Prova scritta di Fisica Matematica 1 per il corso di laurea in Matematica 19 Luglio 2017

Prova scritta di Fisica Matematica 1 per il corso di laurea in Matematica

19 Luglio 2017

Un sistema meccanico `e costituito da un punto materiale P e da un anello, i quali si muovono rispetto ad un riferimento inerziale 0xyz, con asse delle z verticale ascendente. L’anello `e perfettamente rigido, di spessore infinitesimo, di massa M , di raggio R e di densit` a di massa omogenea al suo interno;

esso ha il suo centro costantemente sovrapposto all’origine O e il suo moto complessivo `e dato dalla composizione di due rotazioni, la prima delle quali `e attorno all’asse delle z, mentre la seconda ha come asse di rotazione la retta passante per l’origine e normale al piano dove (istantaneamente) giace l’anello.

Un punto Q `e incastonato nell’anello ed `e di massa trascurabile, ma dotato di una carica q, che `e soggetta agli effetti indotti da un campo elettrico uniforme di norma uguale a E, parallelo all’asse delle z, ma diretto verso il basso. Si denoti con la lettera Π il piano (mobile nel tempo) cui appartiene l’anello; sia Oξz il riferimento cartesiano che `e solidale con Π e ha, ovviamente, l’origine in O e l’asse delle ordinate in verticale. Il punto P ha massa m e, anch’esso, giace in Π , poich´e `e vincolato a muoversi su una guida rettilinea, costantemente sovrapposta all’asse delle ascisse ξ del riferimento cartesiano Oξz . Una molla ideale, di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla, collega Q a P .

E da intendersi che tutti i parametri del problema, ovvero m , M , R , k , q e E , ` abbiano valori reali positivi, fino a quando non verr` a specificato diversamente.

Si supponga inoltre che i vincoli siano ideali e siano realizzati in modo che il punto P possa attraversare l’anello senza scontrarsi con esso. Si risponda alle domande seguenti.

(1A) Si scrivano la Lagrangiana e le equazioni di Lagrange del sistema mecca- nico sopra descritto.

(1B) Si individuino le costanti del moto.

(2) Si consideri il sistema meccanico quando `e soggetto anche all’ulteriore vincolo descritto dall’equazione ˙ ϕ = Ω , laddove Ω `e costante e ϕ `e l’angolo che ha vertice nell’origine O ed `e formato dalle semirette con valori positivi delle ascisse x e ξ (cio`e ϕ `e un angolo che individua la giacitura di Π rispetto al piano verticale Oxz).

Si determinino tutte le configurazioni di equilibrio, tali per cui il sistema

` e in quiete rispetto al riferimento cartesiano Oξz che `e solidale al piano

Π, limitatamente al sotto-caso in cui la velocit`a angolare di rotazione del

piano Π `e fissata in modo tale che Ω = p2k/m.

Inoltre, si studi la stabilit`a (sempre rispetto al piano Π) delle suddette soluzioni di equilibrio, al variare di tutti i parametri, ad eccezione, ovvi- amente, di Ω.

(3) Si riconsideri il sistema meccanico, descritto dal testo fino all’inizio del punto (2) compreso, ma senza assumere che il valore costante della ve- locit`a angolare Ω sia fissato in qualche modo. Inoltre, si assuma che gli effetti del campo elettrico siano trascurabili (cio`e si ponga E = 0).

(3A) Si scrivano la Hamiltoniana e le equazioni di Hamilton

che de- scrivono la dinamica relativa al riferimento non inerziale e cartesiano Oξz, solidale al piano Π.

(3B) Si determinino i valori della velocit`a angolare Ω, per cui possono esistere delle soluzioni delle equazioni di Hamilton tali che la quantit` a di moto del punto P evolve con una legge lineare nel tempo.

Inoltre, si descrivano le suddette soluzioni particolari delle equazioni di Hamilton.

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Qualora proprio non riesca la discussione degli esercizi in ambito Hamil-

toniano, cos`ı come essi sono descritti ai punti (3A) e (3B), sar`a considerata

meritoria anche un’eventuale soluzione che utilizza esclusivamente il formal-

ismo Lagrangiano.