Specificare quali delle seguenti affermazioni è vera

School of Economics and Management Prova Intermedia di Statistica

Nome_____________________Cognome_________________________Matr. ______________

Per ogni quesito, va barrata con una “X” la lettera associata alla risposta ritenuta corretta. In caso di errore è possibile effettuare la correzione cerchiando la lettera associata alla risposta ritenuta erroneamente corretta.

Ogni risposta corretta vale 1 punto. La dimostrazione vale 2 punti se svolta correttamente. Per superare la prova è necessario rispondere correttamente ad almeno 3 quesiti di teoria ed ottenere un punteggio complessivo pari ad almeno 8.

TEORIA

(per superare la prova è necessario rispondere correttamente ad almeno 3 quesiti)

1. Si consideri una distribuzione per classi. Indicare quale delle seguenti affermazioni risulta vera a) è necessario che gli intervalli considerati abbiano sempre tutti la stessa ampiezza

b) gli intervalli considerati possono essere tutti aperti a destra e chiusi a sinistra oppure tutti aperti a sinistra e chiusi a destra c) è necessario che la frequenza associata a ogni intervallo sia sempre la stessa

d) la sua rappresentazione grafica corretta è il grafico a nastri

e) le informazioni contenute in tale distribuzione sono del tutto equivalenti a quelle ottenute sulla collettività al momento della rilevazione

2. Specificare quali delle seguenti affermazioni è vera.

a) per la costruzione del box-plot si utilizzano esclusivamente la media e la varianza b) mediante il box-plot non si riescono ad individuare i valori anomali

c) a seconda degli indici di posizione e di variabilità scelti si possono creare vari tipi di box-plot d) per la costruzione del box-plot si utilizzano soltanto indici di variabilità

e) per la costruzione del box-plot si utilizzano soltanto indici di posizione

3. Indicare quale fra le seguenti affermazioni, relative ad una tabella a doppia entrata in condizione di interdipendenza perfetta, risulta vera

a) in ogni riga e in ogni colonna della tabella esiste una sola frequenza congiunta maggiore di zero b) le distribuzioni condizionate sono tutte uguali fra di loro e uguali alla distribuzione marginale c) il coefficiente di determinazione lineare risulterà pari a zero

d) il coefficiente di determinazione lineare risulterà pari a uno

e) la frequenza congiunta è uguale al prodotto delle frequenze marginali diviso per la numerosità complessiva

4. Data una tabella a doppia entrata, si indichi quale fra le seguenti affermazioni risulta falsa a) la media delle medie condizionate di Y è uguale alla media di Y

b) la varianza complessiva della Y può essere scomposta nella somma della varianza delle sue medie condizionate più la media delle sue varianze condizionate

c) la varianza delle medie condizionate viene chiamata varianza spiegata d) la media delle varianze condizionate viene chiamata varianza residua

e) se il rapporto di determinazione lineare fra X e Y è pari a zero anche il rapporto di correlazione ²_y|x risulterà pari a zero

5. Individuare quale affermazione risulta vera: dati due eventi A e B per i quali risulta P(AB) > P(A) si può concludere che a) i due eventi sono indipendenti

b) i due eventi sono incompatibili c) P(BA) = 0

d) P(BA) = P(A)P(B)

e) P(A)

) B ( P

) B A (

P  

ESERCIZI 6. Data la seguente distribuzione per classi

x Frequenze relative cumulate

2 − 3 0.5

3 − 5 0.8

5 −10 1.0

L’istogramma corrispondente è costituito da 3 rettangoli le cui altezze, da sinistra a destra, sono rispettivamente pari a a) 0.25; 0.30; 0.05 b) 0.50; 0.80; 1.00 c) 0.25; 0.40; 0.50

d) 0.50; 0.15; 0.04 e) 0.50; 0.30; 0.20

7. Data la seguente distribuzione per classi individuare quale delle seguenti affermazioni è vera Classi Frequenze assolute

-2 − 0 20

0 − 5 40

5 − 10 10

10 − 13 30

100

a) la classe modale è 0 − 5 c) la moda è pari a 5 c) la classe modale è 10 − 13 d) esistono due classi modali: la prima e l’ultima e) la moda è pari a 10

8. Data la seguente sequenza di valori relativa ad una variabile quantitativa discreta

1.2 1.3 1.3 1.5 1.7

calcolare il coefficiente di variazione

a) CV = 0.0229 b) CV = 0.032 c) CV = 1.4

d) CV = 0.2720 e) 0.1278

9. Data la seguente tabella a doppia entrata

X\Y 0 2 3

0 5 10 15 30

1 5 5 10 20

10 15 25 50

calcolare la media delle varianze della variabile Y|x (ossia delle distribuzioni di Y condizionate a X) a ) 1.29 b ) 1.3194 c) 0.007 d) 1.283 e) 0

10. Data la seguente tabella a doppia entrata

X\Y 0 1 2

1 0 0 4 4

2 0 2 6 8

3 4 2 2 8

4 4 12 20

il valore dell'indice chi-quadrato risulta pari a

a) 0.38 b) 0.00 c) 30.00 d) 10.00 e) 7.50

11. Date le seguenti informazioni ottenute su una collettività sui cui individui sono state rilevate le due variabili quantitative X e Y

64

; 25

; 40

; 20

;

5 = =− ² = ² =

= y s_xy s_x s_y

x individuare quale dei seguenti risultati è corretto

a) R_xy² =1.000 b) R_xy² =0.025 c) R_xy² =−1.000 d) R_xy² =−0.025 e) R_xy² =0.500

12. Si consideri un'urna che contiene 5 palline bianche e 15 nere ed una seconda urna che contiene 50 palline bianche e 50 nere.

Dato un esperimento che consiste nell'estrarre una pallina da ciascuna urna, la probabilità che si ottengano due palline dello stesso colore risulta pari a

a) 0.750 b) 0.500 c) 0.125 d) 1.000 e) 0.375

13. Si lanci un dado truccato in modo che la faccia con un punto abbia probabilità doppia di verificarsi delle altre. Sia E1 l'evento che si verifica se esce una faccia con un numero dispari di punti e sia E2 l'evento che si verifica se esce una faccia contrassegnata da tre punti. Calcolare P(E1E2 ).

a) 4/49 b) 2/7 c) 1/6 d) 1/7 e) 2/6

SOLUZIONI

TEORIA 1)b

2)c 3)a 4)e 5)e 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵) > 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) > 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐵) > 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴|𝐵) > 𝑃(𝐴)

ESERCIZI

6) d) 0.50; 0.15; 0.04

x Frequenze relative Densità

2 − 3 0.5 0.50

3 − 5 0.3 0.15

5 −10 0.2 0.04

7) d) esistono due classi modali: la prima e l’ultima

Classi Frequenze relative densità

-2 − 0 0.2 0.10

0 − 5 0.4 0.08

5 − 10 0.1 0.02

10 − 13 0.3 0.10

8) e) 0.1278

m = 1.4 m2 = 1.992 s² = 0.032

9) d) 1.283 𝑦̅₀=²⁰⁺⁴⁵

30 = 2.16̅ 𝑦̅₁ =¹⁰⁺³⁰

20 = 2

𝑠_𝑦|0² =^40+9×15₃₀ − 2.16̅²= 1.138̅ 𝑠_𝑦|1² =²⁰⁺⁹⁰₂₀ − 4² = 1.5

𝑠𝑤2 =1.138̅ × 30 + 1.5 × 20

50 = 1.283̅

10) d) 10.00 𝜒²= 20 ( 4²

12 × 4+ 2²

4 × 8+ 6²

12 × 8+ 4²

4 × 8+ 2²

4 × 8+ 2²

12 × 8− 1) = 10

11) a) R_xy² =1.000

𝑅²= 𝑠_𝑥𝑦²

𝑠_𝑥²𝑠_𝑦²= (−40)² 25 × 64= 1

12) b) 0.500

𝑃(𝐵₁) × 𝑃(𝐵₂) + 𝑃(𝑁₁) × 𝑃(𝑁₂) = 5 20× 50

100+15 20× 50

100= 0.5 13) d) 1/7

𝐸₁ = {𝜔₁, 𝜔₃, 𝜔₅} 𝐸2= {𝜔3}

𝐸₁∩ 𝐸₂= {𝜔₃} 𝑃{𝜔₁} = 2𝑝

𝑃{𝜔₂} = 𝑃{𝜔₃} = 𝑃{𝜔₄} = 𝑃{𝜔₅} = 𝑃{𝜔₆} = 𝑝

∑ 𝑃{𝜔_𝑖}

6

𝑖=1

= 1 7𝑝 = 1 𝑝 =1

7

𝑃(𝐸₁∩ 𝐸₂) = 𝑃{𝜔₃} =1 7