COMPITO di ANALISI MATEMATICA 13/1/2021

(1)

COMPITO di ANALISI MATEMATICA 13/1/2021

I M 1) Sapendo che / œ / $  3 , calcolare .D

#

D 

 

$

Applicando la definizione di esponenziale complessa: /^B3C œ /^BcosC  3senC e dato che

/ œ / $  3 œ /  3 œ /  3 / œ /

# # # ' '

$ " "" ""

D  D

   

$ " "

$ $

cos 1 sen 1 si ha ^"$3^""'1

e quindi D œ "  3"" .

$ '

1

I M 2) Data la funzione 0 Bß C œ , determinare l'opportu-

B B  C

B  C À Bß C Á !ß !

5 À Bß C œ !ß !

 





     

   

# #

no valore di che rende la funzione continua nel punto 5  !ß ! , e determinare poi se in tale punto la funzione risulti anche differenziabile.

Calcoliamo lim passando a coordinate polari ed avremo:

   BßC Ä !ß!

# #

B B  C B  C

 

lim lim lim

   BßC Ä !ß!

# # $ # #

# # Ä! # Ä!

B B  C 

B  C  Ê   œ  # œ !

4 4 cos* cos * sen * 4 cos cos .

4 4 * *

La convergenza è uniforme in quanto 4cos* cos#*Ÿ4. Quindi la funzione è continua in  !ß ! se 5 œ !.

Passando al calcolo del gradiente, avremo poi:

`0 0 !  2ß !  0 !ß ! 2 2  ! " 2

`B !ß ! œ lim  2   œ lim 2  !  † 2 œlim 2 œ " à

2Ä! 2Ä! 2Ä!

#

`0 0 !ß !  2  0 !ß ! ! !  2 "

`C !ß ! œ lim  2   œ lim !  2  † 2 œ ! Þ

2Ä! 2Ä!

#

# #

Quindi f0   !ß ! œ "ß ! .

Per la differenziabilità in  !ß ! dobbiamo infine verificare se:

   BßC Ä !ß!lim # #

0 Bß C  0 !ß !  !ß ! † B  !ß C  ! B  !  C  !

      œ !

   

f0  ovvero se:

lim lim

   BßC Ä !ß!    BßC Ä !ß!

# # # # $ #

# # # #

     

    

B B  C " B B  C  B  BC

B  C  B œ œ !

B  C B  C B  C

2 2 † 2 2 .

Passando a coordinate polari si ha:

4Ä!lim

$ $ #

$

# #

cos cos cos sen

cos cos cos cos sen

4 * * * * *

4 * * * *

  #      

œ #   œ

œcos*cos#* " Þ Dato che il limite è uguale a solo per particolari valori di , la fun-! * zione non è differenziabile in  !ß ! Þ

I M 3) L'equazione 0 Bß Cß D œ #BC  /  ^DB /^DC œ !, soddisfatta nel punto "ß "ß ", definisce una funzione implicita Bß C Ä D Bß C  ; di questa funzione determinare leD derivate prime nonchè l'espressione dei differenziali totali primo d e secondo d .D ^#D Determinare poi l'espressione esplicita di D œ D Bß C .

La funzione 0 Bß Cß D  è differenziabile a Bß Cß D −  ‘^$, con 0 "ß "ß " œ #  "  " œ !  .

(2)

Risulta poi: f0Bß Cß Dœ #C  /^DBà #B  /^DCà  /^DB /^DCÞ Quindi f0"ß "ß "œ $à $ à  #.

Dato che 0 "ß "ß " œ_D^w   #Á ! si può definire una funzione implicita Bß C Ä D Bß C   le cui derivate prime saranno uguali a:

`D $ $ `D $ $

`B     # # `C   # #

   

"à " œ  0 "ß "ß " œ  œ à "à " œ  œ  œ Þ 0 "ß "ß " 0 "ß "ß "

0 "ß "ß "

Bw

w w

D D

Cw

E quindi anche dD œ `D "à " dB  `D "à " dC œ $dB  $dC Þ

`B  `C  # #

Abbiamo poi ‡ 

 

Bß Cß D

 / # /

#  / /

/ /  /  /

œ

DB DB

DC DC

DB DC DB DC da cui poi:

‡ 

 

 

"ß "ß " D œ 

 " # "

#  " "

" "  #

0 Bß Cß D

œ e dalla: d_# d^# 0 si ha:

Dw

d_# d ^# d ^# d ^# d d d d d d

D œ   " B   " C   # D  % B C  # B D  # C D œ

 #

           

 

† † †

d_# d ^# d ^# d _# d d d d d d

D œ  B  C  D  # B C  B D  C D

# #

     

e sostituendo dD œ $dB  $dC œ $ dB  Cd otteniamo:

# # # 

d_# d ^# d ^# d d _# d d d d d d d d

D œ  B  C  B  C  # B C  B B  C  C B  C œ

# #

    *  $   $  

% # #

d^#D œ  "  *  $ dB ^#  "  *  $ dC ^#  *  #  $  $ d dB C œ

# % # # % # # # #

       

d^#D œ  & dB ^#  & dC ^# "d d .B C

%  %  #

Da 0 Bß Cß D œ #BC  /  ^DB  /^DC œ ! segue #BC  / /^{D B} / /^{D C} œ ! da cui:

/ /  / œ #BC / œ #BC D œ #BC œ

/  / /  /

D B C D

B C B C

  Ê Ê log 

Ê D œ #BC /

/  /

log .

BC B C

I M 4) Data 0 Bß C œ B  $BC  #C  ^# ^#, siano e i versori di @ A   "ß " e "ß  ". Sapendo che W@0 P! œ# e che WA0 P! œ ##, si determini P e si calcoli poi ! H@^#_ßA0 P! . La funzione 0 Bß C œ B  $BC  #C  ^# ^# risulta differenziabile due volte a Bß C −  ‘^#.

Quindi W@ P! P! W# P! P!

0 œ f0 † @ e @ßA0 œ @ †‡0 † A^X. Da f0Bß C œ #B  $Cà %C  $B   otteniamo À









        

W W

@ ! !

A ! !

0 #B  $Cà %C  $B œ #

0 #B  $Cà %C  $B œ # #

P P

œ f0 † @ œ †

œ f0 † A œ †

" "

# #

" "

# #

 

ß ß 

Ê

#B  $C  %C  $B # C  B # C # B

#B  $C  %C  $B % &B  (C % &B  (B  "% % C (

œ œ œ B  œ  *

œ Ê œ Ê œ Ê œ  .

Quindi P_! œ  *ß  ( . Risulta poi #  $  *ß  (

 $ %

  ‡Bß C œ  œ‡  per cui:

(3)

W_@ßA^# 0 ! #  $ œ

 $ %  

   

   

P œ ^"_# ^"_# † † œ ^"_# ^"_# †

" &

# #

"

#

(

#

     

 

œ &  ( œ  "

# # Þ

II M 1) Risolvere il problema .

Max/min s.v.:





   



0 Bß C œ B C  "

B Ÿ "  C

" Ÿ B  C

#

La funzione obiettivo del problema è una funzione continua, i vincoli definiscono una regione ammissibile che è un insieme compatto, e quindi possiamo applicare il Teorema di Weier-X strass. Sicuramente la funzione ammette valore massimo e valore minimo.

Per risolvere il problema utilizziamo le condizioni di Kuhn-Tucker.

Scriviamo il problema nella forma

Max/min s.v.:





   



0 Bß C œ B C  "

B  C  " Ÿ !

"  B  C Ÿ !

# Þ Formiamo la funzione Lagrangiana:

ABß Cß- -_"ß _#œB C  "   -_"B  C  " ^#  -_#"  B  C. Applicando le condizioni del primo ordine abbiamo:

1) caso -_" œ !ß-_# œ ! À

 

 

 

 

 

 

A A

wB wC

œ C  " œ ! œ B œ !

Ê Ê

B œ ! C œ  "

B  C  " Ÿ !

"  B  C Ÿ !

!  "  " Ÿ ! Ÿ ! À

#

"

!ß  " Â Þ

 !  " NO

X

2) caso -_" Á !ß-_# œ ! À

 

 

 

 

 

A -

-

- - - -

- - -

wB "

wC "

"

" " # "

"

#" " "

œ C  "  œ ! œ B  # C œ !

Ê Ê

C œ  "

B œ #  " œ #  #

#  # œ  "

B œ "  C

"  B  C Ÿ !

" 

"  B  C Ÿ !

#   #

 

Ê Ê

C œ  "

B œ #  " œ #  #

$  % œ  %

B œ ! C œ  "

B œ C œ

 

  

  

  

 







 -

- - - -

"

" " # "

"

#" " " " " "

 

$ œ !

"  B  C Ÿ !

œ !

Ÿ !à œ  !

"   Ÿ !

"

∪ à

 !  " NO

)

"*

$% )$ "

* $

Essendo -" œ %  ! il punto ) "ß potrebbe essere di Massimo.

$ * $

3) caso -" œ !ß-# Á! À

  

  

  

  

  

A -

- -

- - -

wB #

wC #

#

# # #

œ C  "  œ ! œ B  œ !

C œ "  B Ê Ê

B œ  C œ  " 



B œ "

C œ ! B  C  " Ÿ !

œ "

B  C  " Ÿ !

œ  "  !

"  !  " Ÿ !

# #

 "  Þ

Essendo -_# œ  "  ! il punto  "ß ! potrebbe essere di Minimo.

(4)

4) caso -_" Á!ß-_# Á! À

  

  

  

  

  

A - -

- - - -

- - -

wB " #

wC " #

" # " #

# " #

œ C  "   œ ! œ B  # C  œ !

"  B B œ " 

Ê ∪ Ê

B œ " B œ !

C œ ! C œ "

"   œ ! #   œ !

"  œ !  œ !

C œ

C^#  #

Ê ∪

B œ " B œ !

C œ ! C œ "

œ ! œ  #  !

œ  "  ! œ  %  !

 

 

 

 

- -

- -

" "

# #

.

Essendo i valori dei - non positivi, i punti    "ß ! e !ß " potrebbero essere di minimo.

Studiamo la funzione obiettivo sul vincolo B œ "  C^#.

Si ha 0 "  C ß ^# C œ "  C^#C  " œ C  "  C  C Ê 0 C œ "  $C  #C ! ^$ ^# ^w  ^# . Da cui $C  #C  " Ÿ ! Ê C œ  "„ "  $ œ  "„# . Quindi:

$ $

# 

0 C !  " Ÿ C Ÿ " Ê ! Ÿ C Ÿ " C œ " Ê B œ )

$ $ $ *

w  per . Se .

Il punto ) " risulta essere di Massimo con ) " $#.

* $ß 0 * $ß œ #(

Studiamo la funzione obiettivo sul vincolo C œ "  B.

Risulta 0 Bß "  Bœ B"  B " œ #B  B Ê 0 B œ #  #B ! ^# ^w  per ! Ÿ B Ÿ ". Se B œ ! Ê C œ ". Il punto  !ß " risulta essere un punto di minimo con 0 !ß " œ0. Se B œ " Ê C œ ! Il punto .  "ß ! non è un punto di minimo e neppure di massimo.

(5)

II M 2) La matrice è la matrice Hessiana di una funzione diffe- 1

1

‡ œ

5 !

" # "

5  " 5  "

 

renziabile due volte, calcolata in un punto stazionario. Si determini la natura di tale punto stazionario.

Dato che la funzione è differenziabile due volte, la matrice Hessiana è sicuramente una matrice simmetrica, quindi 5 œ ".

Quindi sarà

1

‡ œ Þ

" !

" # "

! " #

 

Applichiamo le condizioni del secondo ordine e studiamo i minori di guida:





  

 

‡

"

œ "  ! œ #  ! œ #  ! à









   

‡

#

œ " " œ #  "  !

" #

œ # " œ %  "  !

" #

à

 

   

     

‡_$ œ œ œ " † œ "  ! Þ

" ! " !

" # " ! " "

! " # ! " #

" "

" #

1 1

Quindi





  

 

‡

"

#

$

 !

ed il punto risulta di minino.

(6)

II M 3) Risolvere il sistema di equazioni differenziali: .

B œ #B  #C sen C œ B  $C  >

w w

B œ #B  #C H  #  #    B ! 

C œ B  $C  > Ê † œ Ê

 " H  $ C >

w

w sen sen

Ê H  #  # B œ !  # Ê

 " H  $ > H  $

   sen 

Ê H  &H  % B œ H  $ !  # ^#      sen> œ #sen> Þ

Da B  &B  %B œ !^ww ^w otteniamo -^# &  % œ- - "- %œ ! e quindi le soluzioni -_" œ "ß-_# œ % , da cui la soluzione generale dell'equazione omogenea per B >  che sarà:

B > œ - /  - /  " > # %>.

Per trovare una soluzione della non omogenea usiamo B œ 7_! sen>  5cos> Þ Quindi B œ 7^w_! cos>  5sen e > B œ  7^w_!^w sen>  5cos .>

Sostituendo in B  &B  %B œ #^ww ^w sen si ha> À

 7sen>  5cos>  & 7  cos>  5sen>  % 7  sen>  5cos> œ #sen>

 7  &5  %7sen>   5  &7  %5 cos> œ#sen>

&5  $7sen>  $5  &7 cos> œ#sen> e quindi:

&5  $7 œ #  

$5  &7 œ

& 7  $7 œ 7 œ # 5 œ 7

7 œ

5 œ Þ

! Ê Ê

& $%

$ $

&

$

"(

&

"(

Quindi B > œ - /  - /   " > # %> $ sen>  & cos .>

"( "(

Dalla prima equazione ricaviamo C œ " B  #B

# ^w  e quindi:

C > œ " - /  %- /  >  >  # - /  - /  >  >

  #  ^" ^> ^# ^%^> $ &  ^" ^> ^# ^%^> $ & 

"( cos "(sen "(sen "(cos e quindi:

C > œ " - /  - /  >  > Þ

  # " > # %> "" (

$%sen $%cos

II M 4) Data œBß C − ‘² À B Ÿ C Ÿ$ Bà " Ÿ B  C Ÿ %^# ^# , calcolare:

 



d d mediante opportuna sostituzione in coordinate polari.

BC B C

Vista la regione di integrazione:

(7)

operando la sostituzione in coordinate polari, si ha:

     



BC B C œ d d cos sen † d d œ cos sen d d œ

1 1

% %

$ $

" "

# #

# $

4 * * 4 4 * 4 * * 4 *

œ " œ " "'  " œ

% %

₁   ₁  

1 1

% %

$ $

4^% * * * * * *

"

#

cos sen d cos sen d

œ "& œ "& œ "& " œ

% ₁ % ₁   % # 

1 1

% %

$ $

%

sen cos d* * * sen d sen* * sen^#* $

œ "& $  " œ "& Þ ) % # $#