Matteo Moda Geometria e algebra lineare
Spazi vettoriali
Uno spazio vettoriale è una struttura algebrica formato da un gruppo commutativo (V,+) i cui elementi sono vettori; da un campo K; da una funzione chiamata prodotto di uno scalare per un vettore con le seguenti proprietà:
Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma di vettori
Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma di scalari
Proprietà associativa del prodotto esterno
Identità: 1v=v
Dato , se kv=0 allora o k o v sono uguali a 0
Sottospazio vettoriale: Sia V uno spazio vettoriale di K e W incluso in V non vuoto. W si dice sottospazio di V se per ogni w appartenente a W e ogni k appartenente a K,
. Allora W è anche spazio vettoriale su K
Combinazione lineare di vettori: dato un vettore
. Allora v è combinazione lineare dei vettori vi mediante i coefficienti ai.
Vettori dipendenti/indipendenti: dati n vettori appartenenti a V(K) si dicono linearmente dipendenti se almeno uno di essi è combinazione lineare degli altri, in caso contrario si dicono linearmente indipendenti.
N vettori sono indipendenti se una combinazione lineare da il vettore zero solo con coefficienti tut nulli
Sottospazio generato da un insieme di vettori: Sia V uno spazio vettoriale su un campo K e S un sottoinsieme di V incluso in V. Se S è diverso da 0, l’insieme di tutte le combinazioni lineari di un numero finito di vettori appartenenti a S è un sottospazio W, che si dice generato da S. Si scrive W =
<S>. In caso contrario S = {0}
Insieme generatore/ Spazi finitamente generati: Sia V uno spazio vettoriale su un campo K, sia S incluso in V. S è un insieme generatore di V, se V = <S >. Se esiste S finito, con S incluso in V, con V
=<S>., V si dice finitamente generato
Dato uno spazio vettoriale V su un campo K, l’intersezione di due sottospazi U e W di V è un sottospazio vettoriale di V
Sia V uno spazio vettoriale su K. La somma di due sottospazi U, W di V è l’insieme:
. Se l’intersezione di U e W è nulla parleremo di somma diretta ( )
