3.8 - ATTRITO STATICO e DINAMICO

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3.8 - Attrito Radente

Nel movimento di un corpo su una superficie SCABRA o attraverso mezzi viscosi (aria,acqua) vi `e una resistenza al moto dovuta all’interazione del corpo con la superficie. Tale interazione `e detta forza di ATTRITO. Sup- poniamo ad esempio di avere il blocco M poggiato su un piano orizzontale.

Se applichiamo una forza F, il cui modulo aumenta progressivamente, troviamo che occorre arrivare ad un certo valore di forza fS,max prima di sbloccare l’oggetto. Quindi fintanto che F ≤ F^S,max si manifesta una forza di attrito ~fS = − ~F, che chiamiamo ATTRITO STATICO, e si ha che F~ + ~fS = 0 ⇒ ~a = 0 per cui l’oggetto rimane fermo. Superando il valore limite fS,max dell’attrito statico, riusciremo a smuovere il blocco ma avremo ancora la presenza di una resistenza che rallenta il moto. Lo possiamo verificare ad esempio rimuovendo la forza F: si osserva che il blocchetto si ferma immediatamente. Se volessimo mantenere almeno un moto rettilineo uniforme occorre bilanciare la forza di attrito con una forza esterna F~ext. Se otteniamo questo bilanciamento (~v= cost ⇒ ~a = 0 ⇒PF~i= 0) avremo che ~f_D+ ~Fext = 0 ⇒ ~f_D = − ~Fext. Parleremo in questo caso di attrito dinamico.

L’attrito a livello microscopico `e dovuto ai legami (sono delle vere e pro- prie microsaldature) che si instaurano tra i corpi a contatto. Per vincere tali legami `e necessaria una forza che stira e rompa tali legami (e questo spiega

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Nicola GigliettoA.A. 2013/14

la minima forza necessaria a iniziare il moto) i quali per`o si riformano conti- nuamente ad ogni contatto con le asperit`a (con questo spieghiamo l’attrito dinamico). Ne deduciamo che:

L’attrito è proporzionale alla effettiva superficie di contatto e poichè la superficie di contatto dipende dalle forze normali alla superficie (più comprimiamo l’oggetto verso la superficie tanto maggiore sarà la superficie di contatto microscopica) allora deve aversi fatt∝ N indicando con N la componente normale delle forze agenti.

3.8 - ATTRITO STATICO e DINAMICO

ATTRITO STATICO

Troviamo che la forza di attrito èfS≤ f^S,max= µSNe parallela alla superficie. Significa che se la componente lungo la superficie delle forze agenti è F ≤ f^S,maxsi ha ~fS= − ~F che da risultante nulla (non si ha moto). Il valore massimo di fS è proporzionale alla componente normale ed il coefficiente µS

`e detto coefficiente di attrito statico.

ATTRITO DINAMICO

Troviamo che la forza di attrito `e fd = µdN e parallela alla superficie ed inoltre si ha f_d≤ fS.

3.11 Moto in mezzi viscosi

Quando un corpo si muove in un fluido (liquido o gas) il mezzo oppone una forze di resistenza che si oppone al moto relativo. La forza risultante è in genere una funzione della velocità ~F = −b~v ed è opposta al moto. L’espe- rienza mostra che il moto nei mezzi viscosi può anche essere più complesso:

ad esempio quando un oggetto si muove nell’aria con una velocità abba- stanza grande da produrre moti turbolenti nell’aria, si trova che la forza di resistenza dell’aria è D = ¹₂CρAv², con A l’area efficace della sezione tra- sversale dell’oggetto e ρ la densità dell’aria. La cosa che si può prevedere

`e che all’aumentare della velocit`a aumenta la forza di attrito sino a quando

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annullerà la forza attiva. In questa situazione finale avremo che il moto prosegue con velocità costante (a=0) che viene chiamata velocità limite come mostra la figura in un esempio.

tt

tt F

F

v v

Figura 1: Esempio di moto in mezzo viscoso: andamento con il tempo dell’accelerazione (in alto) e della velocit`a (in basso)

3.11-forza attrito viscosa (caduta libera nell’aria)

Deriviamo formalmente il moto in questa sezione. La forza F assumiamo sia ~F = −b~v Supponiamo di trattare il moto di caduta verticale del grave nell’aria che parte da fermo. Avremo −mg + bv = −ma = −m^dv_dt da cui

dv

dt = g − b

mv = g − kv ⇒ dv

g − kv = dt ⇒ Z v

0

dv g − kv =

Z t 0 dt ⇒ lng − kv

g = −kt ⇒v(t) = g

k(1 − e^−kt)

3.10 - Molla e forze elastiche

F

La figura in alto mostra una molla a riposo. Se la allun- ghiamo (figura centrale) la molla esercita una forza di richiamo che tende a

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riportare la molla verso la sua posizione a riposo. Analogamente se invece comprimiamo la molla essa reagisce esercitando una forza repulsiva (foto in basso). In definitiva troviamo che la forza dipende dalla posizione e speri- mentalmente si trova che la forza esercitata dalla molla è ~F = −kxû_xdetta Legge di Hooke. Il segno meno evidenzia che la forza ha sempre verso opposto allo spostamento. La costante k è detta costante elastica della molla.

3.10 Forze elastiche e molle

Consideriamo di nuovo il blocchetto di massa M legato ad una molla che ha uno estremo vincolato (vedi figura prec). Abbiamo che spostando di un tratto x il blocchetto esso sar`a soggetto ad una forza di richiamo F =

−kx e per la 2â Legge della Dinamica di deve avere F = −kx = Ma da cui a = −M^kx e chiamando ω² = _M^k troviamo a = −ω²x che in base a quanto detto nel capitolo 1.16 significa che il moto risultante saràarmonico sempliceovvero risulterà che la posizione x(t) avrà una legge del tipo x(t) = xMsin(ωt + φ) essendo in questo casoω =

q k

M e di conseguenza il periodo di oscillazione sar`a T = ^2π_ω = 2πq

M k

φ ω t+

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x(t)

-1 -0.5 0 0.5 1 cos(x)

Esempio 3.13

Un carrello sale lungo un piano inclinato di 20^◦ con accelerazione costante a1 = 2m/s². Sul carrello si trova un corpo di massa m=0.25kg, fissato ad una parete del carrello tramite una molla di costante elastica k=12N/m.

Non ci sono attriti e oscillazioni. Calcolare di quanto si allunga la molla e in che verso, e verificare cosa cambia se l’accelerazione a2= 5m/s² ma verso il basso

Il blocchetto, date le condizioni, si muover`a di moto uniformemente acce- lerato: kx − mg sin θ = +ma ⇒ x = ^m_k(a1+ g sin θ) = 0.111 m ¡3¿Nell’altro

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caso cambia il segno dell’accelerazione ma l’accelerazione complessiva `e co- munque a2 > g sin θ quindi forza peso ed elastica sono ancora concordi:

−kx − mg sin θ = −ma ⇒ x = ^mk(a2− g sin θ) = 0.034 m 3.12 - Dinamica e Moto circolare uniforme

3.12 - Dinamica e Moto circolare uniforme

Abbiamo visto nella cinematica che un corpo che percorre una circonferenza di raggio R a velocit`a costante `e soggetto ad una accelerazione centripeta pari ad ac = ^v_R². Vediamo esempi di tali moti in dinamica. Esempio 1:

Moto in automobile, percorrendo una curva. a=ac ⇒ Per il 2^◦principio l’accelerazione è causato da una forza F = Ma = Mac = M^v_R² Tale forza, diretta come l’accelerazione, è detta centripeta. (nell’esempio è dovuta all’attrito tra la strada ed i pneumatici) Esempio 2 Pallina legata ad un filo ed in rotazione (fionda) La pallina segue ancora un moto rotatorio fino a quando non si lascia il filo. A questo punto la pallina prosegue di moto rettilineo ed uniforme. In questo esempio è il filo stesso che esercita una forza (tensione) che mantiene il moto circolare uniforme: T = Mac= M^v_R² Questi 2 esempi evidenziano che le forze centripete accelerano i corpi variando solo la direzione della velocità e non il modulo.

Verifiche

La forza di attrito statica ha espressione:

[¡+-—alert@+¿]0 µsM g µsN ≤ µ^sN La 4) `e quella giusta

1 Problema 6.7

Problema 6.7

Nel 1901 un acrobata di un circo si lanci`o nel numero del giro della morte in bicicletta su una pista circolare verticale. Assimiliamo la pista ad un

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N P

cerchio di raggio R=2.7 m, qual’è il minimo valore che deve raggiungere la velocità v della bicicletta per rimanere in contatto nel punto più in alto della pista?

Considerando la dinamica del punto materiale nel punto più in alto della pista, si deve avere: −N − mg = −ma quindi (vedi figura) in quel punto sia la reazione normale N della pista che la forza peso sono dirette verso il basso. Ma la pista è una circonferenza e la accelerazione in quel punto è solo centripeta quindi a = v²/R da cui otteniamo cheN = −mg + mv²/R.

C’`e inoltre da notare che se N=0 si ha una mancanza di contatto quindi N ≥ 0 ⇒ −mg + mv²/R ≥ 0 da cui v²/R ≥ g ⇒ v ≥√

R · g = 5.1m/s la velocit`a minima `e proprio v =√

R · g = 5.1 m/s

Parte I

Esercizio 6.9

Un auto di massa M=1600Kg viaggia con velocità costante v=20m/s su una pista circolare di raggio R=190m. Qual’è il minimo valore di coefficiente di attrito statico µs tra pneumatici e strada che impedisce all’auto di slittare? Quando la forza centripeta non è bilanciata dallaforza d’attrito si hanno le condizioni per un moto relativo (radiale) rispetto la circonferenza, ovvero comincia uno scostamento dalla traiettoria circolare.

La condizione che cerchiamo `efs,max= µ_sN = ma_c= m^v_R² quindi µsm/ g = m/^v_R² ⇒ µ^s= _Rg^v²

3.13 Pendolo semplice

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P m

T θ

x L y

2 3.13 Pendolo semplice

Un oggetto di massa m è fissato tramite una fune come in figura. Costruia- mo il digramma delle forze agenti sul punto materiale non appena l’oggetto è spostato dalla posizione di equilibrio che è la verticale. Le forze agenti sono la tensione del filo ~T e la forza peso ~P. Scegliamo un sistema di riferimento con l’asse x tangente all’arco descritto dall’oggetto (se lasciato libero) e y come in figura. La 2âLegge ci dice cheT~ + ~P = m~ache possiamo scomporre lungo gli assi ovvero come componenti normali e tangenziali: comp. tangenziale (x) : −mgsinθ = maT comp. normale (y) : T − mgcosθ = mac(a_c è l’accelerazione centripeta) La seconda equazione diventa T = mgcosθ + m^v_L² Dalla prima si ricava invece il tipo di moto: ricordiamo che nel moto circolare vario l’accelerazione tangenziale è a_T = αR = R^dω_dt = R^d_dt²2^θ otteniamo (nel nostro caso L=R): −gsinθ = L^d_dt²²^θ e quando sono piccole oscillazioni sin θ ≃ θ ⇒ L^d_dt²^θ2 = −gθ ⇒ ^d_dt²²^θ = −_L^gθ che è l’eq. diff. del moto armonico. Alternativa per la dim. Per piccoli angoli sinθ ≃ θ ≃ _L^s, s è la lunghezza dell’arco; inoltre l’accelerazione tangenziale si può scrivere come a_T = ^d_dt²2^s. Riscrivendo la prima componente diventa −g_L^s = m^d_dt²2^s e riag- giustando i termini: ^d_dt²2^s +_L^gs = 0 che è la stessa eq. differenziale (quindi stessa soluzione e parametri di prima) rispetto alla variabile “s” In definitiva otteniamo l’eq. di un moto armonico nel quale ω² = _L^g ⇒ ω =q

g L

e la posizione sar`a θ(t) = θ0sin(ωt + φ) oppure s(t) = s0sin(ωt + φ) Il periodo di oscillazione quindi `e T = ^2π_ω = 2πq

L

g Il periodo di oscillazione del pendolonon dipendedalla massa dell’oggetto appeso alla fune ma solo dalla lunghezza della fune (e da g) N.B. Attenzione a non confondere la ω pulsazione del moto armonico con la velocità angolare ω del moto circolare (c’è un collegamento tra le due come abbiamo visto ma sono due grandezze differenti anche come unità di misura).

Verifiche

Quale affermazione delle seguenti `e l’unica corretta?

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Nicola GigliettoA.A. 2013/14 2 3.13 PENDOLO SEMPLICE

[¡+-—alert@+¿]Il periodo di oscillazione del pendolo è proporzionale alla massa Il periodo di oscillazione del pendolo è linearmente dipen- dente dalla lunghezza del filo Il periodo di oscillazione del pendolo dipende dalla lunghezza del filo Il periodo di oscillazione del pendolo dipended da k/m La 3) è quella giusta