L a m e d ia a ri tm e ti c a

(1)

1

L e m e d ie

•Medie: permettono di sintetizzare una distribuzione sulla base di un solo valore. Possono essere classificate in: –Medie analitiche: calcolate tramite operazioni algebriche sui valori del carattere solo per caratteri quantitativi –Medie di posizione: non richiedono operazioni algebriche anche per caratteri qualitativi PercentiliMedia troncata

ModaMedia geometrica

MedianaMedia aritmetica

Medie di posizioneMedie analitiche 2

L a m e d ia a ri tm e ti c a

•Per una distribuzione unitariadi un carattere quantitativodi n termini, lamedia aritmeticaèdefinita come: ()∑ ==+++=

n iinx nxxx nx 12111 K Esempio •Distribuzione del voto in Statistica per un gruppo di 6 studenti: 154Totale

276

215

304

283

212

271

Voto(xi)Unitàstatistica(i) 667,25154 61 =⋅=x 3

•La media aritmetica può essere calcolata direttamente per una distribuzione di frequenzanon in classi tramite la formula ()∑ ==+++=

k jjjkknx nnxnxnx nx 1221111 K che tiene conto del fatto che una modalitàpuò ripetersi più volte •Per il calcolo si imposta una tabella del tipo: ΣjxjnjnTotale

xknknkxk

………

x2n2n2x2

x1n1n1x1

xjnjFrequenze(nj)Modalità(xj) 4

Esempio 61122

Frequenza(nj) 154

30

28

54

42

xjnj Totale

30

28

27

21

Voto(xj) 667,25154 61 =⋅=x

(2)

5

•Alternativamente si può utilizzare la formula ∑ ==+++=

k jjjkkfxfxfxfxx 12211K basata sulle frequenze relative. •La tabella seguente fornisce direttamente il valore della media aritmetica. 1fk…f2f1

Freq. relative (fj) ΣjxjfjnTotale

xkfknkxk

………

x2f2n2x2

x1f1n1x1

xjfjFrequenze(nj)Modalità(xj) •Il risultato può risentire di approssimazioni nel calcolo delle frequenze relative6

Esempio 1

0,167

0,333

Freq. relativa(fj) 61122

Frequenza(nj) 25,670

5,010

4,676

8,991

6,993

xjfj Totale

30

28

27

21

Voto(xj) 667,25670,25≈=x 7

•Quando il carattere èin classi, si ha una perdita di informazione in quanto non si conosce piùcon esattezza la modalitàdi ogni unitàstatistica. La media sarebbe calcolabile esattamente conoscendo le medie di classe ( ) come: ()∑ ==+++=

k jjjkknx nnxnxnx nx 1

221111 K •Non conoscendo le medie di classe, si usano invece i valori centrali •Il risultato può risentire di approssimazioni nel calcolo delle frequenze relative

jx ()jjjccx+=−1 21 che corrispondono alle medie di classe sotto l’ipotesi di uniforme distribuzione. La media aritmetica viene quindi calcolata come ∑ ==

k jjjnx nx 1

1 oppure ∑ ==

k jjjfxx 1 8

•Per il calcolo si imposta una tabella del tipo (quando si applica la formula basata sulle frequenze assolute) -xk

…x2

x1

Valoricentrali (xj) 1fk

…f2

f1

Freq. relative (fj) ΣjxjfjnTotale

xkfknkck-1–ck

………

x2f2n2c1–c2

x1f1n1c0–c1

xjfjFrequenze(nj)Classi (cj-1–cj)

•Oppure una tabella del tipo (quando si applica la formula basata sulle frequenze relative)

-xk

…x2

x1

Valoricentrali(xj) ΣjxjnjnTotale

xknknkck-1–ck

………

x2n2n2c1–c2

x1n1n1c0–c1

xjnjFrequenze(nj)Classi(cj-1–cj)

(3)

9

Esempio 8,17350/8690==x

•Per la distribuzione dell’altezza per un collettivo di 50 persone: 8690

760

6125

1650

155

xjnj -

190

175

165

155

Valori centrali(xj) 1

0,08

0,70

0,20

0,02

Freq. relative (fj) 173,850Totale

15,24180 |–200

122,535170 |–180

33,010160 |–170

3,11150 |–160

xjfjFrequenze (nj)Classi (cj-1-cj) 10

•In alcune situazioni si ha una distribuzione ponderatain cui a ogni modalitàviene associato un peso che ne quantifica l’importanza •Per calcolare la media aritmetica, il peso viene trattato come una frequenza ∑∑ =

= = n jj

n jjj wwx x 1

1

wnxnn

………

w2x22 w1x11

Peso(wj)Modalità(xj)Unità(j) 11

Esempio 95,2760/1677==x

•Voti di uno studente del primo anno di Economia: 168628Inglese

180630Informatica 243927Ec. aziendale 609

612

12

CFU(wj) 1677-Totale

27030Ist. Dir. Pub.

18030StoriaEconomica

30025Matematica

33628Microeconomia

xjwjVoto(xj)Esame(j) 12

P ro p ri e tà d e lla m e d ia a ri tm e ti c a

•Proprietà1 (consistenza): Se la distribuzione ècostituita da n termine tutti pari ad a, la media della distribuzione sarà anch’essa pari ad a: aa nx

n j==∑ =1

1 •Proprietà2 (monotonia): Date due distribuzioni unitarie con n termini, rispettivamente, x1,x2,..,xne y1,y2,..,yn, se vale la condizione xj≤yjper ogni j, e almeno una volta xj< yj, allora yx<

(4)

13

•Proprietà3: La somma algebrica degli scarti dalla media è nulla:

( )

0 1=−∑ =n jjxx Esempio 156

27

23

30

28

21

27

Votoin stat. (xi) 0Totale

16

-35

44

23

-52

11

ScartoUnitàstatistica(i) 26156 61 =⋅=x14

•Proprietà4: La media minimizza la distanza al quadrato di ogni modalitàda una costante

( )

∑ =−

n jjcx 1

2 èminimoperxc= Esempio 5619164251

Scarto 01-342-51

Scarto 154

27

23

30

28

21

27

Votoin stat. (xj) Totale

6

5

4

3

2

1

Unitàstatistica (j) 26156 61 =⋅=x

xxj−

( )

2 xxj− 15

•Proprietà5 (di internalità): La media èsempre compresa tra il minimo e il massimo della distribuzione kxxx≤≤1 •Proprietà6 (invarianza rispetto a trasformazioni lineari): se a ogni termine della distribuzione viene applicata la trasformazione aX+ b, allora la media saràpari a bxa+ 16

Esempio 76,168

15,605

11,518

22,293

11,890

14,862

Prezzoin € (yj=0,7431•xj) 102,5

21

15,5

30

16

20

Prezzoin $ (xi) Totale

5

4

3

2

1

Unitàstatistica(i) 5,205,102 51 =⋅=x

•Da un sito web americano vengono acquistati 5 libri. Il prezzo èespresso in dollari e si vuole conoscere il prezzo medio in euro 234,15168,76 51 =⋅=y 234,155,207431,07431,0=⋅=⋅=xy