MECCANICA RAZIONALE ING. MECCANICA prof. Daniele Andreucci Prova a distanza del 11/06/2020
1. Un cubo di massa m e spigolo L è vincolato a muoversi di moto polare con polo nel suo centro G, che occupa l’origine O del sistema di riferimento fisso. Siano A e B due vertici opposti del cubo (ossia estremi di una diagonale del cubo).
Sul cubo sono applicate le forze, nei punti indicati,
FA= αu , FB = β
−−→AB
|−−→
AB| × u ,
ove u è un versore solidale ortogonale alla diagonale −−→AB, e α, β costanti positive.
Il cubo parte da fermo.
Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere.
1)[a1] Esiste una costante C > 0 tale che
T (t) ≤ C , per ogni t ≥ 0.
2)[a2] Il moto è una rotazione.
3)[a3] L’ellissoide d’inerzia in G si mantiene tangente a un piano fisso durante il moto.
Soluzione 1. N
Scriviamo il sistema delle equazioni di Eulero; scegliamo il sistema di riferimento solidale con origine in G e terna
u1= u , u2= u3× u1, u3=
−−→AB
|−−→
AB|. Allora si vede subito che
MextG = −
√3L
2 u3× αu1+
√3L
2 u3× βu2= −
√3L 2 αu2−
√3L 2 βu1. Quindi le equazioni di Eulero in G sono
I11˙ω1= −
√3L 2 β , I11˙ω2= −
√3L 2 α , I33˙ω3= 0 .
Dunque ω3(t) = 0 per ogni t e
ω(t) = −
√3L 2I11βtu1−
√3L 2I11αtu2. Perciò ω non si mantiene limitato e T = σω · ω/2 neanche.
2. S
Per il calcolo al punto precedente, ω ha direzione costante nel sistema solidale e quindi anche in quello fisso.
3. S
L’ellissoide d’inerzia in G è una sfera, quindi l’affermazione è ovviamente vera, basta prendere un piano fisso a distanza da G pari al raggio della sfera.
2. Un punto materiale P di massa m è vincolato con vincolo scabro al piano
x1+ x3 = 0 , e soggetto alla forza
F = −αx1e1− βx2e2, con α > 0, β > 0 costanti.
La reazione vincolare soddisfa le usuali ipotesi di Coulomb-Morin con
|ftanvin| = µ|fnorvin| ,
µ > 0 costante. Si assuma che la velocità non sia nulla.
Si usino come coordinate lagrangiane (x1, x2) ∈ R2. Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera.
4)[b1] Tutti i moti sono limitati.
5)[b2] Esistono moti su cui di fatto ftanvin = 0.
6)[b3] Se il moto parte con condizioni iniziali
x1(0) = 0 , x2(0) = 1 , ˙x1(0) 6= 0 , ˙x2(0) = 0 , si ha x2(t) = 1 per ogni t.
Soluzione 1. S
La forza ha il potenziale
U (x1, x2) = −α 2x21−β
2x22. Quindi lungo un moto
α 2x21+β
2x22≤ T − U ≤ T (0) − U(x1(0), x2(0)) , ove la disuguaglianza è giustificata da
d
dt[T − U] = ma · v − F · v = ftanvin · v ≤ 0 .
2. S
Per la legge di Coulomb-Morin, questo accade se e solo se fnorvin = 0, il che a sua volta è equivalente, visto che il moto si svolge su un piano e a quindi non ha componente ortogonale, a
F · ν = (−αx1e1− βx2e2) · e1+ e3
√2 = − α
√2x1= 0 .
Quindi è vero per i moti che si svolgono sull’asse x2, che sono in effetti possibili con le opportune condizioni iniziali.
3. N
Basta mostrare che ¨x2(0) 6= 0:
m¨x2(0) = ma · e2= F (x1(0), x2(0)) · e2+ fvin(0) · e2= −β 6= 0
perché e2 è tangente al piano, e all’istante iniziale ftanvin è (come al solito) diretta come la velocità, ossia perpendicolarmente a e2.
3. Consideriamo un moto unidimensionale m¨x = U′(x) , x ∈ R , con U ∈ C∞(R).
Con riferimento al diagramma delle orbite nel piano delle fasi, dire se cia- scuna delle seguenti affermazioni può essere vera.
7)[c1] Il punto x = 0 è di equilibrio stabile, e le curve p = ±r 2
m(E + U (x)) ,
per una certa costante E, coincidono in un intorno di (0, 0) con le due rette p = ±x.
8)[c2] Un’orbita corrisponde al moto x(t) e corrisponde anche a tutti i suoi traslati temporali x(t + c) con c costante.
9)[c3] Un’orbita non periodica può contenere punti ove ˙x ha segni diversi.
Soluzione 1. N
Le orbite non possono veramente incrociarsi (per l’unicità), ma se le curve dette si incrociano, lo fanno in un punto di equilibrio instabile.
2. S Infatti
d
dtx(t + c) = ˙x(t + c) .
Quindi le orbite coincidono con quella (x(t), ˙x(t)) anche se l’intervallo dei tempi può cambiare.
3. S
Basta solo che abbia un punto di inversione.
4. Un punto materiale è soggetto a vincoli olonomi fissi e a forze conservative. La lagrangiana è L = Tl+ Ul, con
Tl= α ˙ϕ2+ 2(α + β) ˙ϕ ˙θ + β2˙θ2, Ul= −αϕ2− β2θ2+ βθ4.
Qui α, β sono costanti e (ϕ, θ) ∈ R sono le coordinate lagrangiane.
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è compatibile con le definizioni date sopra e le proprietà che ne seguono.
10)[d1] Si può prendere α + β = 0, purché α > 0.
11)[d2] Si possono prendere alcuni valori α > 0, β > 0 e in modo tale che in (ϕ, θ) = (0, 0) si possono definire le piccole oscillazioni.
12)[d3] Per i valori α > 0 e β > 0 (se sono ammissibili), esiste una unica posizione di equilibrio.
Soluzione 1. S
L’unica cosa da controllare è che la forma quadratica di Tlsia definita positiva; la matrice associata, a parte un fattore 2, è
α α + β
α + β β2
. Se α = −β > 0 questa è definita positiva.
2. S
Il determinante della matrice dell’energia cinetica è αβ2 − (α + β)2; quindi per esempio se α = β ≫ 1 il determinante è positivo e la matrice è definita positiva.
In (0, 0) il potenziale ha un massimo isolato, con matrice hessiana definita negativa, quindi si possono definire le piccole oscillazioni.
3. N
Per i valori dati, il sistema dell’equilibrio è
∂ Ul
∂ϕ = −2αϕ = 0 , ∂ Ul
∂θ = 2βθ(−β + 2θ2) , che ha soluzioni (0, 0), (0, ±pβ/2).
5. Una lamina quadrata è vincolata a muoversi di moto polare intorno al suo centro G, con vincolo liscio.
Si sa che il momento delle forze esterne di polo G soddisfa in ogni istante MextG = α(u · ω)ω ,
ove α > 0 è una costante e u è un versore solidale alla lamina. Si assuma ω(t) 6= 0 per ogni t.
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera.
13)[e1] Il momento delle quantità di moto LG si conserva durante il moto.
14)[e2] Se u · ω = |ω| per ogni istante, il moto è una rotazione.
15)[e3] Se per t = 0, ω(0) è ortogonale alla lamina, e u è parallelo alla lamina, il moto è una rotazione.
Soluzione 1. N Si sa che
dLG
dt = MextG = α(u · ω)ω , che in genere non si annulla.
2. S
Poiché u è un versore, la condizione data implica che ω sia ad esso parallelo per ogni tempo, ossia abbia direzione costante nel sistema solidale; è noto che questo implica che ω abbia direzione costante anche nel sistema fisso, e quindi il moto è una rotazione.
3. S
Se prendiamo un sistema di riferimento solidale con origine in G e u3ortogonale alla lamina, allora all’istante iniziale ω è parallelo a u3, e u gli è ortogonale. Poiché u3 è un asse principale, l’ipotesi che ω si mantenga parallelo a u3 conduce a ω costante (dalle equazioni di Eulero), quindi l’ipotesi fatta è verificata (unicità di soluzioni) e il moto è una rotazione.
6. Consideriamo un punto materiale P di massa m vincolato con vincolo liscio a una superficie S con parametrizzazione regolare r ∈ C∞(Q), Q ⊂ R2. Si prendano (u, v) ∈ Q come coordinate lagrangiane.
Sul punto agisce la forza posizionale F (x).
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera.
16)[f1] Sia F ovunque nulla; sia X(t) = ψ(s(t)) un moto di P con traiet- toria ψ(s) parametrizzata dall’ascissa curvilinea s. Se T , N, B è la terna intrinseca della traiettoria, l’accelerazione a è parallela a N .
17)[f2] Sia S una sfera, e F abbia direzione costante; allora esistono dei punti di equilibrio.
18)[f3] È possibile definire il potenziale lagrangiano solo se F è conservativa (in senso tradizionale).
Soluzione 1. S
Si ha mettendo insieme tutta l’informazione:
ma = m(¨sT + ˙s2kN ) = F + fvin= fvin, e poic´he fvin è normale a S e quindi a T , deve essere ¨s = 0.
2. S
I punti di equilibrio coincidono con le soluzioni di F + fvin = 0, ossia con i punti ove F ha direzione radiale; questi esistono senz’altro (e sono 2 se F non si annulla).
3. N
Prendiamo per esempio S il piano x3= 0 e F = αx2x3e1.
7. Un punto materiale P di massa m è soggetto al campo di forze F(x) = α cos(βx · x) x
|x|, x6= 0 , con α > 0, β > 0 costanti.
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera.
19)[g1] Esistono moti rettilinei.
20)[g2] Vale la conservazione dell’energia lungo tutti i moti di P .
21)[g3] Supponiamo che X(0) = Re1, ˙X(0) = ce2, con R > 0, c > 0. Allora X˙ non si annulla mai.
Soluzione 1. S
La forza ha direzione radiale e l’affermazione segue da un noto teorema. In sostanza sono quelli per cui la velocità iniziale ha direzione radiale.
2. S
Si sa che una forza a direzione radiale è conservativa se e solo se la sua componente scalare dipende solo da |x|, e questo vale nel nostro caso.
3. S
Per la conservazione della velocità areolare, questo è l’unico caso possibile.
8. Si consideri un sistema di riferimento mobile S = (XO, M) con M di velocità angolare ω(t) rispetto alla terna fissa. Assumiamo che ω(t) 6= 0 per ogni t.
Ricordiamo la definizione del campo della velocità di trascinamento di S, Vt(x, t) = vO(t) + ω(t) × (x − XO(t)) .
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera.
22)[h1] Supponiamo t fissato; si può considerare R3 come unione di rette su ciascuna delle quali Vt(x, t) è costante.
23)[h2] Nelle rotazioni, Vt(x, t) è indipendente da t.
24)[h3] Per ogni t fissato, esiste sempre almeno un punto ove Vt(x, t) = 0.
Soluzione 1. S
Infatti se x1− x2= λω(t), Vt(x1, t) = Vt(x2, t).
2. N
Certamente non se la rotazione non è uniforme.
3. N
Se per esempio vO(t) 6= 0 e ω(t) sono paralleli, allora Vt(x, t) 6= 0 per ogni x.
