Matematica Compito A
1. Dire se la funzione f (x) = x3 − 1 `e invertibile nel suo dominio di definizione e calcolare la funzione inversa.
2. Risolvere con il metodo di Gauss il seguente sistema di equazioni lineari
x − y − 2z = 1
−2x − y − z = −1
2y − 3z = 0
3. Dati i punti A = (1, −2, 3) e B = (−2, 1, 4)determinare: l’equazione della retta AB. Dopo aver verificato che la retta AB non passa per l’origine,determinare l’equazione del piano perpendicolare alla retta AB e passante per l’origine.
4. Classificare la trasformazione lineare
−12 −
√3 2
√ 3 2 −12
v1 v2
+
−2 1
=
x y
e applicarla al quadrato di vertici A = (1, 0), B = (3, 0), C = (3, 2) e D = (1, 2).
5. Dire quale tra i seguenti vettori `e perpendicolare alla retta nel piano avente equazione 2x − 7y + 3 = 0
a) ~u = (7, 2) b) ~u = (2, −7) c) ~u = (2, 7)
Matematica Compito B
1. Date le funzioni f e g determinare l’espressione della funzione composta f ◦ g nei seguenti casi:
(a) f (x) = sin x e g(x) =√
x − 1 ; (b) f (x) = ex e g(x) = x2− 1
2. Dati i due vettori ~a = (1, 3, 2) e ~b = (−2, 5, 0), determinare:
• ~a + ~b e |~a + ~b|,
• vers(~a) e vers(~b)
• il prodotto scalare ~a · ~b.
3. Dire se la matrice
A =
1 −1 3
0 2 0
−1 4 1
`e invertibile e calcolare A−1.
4. Determinare la trasformazione lineare di IR2 in IR2di riflessione rispetto alla retta 3x + 4y − 2 = 0 e applicarla al triangolo di vertici A = (2, 0), B = (5, 0) e C = (2, 2).
5. Dire quale tra i seguenti vettori `e parallelo alla retta nel piano avente equazione 4x + 5y + 3 = 0
a) ~u = (4, −5) b) ~u = (−5, 4) c) ~u = (4, 5)
Matematica Compito C
1. Dire se la funzione f (x) = −3x + 5 `e invertibile nel suo dominio di definizione e calcolare la funzione inversa.
2. Risolvere con il metodo di Gauss il seguente sistema di equazioni lineari
2x + y + z = 2
2x − 3y − 2z = −1
−x + y − 3z = 1
(max 8 punti)
3. Dati i due punti A = (3, −1, 2) e B = (5, 1, −3), detto ~v il vettore ~AB, determinare:
• le componenti di ~v,
• il modulo di ~v,
• vers(~v),
• il vettore opposto di ~v.
4. Trovare la trasformazione lineare ottenuta applicando in successione una riflessione rispetto alla bisettrice del II e IV quadrante, una traslazione che porta l’origine degli assi nel punto Q = (4, −2) e una omotetia di centro l’origine e k = −1, 5.
5. Quale, tra le seguenti, `e una coppia di vettori ortogonali?
2 u = (−2, 0); v = (1, 0) 2 u = (−1, 1); v = (1, 1) 2 u = (3, 1); v = (1, 3) 2 u = (3, −2); v = (−2, 3)
