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Attrito e paradossi ? ? ?

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Academic year: 2021

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5.97. ATTRITO E PARADOSSI? ? ?

PROBLEMA 5.97

Attrito e paradossi ? ? ?

I risultati del problema 5.96 sembrano condurre a delle situazioni paradossali. In par- ticolare, per certi valori del coefficiente di attrito dinamico µ il sistema può acquistare energia nell’urto (∆E > 0) e il cuneo può iniziare a muoversi nella direzione da cui proviene il proiettile. Mostrate (se possibile) che queste situazioni paradossali non si verificano, se il modello usato per la forza di attrito è ragionevole.

Soluzione

Riprendiamo dall’esercizio precedente i due risultati “incriminati”. Il primo riguarda la velocità del cuneo immediatamente dopo l’urto, che riscriviamo nella forma

Vx(t) =2v0 sin α cos α(tan αµ)

M

m +sin α cos α(tan αµ) (5.97.1) e il secondo la variazione dell’energia durante il medesimo

∆E= −1

2µM1I2(tan αµ)cos2α

Se µ< tan α non succede niente di particolare. Al contrario se µ>tan α durante l’urto apparentemente si ha sempre∆E>0, inoltre se

Mm <sin α cos α(tan αµ) <0

si trova anche Vx <0.

Per risolvere il paradosso osserviamo che nell’esercizio precedente le equazioni sono state scritte utilizzando due assunzioni implicite:

1. la velocità del cuneo Vxè positiva: in caso contrario la forza di attrito cambia segno 2. la reazione normale del piano è positiva: in caso contrario il cuneo si stacca da

terra

Affinchè la seconda assunzione sia consistente, è necessario che R(t) >0, come segue dalla quarta equazione delle (5.96.1). In particolare deve essere I >0, ma dato che

I = M 2Mv0sin α

m +sin α cos α(tan αµ) questo esclude i casi in cui

sin α cos α(tan αµ) <−Mm

283 versione del 22 marzo 2018

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5.97. ATTRITO E PARADOSSI? ? ?

Tolta questa possibilità, avremo∆E<0 se Vx >0 e∆E>0 se Vx <0.

Possiamo chiederci cosa accade in realtà se le nostre equazioni predicono Vx < 0.

Dato che abbiamo supposto, per evitare di considerare l’attrito statico, che la velocità iniziale del cuneo fosse molto piccola ma positiva, abbiamo che se µ>tan α il cuneo si ferma per un istante durante l’urto. In questo caso non possiamo più trascurare l’attrito statico, e dobbiamo capire se a causa di questo il cuneo rimane fermo. In effetti questo avverrà se

Fa+R sin α=0 cioè se

R sin α<µsR cos α ossia per

tan α>µs

Ma dato che µs > µpossiamo concludere che quando tan α> µil cuneo sarà in realtà fermo dopo l’urto.

284 versione del 22 marzo 2018

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