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I prova di esonero di Fisica Matematica I per il corso di laurea in Matematica 13 Maggio 2008

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(1)

I prova di esonero di Fisica Matematica I per il corso di laurea in Matematica

13 Maggio 2008

Un punto materiale di massa m = 1 `e soggetto all’azione del potenziale U (x) = − cos x + a cos 2x ,

dove x ∈ T e a `e un parametro reale positivo.

(1) Per ogni valore di a , si determini la totalit`a delle condizioni iniziali del tipo:

{x(0) = x

0

, ˙x(0) = v

0

} , cui fanno seguito dei moti a meta asintotica.

(2) Si studi ora il moto x(t) facente seguito alle condizioni iniziali x(0) = π

3 , ˙x(0) = 0 ;

si determinino tutti e soli i valori del parametro a per i quali si verifica che x(t) > 0 ∀ t ∈ R .

(3) Limitatamente al caso a = 1/2 , si dimostri che il moto che fa seguito alla condizione iniziale

x(0) = acos 3

4 , ˙x(0) = 0

`e periodico e si dia una stima del periodo T del moto, determinando esplicitamente due numeri reali T

> 0 e T

+

< +∞ tali che

T

≤ T ≤ T

+

.

(4) (Facoltativo) Si dimostri che, per ogni valore (arbitrariamente grande) T ∈ R

+

, esiste una coppia di valori (a , x

0

) tale che il moto facente seguito alle condizioni iniziali

{x(0) = x

0

, ˙x(0) = 0}

`e periodico con periodo di oscillazione T > T .

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