P ro p ri e tà d e lla m e d ia g e o m e ti c a

(1)

1

L a m e d ia g e o m e tr ic a

•Per una distribuzione unitariadi un carattere quantitativodi n termini, lamedia geometricaèdefinita come: n

n jjn ngxxxxx∏ ==⋅⋅⋅= 121K •Viene usata per sintetizzare dati che ha senso moltiplicare fra loro o per riassumere distribuzioni che hanno andamento geometrico •Si applica per determinare un tasso di incremento / decremento medio (prezzi dei prodotti, andamento della popolazione, ecc) 2

Esempio •In un determinato punto vendita si èosservato: 298246189207Vendite (milionidi euro)

2008200720062005Anni Si vuole calcolare la variazione media nelle vendite •Bisogna innanzitutto calcolare le variazioni annue: 1,211,3020,913--Variazioni

2008200720062005Anni 1−= ii i VV x 129,1211,1302,1913,03 =⋅⋅=gx •La media aritmetica sarebbe stata invece: ()142,13/211,1302,1913,0=++=ax 3

•Perchèla media aritmeticanon sarebbestataappropriata? Supponiamo che V0siano le vendite iniziali. Applicando le variazioni x1, x2, x3otteniamo: V1= V0⋅x1 V2= V1⋅x2= V0⋅x1⋅x2 V3= V2⋅x3= V0⋅x1⋅x2⋅x3 La variazione media èquella variazione costante, che applicata di anno in anno, deve restituire il valore corretto delle vendite a fine periodo, dato il valore iniziale. Sostituendo la media aritmetica e la media geometrica si ha:

3 003xVxxxVV⋅=⋅⋅⋅= 03,308142,120733 0=⋅=⋅axV298129,120733 0=⋅=⋅gxV4

•La media geometicapuò essere calcolata direttamente per una distribuzione di frequenzanon in classi tramite la formula n

k j

n jnn k

nnjk xxxxx∏ ==⋅⋅⋅= 121

21 K che tiene conto del fatto che una modalitàpuò ripetersi più volte •Utilizzando le frequenze relative si ha: ∏ ==⋅⋅⋅=

k j

f j

f k

ffjk xxxxx 121

21 K •Se il carattere èin classi, si utilizzano i valori centrali al posto delle modalità.()jjjccx+=−1 21

(2)

5

P ro p ri e tà d e lla m e d ia g e o m e ti c a

•Proprietà1 (consistenza): Se la distribuzione ècostituita da n termine tutti pari ad a, la media della distribuzione sarà anch’essa pari ad a: aaxn

n jg==∏ =1 •Proprietà2 (monotonia): Date due distribuzioni unitarie con n termini, rispettivamente, x1,x2,..,xne y1,y2,..,yn, se vale la condizione xj≤yjper ogni j, e almeno una volta xj< yj, allora ggyx< 6

•Proprietà3 (di internalità): La media geometrica èsempre compresa tra il minimo e il massimo della distribuzione kgxxx≤≤1 •Proprietà4 (invarianza rispetto a cambiamenti di scala): se a ogni termine della distribuzione viene applicata la trasformazione aX, allora la media geometrica saràpari a gxa 7

•Proprietà5: La media geometrica non èmai superiore alla media aritmetica per qualsiasi distribuzione

agxx≤ •Proprietà6: Il logaritmo della media geometrica èuguale alla media aritmetica dei logaritmi. Quindi, ad esempio, la media geometrica può essere calcolata come

( )

^{ }

 

 =∑ =

n jjgx nx 1log1 exp(distribuzioneunitaria)

( )

^{ }

 

 =∑ =

k jjjgxn nx 1log1 exp(distribuzionedi frequenze) 8

Esempio 1,211,3020,913--Variazioni 0,1910,264-0,091--Log(Variazioni)

2008200720062005Anni 1−= ii i VV x

( )

() 129,1)121,0exp(

191,0264,0091,0 3

1 explog1 exp 1 ==

=  



 

 ++−=

 



 

 =∑ =

n jjgx nx

(3)

9

L a m e d ia t ro n c a ta

•La media troncata al 50% èla media aritmetica calcolata sul 50% dei valori centrali della distribuzione. •L’obiettivo della media troncata èeliminare l’effetto dei valori anomali sulla media aritmetica. 124711 124731

Media aritmetica 12711 12731

Media aritmeticatroncataal 60% 4 410

L a m e d ia n a

•Data una distribuzione secondo un carattere qualitativo ordinato o quantitativo, lamediana(Me) èla modalitàdel carattere che divide il collettivo in due gruppi di uguale numerositàin modo tale che: 1. le unitàdel primo gruppo hanno una modalità≤Me; 2. le unitàdel secondo gruppo hanno una modalità≥Me •Per calcolare la mediana di una distribuzione unitariadi un carattere quantitativo di n termini 1. si ordinano le modalitàin modo non decrescente: 2. se nèdispari→ se nèpari→ (solo per caratteri quantitativi)

nxxx≤≤≤K 21 ()21+= nexM

( )

2122++=nnexxM 11

Esempio •Si consideri la distribuzione dei voti di 5 studenti (27, 24, 30, 22, 28); la distribuzione ordinata è(22, 24, 27, 28, 30) da cui Me= x(5+1)/2= x3= 27. •Se la distribuzione fosse stata (22, 24, 27, 28), avremmo avuto Me= (x4/2+ x4/2+1)/2= (x2+x3)/2= (24+27)/2 = 25,5. 12

•Per una distribuzione di frequenza non in classi, la mediana può essere calcolata sulla base delle frequenze relative cumulate (Nj) come: 1. si individua la modalitàxjtale che: 2. se→ se→ (solo per caratteri quantitativi)

( )

21jjexxM+=−

jjFF<≤ −21 1 211<−jFjexM= 211=−jF

(4)

13

10.449.210

10.342.911

9.951.535

8.284.144

5.931.499

2.883.250

Freq. ass. cum. 10.449.210Totale

1106.2996 o più

0,990391.3765

0,9521.667.3914

0,7932.352.6453

0,5683.048.2492

0,2762.883.2501

Freq. rel. cum.Freq. assNUM. COMP.

Esempio Conj= 2 siha Fj-1< 1/2 < Fjdacui Me= 2. 14

9.035.098

8.928.808

8.537.460

6.870.189

4.517.549

1.803.250

Freq. ass. cum. 9.035.098Totale

1106.2906 o più

0,988391.3485

0,9451.667.2714

0,7602.352.6403

0,5002.714.2992

0,2001.803.2501

Freq. rel. cum.Num. famiglieNUM. COMP.

Esempio Conj= 3 siha Fj-1= 1/2 < Fjdacui Me= 2,5. 15

•Se il carattere èin classi: 1. si individua la classe mediana, cj-1–cj, tale che: 2. sulla base dell’ipotesi di uniforme distribuzione

jjFF<≤−211 j jj

j jea FF

F cM⋅ −− += −− − 11 121 16

E s e m p io

La classe mediana è250--500 da cui

4.471

4.436

4.404

4.309

4.138

3.878

3.339

2.822

2.156

Frequenze assolute cumulate (Nj) 1

0,992

0,985

0,964

0,926

0,867

0,747

0,631

0,482

Frequenze relative cumulate (Fj)

Frequenze assolute (nj) 4.471Totale

3550.000--100.000

3225.000--50.000

9510.000--25.000

1715.000--10.000

2602.500--5.000

5391.000--2.500

517500--1.000

666250--500

2.1560--250

Classidi fatturato (cj-1–cj) 84,279250 482,0631,0482,02/1 25021 11 1=⋅ −− +=⋅ −− += −− −j jj

j jea FF

F cM