La retta reale estesa
Per semplificare il problema del calcolo dei limiti, è possibile utilizzare una sorta di stratagemma; si può ampliare l’insieme dei numeri reali ℝ , con due ulteriori elementi (impropriamente detti “punti”), che non assurgeranno però mai a dignità di “numero”.
Si definisce retta reale estesa l’insieme dei numeri reali a cui siano stati aggiunti due elementi (“punti”, non “numeri”) detti “meno infinito” e “più infinito”:
ℝ=ℝ∪{−∞;∞}
Per questi nuovi punti stabiliremo regole di calcolo coerenti con quelle già esistenti per punti in ℝ .
Proprietà
Si pone, per definizione, −∞a∞ per ogni numero reale a ( a ∈ℝ ).
Operazioni nella retta reale estesa
Nella retta reale estesa valgono, per ogni elemento di ℝ , tutte le regole già esistenti; per gli elementi aggiunti ( −∞ e ∞ ), invece, bisogna prestare maggiore attenzione.
Operazioni non definite
Se si vuole fare un discorso coerente si deve osservare che non si possono definire le operazioni nei casi seguenti:
• ∞−∞ (somme di infiniti di segno opposto, o differenze di infiniti dello stesso segno, e forme equivalenti);
• 0⋅±∞ (prodotto tra 0 ed infinito);
• 0
0 (divisione tra 0 e 0; questa regola valeva già in ℝ );
• ±∞
±∞ (divisione tra infiniti).
In questi casi, in tema di calcolo di limiti, si parla di “forme indeterminate”.
Operazioni definite
Valgono invece le seguenti regole (sia a un numero reale: a ∈ℝ ) :
Somme e sottrazioni tra un reale e
∞• a∞=∞
• a−∞=−∞
• ∞±a=∞
Somme e sottrazioni tra un reale e
−∞• a−∞=−∞
• a−−∞=∞
• −∞±a=−∞
Somme e sottrazioni definite tra infiniti
• ∞∞=∞
• −∞−∞=−∞
• ∞−−∞=∞
• −∞−∞=−∞
Moltiplicazioni con infiniti
• a⋅∞=∞ se a0
• −a⋅∞=−∞ se a0
• a⋅−∞=−∞ se a0
• −a⋅−∞=∞ se a0
• ∞⋅∞=∞
• ∞⋅−∞=−∞
• −∞⋅∞=−∞
• −∞⋅−∞=∞
Divisioni con infiniti
• a
±∞ =0
• ±∞
a =±∞ (il segno dell'infinito si ricava dall'usuale regola dei segni);
• a
0=±∞ con a≠0 (il segno dell'infinito si ricava dall'usuale regola dei segni);
Riferimenti
soprattutto: http://www.batmath.it/corsi_uni/mat_e_stat_0910/mat_e_stat_Cap-III.pdf
