I prova di esonero di Fisica Matematica I per il corso di laurea in Matematica 6 Maggio 2005

I prova di esonero di Fisica Matematica I per il corso di laurea in Matematica

6 Maggio 2005

Si considerino i moti rettilinei di un punto materiale di massa m = 1 soggetto all’equazione

¨

x = − d U d x dove l’energia potenziale `e definita come segue

U (x) = ax

+ bx

+ cx

.

(1) Si consideri il caso in cui a = 1/6 , b = −1 e c = 3/2 . Si determini la totalit`a delle condizioni iniziali del tipo:

{x(0) = x

, ˙x(0) = v

} ,

cui fanno seguito moti x(t) periodici rispetto al tempo t .

(2) Si supponga che i valori dei parametri a , b e c siano ancora fissati come al punto (1). Si consideri ora l’insieme delle condizioni iniziali del tipo:

{x(0) = 0 , ˙x(0) = v

} ,

si determini v

in modo tale che la corrispondente legge del moto t 7→ x(t) sia una funzione monot` ona crescente del tempo.

(3) Siano ora i valori dei tre parametri a , b e c fissati come segue: a = 1 , b = 0 e c = −3 . Si dia una stima del periodo T del moto che fa seguito alla condizione iniziale x(0) = 3/4 , ˙x(0) = 0 . In particolare,

(3a) si determini esplicitamente un numero T

< +∞ tale che vale cer- tamente la disuguaglianza T ≤ T

;

(3b) si determini esplicitamente un numero T

> 0 tale che sussiste la relazione T

≤ T .

Suggerimento: Il punto (3b) pu` o essere svolto senza le infinite tribolazioni del metodo di Ruffini.

(4) (Facoltativo) Siano i valori dei parametri a , b e c fissati ancora come al punto (3). Si studi il periodo ¯ T del moto che questa volta fa seguito alla condizione iniziale x(0) = 2 , ˙x(0) = 0 .

(4a) Si determini esplicitamente un numero ¯ T

< +∞ tale che vale cer- tamente la disuguaglianza ¯ T ≤ ¯ T

;

(4b) si determini esplicitamente un numero ¯ T

> 0 tale che sussiste la

relazione ¯ T

≤ ¯ T .