CAPITOLO XII LA SUPERFORMULA DELLA NATURA

CAPITOLO XII

LA SUPERFORMULA DELLA NATURA

Introduzione

Cap XII

1. Il cerchio quadrato 2. Super-ellissi e super-ovali 3. Super-ellissi nel mondo reale 4. Super-ellissoidi e super-uova 5. Primo passo verso la super-formula 6. Secondo passo verso la super-formula 7. La Superformula

XII.1 Il cerchio quadrato

Cerchi e quadrati sono stati a lungo considerati come figure “contrapposte”.

Un cerchio può facilmente rotolare su una superficie piana e per questa ragione la ruota (circolare) è stata un’invenzione che ha rivoluzionato la civiltà antica.

Certamente ruote quadrate non sarebbero funzionali sulle nostre strade!

D’altra parte le piante delle costruzioni sono quasi sempre rettangolari perché più funzionali dal punto di vista dello sfruttamento dello spazio e della stabilità strutturale. Soltanto il genio artistico di Gaudì ha potuto immaginare costruzioni con le strutture “tondeggianti e morbide” che sembrano castelli di sabbia!

Nell’immaginario collettivo cerchi e rettangoli hanno a lungo rappresentato due modelli molto differenti e in qualche modo opposti.

Agli inizi del diciannovesimo secolo il matematico francese Gabriel Lamé (vedi Nota storica XII.1.1) ha rivoluzionato questa opinione provando che cerchi e quadrati potevano essere rappresentati da un’unica equazione.

Equazione della

circonferenza

E’ ben noto che la circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fissato, il centro. Utilizzando il teorema di Pitagora si prova facilmente che l’equazione di una circonferenza di centro l’origine ( C=O ) e raggio r è la seguente

(XII.1.1) x²y² r²

Una circonferenza di centro un punto qualsiasi ^{C  } ^,  e raggio r è rappresentata dall’equazione

(XII.1.2) ^{x  } ^{2 y }^{2 r2}

o equivalentemente

x²y²axby c 0 ove

a 2 b 2 c    ^{2 2} r²

L’equazione (XII.1.1) si può considerare la forma canonica in quanto ogni equazione (XII.1.2) può essere ricondotta ad una di tipo (XII.1.1) previo una traslazione dell’origine del sistema di riferimento.

Inoltre, previo un riscalamento ci si può ricondurre al caso di una circonferenza di raggio unitario. In atri termini l’equazione di una circonferenza può essere riconducibile all’espressione

(XII.1.3) x²y² 1.

Circonferenza di Lamé

Lamé considerò la seguente generalizzazione dell’equazione della circonferenza (XII.1.4) | x |^p | y |^pr^p con p0

che oggi è nota come circonferenza di Lamé.

Evidentemente, per p=2 si riottene l’equazione canonica della circonferenza, ma al variare del parametro p nell’insieme dei numeri reali positivi si ottengono anche figure, vediamone alcune.

Ruolo del parametro p

Denotiamo con C_p il luogo descritto dalla (XII.1.4) al variare del parametro p.

La “dinamica” dell’evoluzione della famiglia C_p è illustrata in modo efficace dalla panoramica di figure seguenti.

Super-

circonferenze di Lamé

p0.01 p0.2 p0.4 p0.6

p0.8 p 1 p 1.2 p 1.4

p 1.6 p 1.8 p2 p2.2

p2.4 p2.6 p3

Strega di Agnesi

p6

Per valori molto piccoli del parametro ( p0) C_p è praticamente costituita due segmenti ortogonali di lunghezza pari a 2 che si intersecano nell’origine, quindi si ottengono delle figure “asterioidi” che gradualmente evolvono prima il rombo C₁, poi verso il cerchio C₂ed infine , per p molto grande, le figure C_p si avvicinano sempre più al quadrato con i lati paralleli agli assi ^1,1^2.

Si osservi infatti che le figure C_p si comportano come se si “gonfiassero”

progressivamente. La prima figura della serie si può pensare ottenuta da un rigonfiamento dell’intersezione degli assi, quindi il rigonfiamento aumenta producendo figure via via più corpose sino alla circonferenza, da notare che i lati passano da concavi a convessi. Quindi il processo continua, la circonferenza gonfiata ulteriormente dà luogo a figure sempre più piene sino ad evolvere verso il quadrato¹.

Le figure C_p 0 p 2, sono iscrivibili nella circonferenza unitaria (sub- circonferenze) mentre le figure C_p p2 sono circonscrivibili alla circonferenza unitaria (super-circonferenze). La circonferenza C_p è l’elemento separatore fra le due classi.

In generale le figure C_p sono dette super-circonferenze di Lamé.

Si osservi infine che nel processo di evoluzione delle figure C_p da sub a super- circonferenze, gli angoli diventano lati e i lati mutano in angoli.

XII.1.1 Nota storica Gabriel Lamé

Gabriel Lamè (Tours 1795 – Parigi 1870) dopo essersi diplomato all’ Ecole Polytechnique studiò ingegneria all’Ecole des Mines di Parigi dove si laureò nel 1820.

Nel 1816 aveva già pubblicato il suo primo lavoro

“Mémoire sur les intersections des lignes et des surfaces” e durante il periodo dell’università pubblicò un secondo lavoro sul metodo da lui inventato per calcolare gli angoli tra le facce di un cristallo.

Subito dopo la laurea, su invito dello zar Alessandro I di Russia, si trasferì a San Pietroburgo.

1 Si può provare che il quadrato ^1,1² è ottenuto per p .

Dopo la rivoluzione francese e agli eventi che ne erano seguiti, lo zar aveva compreso l’importanza della conoscenza scientifica, sia come applicazione alle tecniche militari, sia come supporto allo sviluppo industriale. Per questo motivo aveva sviluppato una politica di cooperazione scientifica con l’Europa ed aveva incoraggiato giovani scienziati francesi a trasferirsi in Russia.

Dopo un inizio difficile, il soggiorno di Lamé molto produttivo. Per ben 12 anni fu docente presso l’Istituto del Genio Civile. Insegnò analisi matematica, fisica, meccanica, chimica ed ingegneria e si dimostrò un convinto sostenitore del nuovo rigore in Analisi propugnato da Cauchy.

Pubblicò vari articoli scientifici e collaborò al progetto di costruzioni, ponti e strade che si stavano edificando intorno alla città. In particolare si interessò al progetto innovativo di costruzione delle linee ferroviarie, era presente il 15 settembre 1830 all’inaugurazione della prima linea Liverpool-Manchester.

Questa esperienza fu per lui molto positiva e si rivelò di grande utilità dopo il suo ritorno in Francia.

Nel 1832 accettò la cattedra di fisica all’Ecole Polytechnique. Pur occupandosi attivamente di didattica e ricerca scientifica, proseguì anche in Francia la sua attività di ingegnere. In particolare partecipò al progetto della costruzione delle prime linee ferroviarie Parigi-Versailles e Parigi-St ermani (1837).

Fu eletto Membro dell’Accademia di Scienze e nel 1851 divenne professore di fisica e probabilità alla Sorbona.

I suoi interessi ingegneristici lo portarono spesso ad occuparsi di questioni matematiche anche molto complesse ed ottenne interessanti risultati.

Il grande matematico tedesco Gauss, che era parco di complimenti, lo stimava il miglior matematico francese del suo tempo.

Come spesso accade, la sua fama in patria non fu altrettanto elevata, i suoi compatrioti infatti lo ritenevano troppo pratico come matematico e troppo teorico come ingegnere.

XII.2 Super-ellissi e super-ovali

L’ellissi è un’estensione della circonferenza. Precisamente l’ellissi è il luogo dei punti del piano per i quali la somma delle distanze da due punti fissi (detti fuochi) è costante.

Denotati con F1  c, 0 ed F1 0, c i due fuochi, si ha

^xc^{2y2 } ^xc^{2y2 cos t}

Equazione dell’ellissi

L’equazione canonica dell’ellisse è quindi (XII.2.1)   ^{x a 2 y b}^{2 1}

ove a0 e b0 sono pari alle lunghezze degli assi.

Nel caso particolare che ab si riottene una circonferenza.

FIGURA

Operando una generalizzazione dell’equazione (XII.2.1) analoga a quella vista nel Paragrafo XII.1 per l’equazione della circonferenza, Lamé ottenne l’equazione

(XII.2.2) x a^p y b^p 1 p0

Denotiamo con E_p p0 il luogo geometrico descritto dalla (XII.2.2), tali figure sono dette super-ellissi di Lamé.

Analogamente a quanto visto nel Paragrafo XII.1, le super-ellissi sono astroidi che via via per rigonfiamento evolvono verso il rombo, poi l’ellissi di semiassi a e b ed infine il rettangolo ^{a, a} ^{ b, b}^.

Proponiamo alcuni esempi di super-ellissi – nel caso in cui a / b1/ 2 - in corrispondenza a valori crescenti del parametro p.

Ancora sul ruolo del parametro p

Super-ellissi di Lamé con a / b1/ 2

p0.5 p1 p2

p2.2 p5 p100

Per p razionale si ottengono curve algebriche, per p irrazionale curve trascendenti ?

Spettro di super-ellissi con a e b in rapporto aureo

Nella figura seguente è riportato un spettro di curve di Lamé - relative solo al primo quadrante - iscritte in un rettangolo aureo, cioè nel caso in cui le dimensioni a e b siano in rapporto aureo a/b= 1.6 ? vedi articolo di Gridgeman

Ruolo dei parametri a e b

E’ immediato osservare che ciascuna super-circonferenza C_p sottoposta all’omotetia

x'= x a y'= y b





dà luogo alla corrispondente super-ellissi E_p p0.

I due parametri a e b sono quindi due fattori di scala, rispettivamente orizzontale e verticale.

Per illustrare il loro contributo, riportiamo qui di seguito poniamo a confronto tre super-ellissi con diversi rapporti di scala orizzontale e verticale, in corrispondenza a valori di p0.6, p1.2 e p2.2 rispettivamente.

Super-ellissi di Lamé con p0.6

a / b0.5 a / b6 / 7 a / b2.5

Super-ellissi di Lamé con p1.2

a / b0.5 a / b6 / 7 a / b2.5

Super-ellissi di Lamé con p2.2

a / b0.5 a / b6 / 7 a / b2.5

XII.3 Super-ellissi nel mondo reale

Per più di un secolo l’equazione di Lamé non sembrò riscuotere grande interesse sino a quando non è stata riscoperta dall’architetto danese Piet Hein (vedi nota storica XII.?) ed ha trovato un ruolo di rilievo in architettura e design.

XII.3.1

Piazza Sergel Stoccolma

Nel 1959 a Stoccolma si pose un problema di progettazione edilizia la cui brillante soluzione avrebbe fornito un’idea innovativa da cui molti progettisti e designers hanno tratto ispirazione.

Alcuni anni prima, si era deciso di radere al suolo e ri-costruire un quartiere di vecchie case e stradine strette nel cuore della città. Ora due grandi arterie per il traffico nord-sud ed est-ovest si intersecavano in quella zona creando un vasto spazio rettangolare vuoto (lungo circa 200 yards) che si voleva destinare ad attività commerciale.

I progettisti si trovarono ad affrontare un problema che si presentava più arduo del previsto: la forma della costruzione.

Una costruzione rettangolare avrebbe ottimizzato lo spazio a disposizione per lo shopping ma gli angoli avrebbero interferito con la fluidità del traffico circostante.

Una costruzione a forma ellissoidale avrebbe sacrificato spazio per le attività commerciali, non si sarebbe bene armonizzata con la superficie rettangolare dello spazio a disposizione e non avrebbe risolto in modo soddisfacente le difficoltà di circolazione delle auto.

I progettisti tentarono con una figura piana circondata da otto archi di circonferenza, ma la figura era poco armoniosa e non si riusciva ad ottenere un collegamento sufficientemente “smussato” delle varie parti.

A questo punto il team di progettisti decise di rivolgersi a Piet Hein.

La questione si presentava proprio come uno di quei problemi che attraevano la sua immaginazione matematico-artistica, il suo senso dell’humor e la sua originale creatività.

Egli suggerì di adottare una figura intermedia tra un rettangolo ed un’ellisse²: cioè una super-ellisse!

Per ottenere l’esatta curva produsse varie simulazioni con l’ausilio di computer che poteva calcolare fino a 400 punti con 15 cifre decimali esatte.

FOTO dal libro di Gielis

La curva che scelse in quanto soddisfacente a canoni estetici fu la super-ellisse con a/b=6/5 e p=5/2.

La proposta incontrò subito il favore dei committenti e il progetto fu prontamente reso esecutivo.

2 Piet Hein ha scritto in un’importante rivista danese di design industriale: “The superellipse has the same convincing unity as a circe and ellipse, but it is less obvious and less banal.”

Precisamente, il progetto prevedeva un bacino super-elissoidale con una fontana circondata da una larga piscina contenente centinaia di piccole fontane. La luce solare filtrando attraverso il fondo traslucido della piscina illuminava un ristorante self-service - situato al di sotto del livello stradale - circondato da un anello ovoidale di negozi.

Due altri piani inferiori sempre super-elissoidali erano destinati per il ristorante- dancing, i bagni e le cucine.

Dopo la brillante soluzione proposta da Hein le super-ellissi hanno incontrato spesso il favore di architetti progettisti in Canada, Francia, Giappone, Statai Uniti e Messico.

Stadio olimpico

Città del Messico Lo stadio olimpico di Città del Messico (19???) ha la forma di una super-ellisse.

FOTO da INTERNET

Parcheggio auto

Ontario Gerald Robinson ha incorporato un parcheggio super-ellittico in uno shopping center a Peterborough (Ontario) con parametri a/b=9/7 e p=2.718 la costante di Eulero.

Tavolo di pace in

Vietnam Piet Hein propose di utilizzare un tavolo a forma di super-ellissi per gli incontri delle trattative di pace durante la guerra tra Nord Vietnam e Sud Vietnam.

Mobilia La collaborazione di Piet Hein con Bruno Mathsson, un famoso designer svedese,

ha prodotto vari manufatti a forma super-ellittica: montature di occhiali, piatti, lampade per scrivanie (molto in voga negli anni sessanta), sedie e letti.

Qualche foto

Canne di bamboo Un’interessante collegamento tra le super-ellissi e il mondo della natura sono le sezioni delle piante di bamboo.

Alcune specie di canne di bamboo hanno sezione quadrata nella parte inferiore (Chimonobambusa quadrangularis), precisamente si tratta di sezioni a forma di super-circonferenze.

I bamboo quadrati sono più resistenti di quelli a sezione circolare e vengono largamente utilizzate per le costruzioni.

XII.4 Super-ellissoidi e super-uova

La versione tri-dimensionale delle super-ellissi di Lamé è la famiglia di superfici di equazione

p p p

x a  y b  z c 1 p0 che sono dette super-ellissoidi.

Riportiamo alcuni esempi delle superfici della famiglia.

Aggiungere commenti di Gielis pg.35 XII.4.1

Piet Hein super-egg

Una delle più note invenzioni di Piet Hein è il super-uovo una formo ovoidale che comunque la si poggia resta in piedi senza cadere: una specie di uovo di Colombo³! Il super-uovo ha un’equazione analoga a quella delle super-ellissi, precisamente

p p

2 2

x y a  z b 1.

Piet Hein ha proposto il super-uovo come gioco, ma la forma ha avuto anche altri utilizzi.

Foto dal libro di Gielis

3Girolamo Bergonzi nella sua Storia del Nuovo Mondo (1565) racconta il seguente aneddoto su Cristoforo Colombo. Durante un pranzo un nobile spagnolo si prendeva gioco di Colombo per l’errore clamoroso che aveva commesso pensando di indicare un nuovo itinerario per le

Per esempio un super-uovo d’argento (p=2,2 a/b=6/5, alto15 cm) fu offerto come premio allo studente che avesse prodotto contributo eccezionale che unisse discipline molto distanti, in un prestigioso Istituto Superiore Danese.

XII.4.2 Nota storica Piet Hein

Piet Hein (Copenaghen 1905-1996) ha avuto una formazione superiore molto particolare Dopo aver iniziato a studiare filosofia all’Università di Copenhagen nel 1924, lasciò l’Università per seguire corsi di arte prima in scuole private danesi e poi presso l’Accademia Reale Svedese di Arte. Tornato in Danimarca riprese gli studi di filosofia all’Università, ma contemporaneamente studiò fisica teorica presso il Politecnico dove strinse una durevole amicizia con il famoso fisico Niels Bohr.

FOTO

La formazione riflette perfettamente l’indole di Hein che riteneva non ci fosse un solco invalicabile tra la soggettività dell’arte e l’oggettività del metodo scientifico. Egli stesso per tutta la vita ha fornito importanti contributi sia artistici che scientifici, tanto da essere considerato un universalista, un moderno Leonardo.

Fu architetto, matematico, designer, pittore ma anche poeta (con lo pseudonimo Kumbell). E’ famoso in particolare per venti volumi di aforismi che possono essere considerati commenti poetici ai piccoli e grandi eventi quotidiani e sono in realtà istruzioni per la più difficile delle arti: l’arte di vivere. I volumi tradotti in varie lingue che hanno venduto più di un milione e mezzo di copie, Hein stesso ha curato la traduzione in Inglese ed Esperanto!

Lui stesso spiegava così il suo modo di lavorare: “l’arte è la soluzione di problemi che non possono essere formulati chiaramente prima che siano stati risolti”.

Il suo impegno nel promuovere un’armonia globale è testimoniato, in particolare, dalla sua presidenza nel 1948-49 della sezione danese del Movimento per un Governo Federale Mondiale i cui componenti lavoravano intensamente ad una proposta di soluzione dei conflitti mondiali basata su una base idealistica- scientifica comune che si poteva raggiungere favorendo la cooperazione di scienziati di tutto il mondo.

Indie. Colombo non rispose direttamente alle accuse ma, fattosi portare un uovo, sfidò i presenti a trovare la posizione che permettesse all’uovo di restare in pedi. Naturalmente dopo vari tentativi - tutti senza successo - i nobili spagnoli dovettero arrendersi e con grande curiosità attesero di conoscere la risposta esatta. Colombo prese l’uovo e lo depositò sul tavolo con un leggero colpo che piegò leggermente la coccia, quel tanto che bastasse a lasciarlo in equilibrio. Dopo un attimo di disorientamento tutti compresero il messaggio: dopo che una cosa è stata fatta tutti conoscono il segreto!

XII.5 Primo passo verso la superformula

Recentemente, Johan Gielis un biologo Danese ha dato nuova vita all’equazione di Lamè introducendo alcune modifiche che hanno prodotto una formula molto duttile, in grado di generare la molteplicità delle forme delle piante e degli esseri viventi.

Dalle coordinate cartesiane e quelle polari

Passando da coordinate cartesiane a quelle polari

x cos

y sin

  

  





Equazione di Lamé in coordinate polari

l’equazione della super-circonferenza di Lamé | x |^p | y |^pr^p diventa (XII.5.2) ^p









Equazione super-ellissi in coordinate polari

Analogamente l’equazione delle super-ellissi in coordinate polari assume la forma

(XII.5.3)

1

p p p

( r 1 1

) cos sin

a b



     

     

 

Per descrivere le potenzialità della formula (XII.5.3) illustriamo separatamente il ruolo dei parametri.

Ruolo del parametro r

Come abbiamo già osservato nel caso dell’equazione della circonferenza il parametro r controlla la “dimensione” della figura.

L’immagine seguente mostra una famiglia di super-ellissi in corrispondenza a diversi valori del parametro r (r1, 2, 3, 4, 5).

Introduzione del parametro di fase

Gielis osserva innanzi tutto che le super-ellissi presentano lo svantaggio di una limitata simmetria. Precisamente tutte figure hanno una a simmetria rotazionale di ordine quattro, mentre in natura si trovano organismi a simmetria esagonale, pentagonale, etc.

Per questa ragione propone di introdurre un parametro di fase k:

(XII.6.1)      

1

p p p

r 1 1

cos k sin k

a b



   

     

Per illustrare il ruolo del parametro di fase, non è restrittivo considerare il caso particolare a  b r 1 e poniamo

(XII.6.1’) ^{k  ( )}





Osserviamo, innanzi tutto, che la funzione    k k( ) 0, 2 è il reciproco della funzione

(XII.6.2) ^{f ( )k  }





Pertanto dallo studio del grafico di f_k si possono dedurre informazioni sul grafico di _k. In particolare i punti di massimo e minimo locali di f_k sono punti rispettivamente di minimo e massimo locali di _k.

Infatti si ha

       

k( 0) k I 0 f (k 0) fk I 0

             .

Si osservi che, poiché la funzione ^{   }  fornisce la lunghezza del raggio vettore corrispondente all’angolo , i punti di massimo e minimo di  sono fondamentali per la forma della figura.

Consideriamo, innanzi tutto il caso k1. Caso k1

p=1 Per p1 (metrica di Manhattan) si prova facilmente che la funzione

 

f ( )1   cos sin  0, 2 ha minimo pari ad 1 e massimo pari a 2 e presenta 4 punti di minimo: _j j j 0,1, 2, 3

2 ^

  

4 punti di massimo: j 2 j 1 j 0,1, 2, 3

4 ^

   

1 2 3 4 5 6 0.2

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

f1 ₁

I grafici mostrano chiaramente come la forma di f₁ si trasmette a quella di ₁. Per 0 p 1 le funzioni





f ( )p   cos  sin  0, 2

hanno ancora minimo pari ad 1 mentre il massimo progressivamente aumenta, al decrescere di p, e presentano ancora 4 punti di minimo e 4 punti di massimo, gli stessi della funzione f ₁

P=0.5

1 2 3 4 5 6

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

f0.5 _0.5

P=0.1

1 2 3 4 5 6

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

f0.1 _0.1

Per 1 p 2 le funzioni





f ( )p   cos sin  0, 2

hanno ancora minimo pari ad 1 mentre il massimo progressivamente diminuisce, al crescere di p, e presentano ancora 4 punti di minimo e 4 punti di massimo, gli stessi della funzione f ₁

p=1.5

1 2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

f1.5 _1.5

P=1.8

1 2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

f1.8 _1.8

Per p2 (metrica Euclidea) la funzione





f ( )2   cos  sin  0, 2 è costante pari ad 1 per cui tutti i punti sono di massimo e minimo P=2

1 2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

f2 ₂

Per p2 le funzioni





f ( )p   cos  sin  0, 2

hanno massimo pari ad 1 mentre il minimo progressivamente diminuisce, al crescere di p, e presentano 4 punti di minimo e 4 punti di massimo che sono invertiti rispetto al fascio di funzioni f con p_p 2, precisamente

i punti di minimo sono: j 2 j 1 j 0,1, 2, 3

4 ^

   

i punti di massimo sono: _j j j 0,1, 2, 3

2 ^

   P=2.5

1 2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

f2.5 _2.5

P=4

1 2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

f4 ₄

P=10

1 2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

f10 ₁₀

P=20

1 2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

f20 ₂₀

Il minimo sembra 0 ????

Caso k generico

Torniamo ora al caso p=1 ed introduciamo il parametro di fase k, cioè consideriamo la funzione

 

f1,k( )  cos k sin k  0, 2

Si prova facilmente che ammette gli stessi valori di massimo e minimo della funzione f , ma i punti di massimo e minimo locale sono pari a 4k (se k è intero) ₁ rispettivamente

4k punti di minimo locale: _j j j 0,1, , 4k 1

k 2 ^{ }

  

4k punti di massimo locale: _j 2 j 1 j 0,1, , 4k 1

k 4 ^{ }

    P=1 e k=2

1 2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

f1,2 _1,2

P=1 e k=5

1 2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-1 -0.5 0.5 1

-1 -0.5 0.5

f1,5 _1,5

Analoghe considerazioni sussistono nel caso p1 e le tralasciamo per semplicità.

Comunque, poiché i punti di massimo e minimo sono pari a 4 volte il parametro di fase, Gielis ha proposto di scegliere come parametro di fase

k m

 4 .

L’equazione delle super-ellissi modificata da Gielis è quindi

(XII.5.4)  

1

p p p

r 1 m 1 m

cos sin

a 4 b 4



           

Ruolo del parametro m

Come abbiamo dimostrato, il parametro m fornisce il numero dei punti di massimo e minimo locale della funzione  .

Proponiamo alcuni esempi con a  b r 1 p 1 (Figure con Mathematica)

m0 m1 m2

m3 m4 m5

m6 m7 m8

Nelle super-circonferenze di Lamé il piano è idealmente diviso in quattro parti (i quattro quadranti) e tutte le figure hanno gli stessi quattro punti fissi sul cerchio.

Ora può invece essere diviso in un numero di settori pari ad m.

L’argomento cioè m consente agli assi di piegarsi in dentro e in fuori come un ventaglio. Inoltre m determina il numero di punti fissi sul cerchio unitario e lo spazio tra di essi.

In conclusione m rappresenta il numero delle simmetrie rotazionali.

Non solo, forme asimmetriche possono essere generate selezionando diversi valori dei parametri.

Proponiamo ora alcuni esempi con m non intero

m0.5 m3.5 m7.5

m  m 2 me

Se m è intero, dopo una rotazione ^{0, 2} la figura si chiude e nelle successive rotazioni la figura resta invariata.

Se m non è intero, la figura generata dopo una sola rotazione non si chiude. In particolare, se m è razionale - es. m   - la figura si chiuderà dopo  rotazioni, mentre  determina il numero degli angoli.

Proponiamo un esempio:

m5 3 0   2 m5 3 0   6 m5 3 0  20

XII.6 Super-poligoni e sub-poligoni

Esaminiamo ore alcune classi di figure, corrispondenti a valori interi di m.

Zero-goni

m=0 Per m=0 si ottiene il cerchio per qualsiasi valore del parametro p.

Mono-goni

m=1 Nel caso m1 le figure risultanti presentano un punto angoloso per ogni valore di p, tranne il caso p2 in cui si ha un cerchio.

Per p2 la figura ha l’angolo puntato verso destra, mentre per 0 p 2 l’angolo è presente a sinistra, ruotato di .

Vediamo una panoramica di figure, con m1 e diversi valori di p.

p0.3 p0.5

p1 p20 p100

Come nel caso delle super-cerchi e sub-cerchi , variando il parametro p si può appuntire o smussare l’angolo.

Duo-goni

m=2 Nel caso m2 si presenta una panoramica di figure simili al caso precedente, ma con due angoli invece di uno.

Come nel caso precedente, le figure non possono presentare segmenti rettilinei.

p0.3

p0.5

p50 p1000

Variando i valori del parametro m la formula (XII.5.4) si possano rappresentare tutti i poligoni regolari insieme alle loro versioni concavizzate e convessizzate (cioè sub-poligoni e super-poligoni).

Analogamente al caso delle super-ellissi, per 0 p 2 si ottengono figure inscritte (sub-poligoni) mentre per p2 si hanno figure circoscritte (super- poligoni). Inoltre i sub-poligoni sono ruotati di  m rispetto i super-poligoni.

Osserviamo infine che quando i sub-poligoni si trasformano in super- poligoni gli angoli diventano lati e i lati diventano angoli.

Si considerino, ad esempio, le figure seguenti

m2 p0.5 m2 p1000

m5 p0.5 m5 p1000

Le immagini del paragrafo precedente mostrano che solo nel caso m4 si ottiene una figura con lati rettilinei, cioè un poligono regolare.

E’ comunque possibile ottenere tutti i poligoni regolari adottando l’ulteriore generalizzazione della formula che è illustrata nel prossimo paragrafo.

XII.7 Secondo passo verso la superformula

Un’ulteriore estensione della formula delle super-ellissi proposta di Gielis consiste nel considerare differenti esponenti p_i i1, 2, 3

(XII.7.1)

2 3 1

1

p p p

r 1 m 1 m

cos sin

a 4 b 4



        

Ruolo dei parametri p₁, p₂, p₃

Anche in questo paragrafo supponiamo, per semplicità, a b 1 r1.

Il parametro p₂ agisce sulla componente orizzontale, il parametro p₃ su quella verticale. Precisamente, ciascuno dei due parametri p₂ e p₃ produce l’effetto della trasformazione non lineare

p2

x ' x y ' y







 o rispettivamente

p1

x ' x y ' y







 ^.

Considerato m=4 ed p₁1 illustriamo il ruolo dei parametri p e ₂ p con ₃ l’aiuto di alcune immagini.

Parametro p2

variabile

2 3

p p 1 p₂ 2 p₃1 p₂3 p₃1

2 3

p 4 p 1 p₂6 p₃ 1 p₂8 p₃1

Parametro p₃ variabile

2 3

p 1 p 2 p₂1 p₃5 p₂1 p₃11

Il parametro p produce un effetto di deformazione multidirezionale. ₁ Proponiamo alcuni esempi.

Considerati m4 p₂p₃1, per diversi valori del parametro p₃ si ha

p31 p₃2 p₃ 3

p34 p₃7 p₃11

Le immagini seguenti mostrano la grande potenzialità offerta della variabilità dei parametri.

Forme della natura

-1 -0.5 0.5 1

-1 -0.5 0.5 1

2 3 1

p 10 p 0.5 p 1 m 16

  



2 3 1

p 10 p 0.3 p 0.5

m 3

  



2 3 1

p 0.5 p 0.3 p 0.5

m 7

  



Oltre ad una grande varietà di figure anche “irregolari” che si prestano egregiamente ad una rappresentazione del mondo vegetale ed animale, scegliendo opportunamente i parametri p_i i1, 2, 3 si possono ottenere tutti i poligoni regolari. Ne proponiamo alcuni (per tutti si è posto p₃1000

Poligoni regolari

1 2

m3 p p 1980 m4 p₁p₂1000 m5 p₁p₂620

1 2

m6 p p 390 m7 p₁p₂ 320 m8 p₁p₂250

XII.8 La superformula

Un’ulteriore generalizzazione apportata da Gielis alla formula (XII.7.1) è stata la sostituzione del parametro r con una funzione dell’argomento 

(XII.8.1)

2 3

1 1

p p p

1 m 1 m

( ) R( ) cos sin

a 4 b 4



            

     

     

 

Discutiamo due casi particolarmente interessanti.

Spirali La funzione

R( )  

è costante in ciascun periodo, ma l’argomento aumenta al crescere dei periodi.

Inserita nella superformula si presta bene alla rappresentazione di spirali, come mostrano i seguenti esempi.

2 3

1

m 6 p p 100

p 100 0 12

  

    

2 3

1

m 10 p p 5

p 8 0 8

  

    

2 3

m 4 p1 p p 100

0 8

  

   



-30 -20 -10 10 20 30

-30 -20 -10 10 20 30

-20 20 40

-40 -20 20

-40 -20 20 40

-40 -20 20 40

2 3

1

m 6 p 1 p 100

p 100 0 12

  

    

2 3

1

m 10 p 500 p 5

p 8 0 6

  

    

2 3

1

m 6 p 100 p 500

p 200 0 12

  

    