente
versoilpunto sso.
Lamusi a dal aos: sistemadi Lorenz
I sistemi dinami i possono avere piu di due variabili dipendenti o nell'e-
quazione (4) il tempo puo intervenire espli itamente rendendo il sistema
dinami ononautonomo. Inquesto asopossonomanifestarsistrutturefrat-
tali ome gliattrattori stranidella gura5a. An he musi almente si puo
manifestare questo aratteristi oandamento on la ripetizione di melodie
periodi he hesispostano, onsbalziimprovvisi,daunatonalitaadun'al-
tra.
Il omportamento aoti odei sistemidinami ihamolteinteressanti arat-
teristi he,tra ui unadelle piu rimar hevolielasensibilitaalle ondizioni
iniziali. Questosigni a hepurpartendodadatiinizialimoltoprossimi,il
omportamentodelsistemapuovariaremolto nellasuaevoluzione. Questo
il omportamento melodi o di tre dati iniziali di erenti per il sistema di
Lorenz.
Figura 5: A sinistra il lassi o attrattore stranopresentenel sistemametereo-
logi o diLorenz. A destra tremelodie ottenute inquesto sistemapartendo da
tredatiinizialivi ini. Sinoti omelemelodietendonoadivergeredopoun erto
tempo.
4 I sistemi auto-organizzati
GliAutomi Cellulari(CA) sonosistemidinami idis retiutili perindagare
la omplessitael'auto-organizzazionein sistemibiologi i earti iali. Essi
furonoinventatidavonNeumannneglianni'50perstudiarelariproduzione
e omprendere la\logi adella vita"[32℄. Pur regolati da sempli i me a-
nismidi evoluzione, danno luogo apattern estremamente diversi ati he
presentanostruttureregolari, ristallineenidi ateinal uni asieinmolti
altri asi presentanostrutture aoti he. Traquestidue asi estremisi pre-
sentano i CA on omportamento omplesso he rivestono un parti olare
interessepoi heevidenzianome anismidi auto-organizzazione onlapre-
senzadi strutture periodi he emobili, note ome glider [38℄. Moltiautori
hannotentatodi atalogareil omportamentodei CA;parti olarmentein-
teressanti sono i lavori di Wolfram [36℄, [37℄ dove vengono individuate 4
lassiprin ipalidiregoleperautomi ellulariuni-dimensionali. La lassi -
azionediWolframsibasasull'osservazionedeldiagrammaditransizionedi
statodelCA heeottenutodisegnandolasequenzadeglistatineltempoa
partiredauna ondizioneiniziale. Se ondoWolframleregole he odi ano
iCAappartengonoa4 ategorie:
1. regole heportanoil sistemaversounpunto sso;
2. regole heportanoil sistemaversoun i lolimite;
3. regole heportanoil sistemaversoun omportamento aoti o;
4. regole hegeneranostrutture \ omplesse"elo alizzate( gura6).
Abbiamosviluppatodiversitipi di odi idi musi azione, frai qualii piu
Figura6: Nella guraasinistrailpatterngeneratodaunautoma ellulare om-
plesso a partire daun dato iniziale asuale. Si notano varie strutture, tra ui
glider heviaggianoversosinistraeglider heviaggianoversodestra.Nella gura
di entroduegliderinteragenti heviaggianoversosinistra. Nella guraadestra
quattroglider heviaggianoversodestra.
a) Codi idimusi azionelo ale,attraversoiqualiepossibileleggereilCA
sito persito;
b) Codi i di musi azione globale, he odi ano la funzione di Input-
Entropyel'andamentodellepopolazionideiCA;
) Codi idimusi azionemista, heleggonoporzionidi on gurazionidei
CAo on odi ibinario on odi i olore.
I odi idimusi azionelo alesonomoltepli i[5℄. Quello hefornis eirisul-
tati piuinteressantieil odi e olore(vedi gura7). Ilpro essodimusi -
azioneoperanelmodoseguente: adognistatodell'automa orrispondeun
oloreper io he on ernelapartevisivaedunanotaper io he on ernela
parteuditiva;manmano he isispostadasinistraversodestraedall'alto
versoilbasso,vengonosuonatelenote orrispondenti. Ilrisultatoprodotto
daquestopro essosaratantopiuapprezzabilequantomaggioreeilnumero
dei valori dei siti del CA. Un limite dei pro essi di musi azione lo ale e
Figura 7: All'evoluzione diun CA orrisponde una sequenza numeri aodisiti
olorati. Il odi e olorestabilis euna orrispondenzatranotee olorionumeri.
Ilrisultatoprodottoeunamelodiala uiduratadellesingolenoteeuguale.
helaquantitadinoteprodotteinunpatternoporzionidipatternemolto
elevata(seneilnumerodisitietsonoipassitemporali,lenotediventano
grandi(sonostateindividuate parti elle onperiodosuperiorea150passi
temporaliedimensionespazialemaggioredi50siti)ilnumerodinote oin-
volte emolto elevato epertanto risultaestremamente omplesso ostruire
strutture sonore oerenti onil omportamento delle parti elle emergenti.
Perquesto abbiamo pensato di onsideraredelle grandezze globali da va-
lutare ad ogni passo temporale ed asso iare delle note musi ali a queste
grandezzenumeri heutilizzandoil modulo(vedi gura8).
Legrandezze he abbiamo onsideratosono l'input-entropy [38℄elepopo-
lazioni. In realta queste grandezze possono essere musi ate ontempo-
raneamenteprodu endo dellearmonie hein molti asi risultanopia evoli
da as oltare. Come abbiamo visto pre edentemente, la odi a musi ale
Figura8: Un pro essodimusi azioneglobale. Adogni passotemporaleviene
asso iatounnumero herappresentaunagrandezzaglobale,adesempioilnumero
di aselle olorate onundato oloreinunariga. Dividendoquestovaloreperil
numerodinote hepossonoesseresuonate(ades. 36 orrispondenteatreottave)
si determina ilresto; questo numero ompreso tra 0e 35individua quale nota
deveessereeseguita.
deve essere strutturata in modo tale da non distruggere la spontanea ed
emergente omplessita ontenuta nei patterns. I due pro essi di musi -
azionedes ritti in pre edenzagodonodi queste aratteristi heelavorano
sudue s ale di erenti: unaalivellodi singolo sito eduna alivellodi riga
(o passo temporale). Possiamo pensare pero a delle s ale intermedie he
ra olganogruppi disitisenzaarrivareall'interariga.
5 Gli autoriproduttori
A partire dai gia itati lavori di von Neumann [32℄, molti ri er atori si
sonointeressatialproblemadima hine ostrutture auto-repli anti. Molti
di questi lavorisono motivati dal desiderio di omprendere i prin ipi fon-
damentalidel pro essodell'informazioneeglialgoritmi oinvoltinell'auto-
repli azione,indipendentementedallalororealizzazione si a.Un ontribu-
tofondamentaleaquestoproblemaedovutoaLangton[19℄,ilqualeosserva
he sebbene e suÆ iente per l'autorepli azione, la apa ita di ostruzione
universale non e ne essaria. La ri er a sulle strutture on apa ita di
auto-riprodursipuoesseredivisainvarie ategorie[11℄
5
:
5
Un'ampiarassegnadiriferimentirelativia questaproblemati asonodisponibilisu
implementazionedi ostruttoriuniversaliseguendoleideeoriginalidi
vonNeumann;
ri er adisistemiminimi apa idi riproduzioninontriviali;
usodialgoritmigeneti iperlari er adisistemi on apa itadiauto-
riproduzioni.
Inunlavorore ente[11℄,utilizzando unalgoritmogeneti o[24℄, sonostati
trovatimoltiAutomiCellulari hepossiedonostrutture on apa itadiau-
toriprodursi. La osa rimar hevolee he tali autoriproduttori possiedono
simmetrie frattali e manifestano ritmi di res ita he possono essere op-
portunamente tradotti in musi a[9℄. Canoni e fughe, in questo ontesto,
si manifestano ome aratteristi he emergenti. Una galleria di immagini
e suoni relativamente a tali autoriproduttori e rintra iabile al seguente
indirizzohttp://galileo. in om.uni al.it.
6 La musi a evolutiva
L'idea di utilizzare on etti, metodi e strumentitipi i dellavita arti iale
pergeneraremusi ahadatovitaadunsettoreemergentenoto ome \Mu-
si a Evolutiva" [6℄. In questo ontesto la musi a viene automati amente
prodotta tramite al uni algoritmi basati sulla ripetuta appli azione di re-
goleefatta \evolvere"in modoopportuno utilizzando variepro edure he
ri hiamanolariproduzioneelaselezionenaturale.
Allabasedituttoesisteilproblemadi omeattraversoalgoritmigenerativi
possiamo reare artefattimusi ali. Inrealtasolo il ri orsoadunpro esso
analogoaquellodellaselezionenaturale i onsentiradiselezionarealgorit-
midiproduzioneepro essidimusi azioneutiliallaproduzionedimusi a.
Questoaspettorappresentail uoredella\musi aevolutiva"edilpro esso
di selezionepotraavvenireinvarimodi: daparte dell'artista hesi preo -
upera di selezionare e ri omporre le sequenze sonore prodotte in modo
opportuno;dapartedi gruppidias olto heesprimerannounavalutazione
sul risultato; da parte di regoleautomati he basate su funzioni di tness
heautomati amente opererannolaselezione. In[4℄edes rittounmetodo
evolutivoperprodurre automati amente delle musi he utilizzando le on-
sonanzeper ostruirefunzionidi tnesseselezionarelemusi hemiglioriin
ognigenerazione, hesarannofatteevolverenellagenerazionesu essiva.
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Unaseriediriferimentiinteressantiinquestosettorepossonoessererintra iatisulla
Spe ialSessionofLeonardoJournal(MITPress)\Geneti AlgorithmsinVisualArtand
Musi "vol.35-2and35-3,2002edaiseguentiindirizziInternet:
http://www.mi .atr. o.jp/rodney/AlifeMusi .htm
http://evonet.d s.napier.a .uk/eurogp2003/ evomusart.html
7 Con lusioni
Dasempreideenatenel ontestodelleteoriedella omplessitaedel aoshan-
noispiratolaproduzioneartisti a,presenteinvariemanifestazioni,tantoda
pre gurarequesto settore ome uno dei piu promettenti dell'arte ontem-
poranea. DiÆ ilmentesisfuggeall'apprezzamentodelleformeprodottedai
frattali heri hiamanoin tuttalalorobellezzaformeviventi,olestraordi-
narieimmaginiprodottedagliautomi ellulari. La aratteristi ape uliaredi
questeespressioni gra hee he,purnellaloro omplessita,sonoprodotte
da regolesempli i, ripetutamente appli ate. Il dualismo legato alla sem-
pli ita delle regole produttive ed alla omplessita e diversita delle forme
generate ri hiama immediatamente alla mente il rapporto tra fenotipo e
genotipo tipi odella vita e degli organismiviventi. In questo ontesto la
vita arti ialefornis e moltispunti di ri essionee di ispirazione. La pro-
duzionemusi ale hederivadaquestimodellimatemati i,puressendomeno
notaal grande pubbli o,risulta molto pia evole edensa di signi ato. In
un erto senso, ome abbiamo gia detto, essa puo essere onsiderata una
semanti adelleastrattestrutturematemati he. Adottando omemetafora
untriangolo di musi azione he onnette ad un verti e le on gurazioni
matemati heprodottedaivarimodelli,all'altroverti edi erentisistemidi
odi a,possiamo reareinnumerevolirappresentazionioartefattimusi ali,
allostessomodoin uioperaunlinguaggio.
Questo i onsentedi rearemusi aina ordoalleseguenti aratteristi he:
produttivitaemolteregolediproduzione
unin nito numerodiproduzioni
aratteregeneraleeastrattodelleproduzioni
arbitrarietadelle odi heedellerappresentazioni
moltitipidi semanti a ollegatiallerappresentazioni
moltepli itipologiediletture delle on gurazionimatemati he
esplorazionemusi aledi omportamentilo alieglobali
esplorazionedelledinami heevolutive.
Quindil'usodellete nologieedella omputazionesi ollo a ometerzopolo
idealetraMatemati aeMusi a,allargandolerelazioni lassi heemettendo
adisposizionenuovimetodiestrumentiperlaproduzioneartisti a.
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