La Parabola
Di cosa si tratta?
Una parabola può essere definita come luogo
geometrico nel modo seguente:
• Una parabola è l'insieme dei punti del piano
equidistanti una retta r
(detta direttrice) e da un
punto F (detto fuoco) non
contenuto in r.
Galileo e la Parabola
Galileo per primo dimostrò che la traiettoria descritta
da un proiettile è un arco di parabola.
Nell’introduzione alla terza giornata dei Discorsi egli
scrive:
“Nulla v'è, forse, di più antico del moto, e su di esso ci sono non pochi volumi, né di piccola mole, scritti dai filosofi; tuttavia tra le sue proprietà ne trovo molte che, pur degne di essere conosciute, non sono mai state finora osservate, nonché dimostrate.
[ ... ] E' stato osservato che i corpi lanciati, ovverosia i proietti,
descrivono una linea curva di un qualche tipo; però, che essa sia una parabola, nessuno l'ha mostrato. Che sia cosi, lo dimostrerò insieme ad altre non poche cose, né meno degne di essere conosciute, […] .”
Come si pensavano dunque queste “linee curve”?
Prima che Galileo giungesse ad una dimostrazione del moto parabolico dei
proiettili, queste cadute, come lui stesso ci
testimonia insieme alla foto adiacente, erano pensate come “linee curve” , ovvero,
caratterizzate da una ascesa rapida e
sostanzialmente lineare e
da una caduta verticale
attraverso un angolo a
gomito.
La disputa del brevetto
In realtà l'enunciazione e la dimostrazione del moto parabolico dei proiettili venne pubblicata per la prima volta dal Cavalieri nel 1632 nel libro Specchio ustorio, attestando però in una lettera allo stesso Galileo di haver imparato in gran parte da lei ciò ch 'io tocco in questa materia.
Galileo ne rimase molto amareggiato e in una lettera del settembre 1632 scriveva:
lo non posso nascondere tale avviso essermi stato di poco gusto, nel vedere come di un mio studio di più di 40 anni mi deva esser levato allle primizie, e sfiorata quella gloria che tanto avidamente desideravo
e mi promettevo da si lunghe fatiche; perché veramente il mio primo intendimento, che mi mosse a specular sopra 'l moto, fu il ritrovar tal
linea, la quale se ben ritrovata, è poi di non molto difficile
dimostrazione.
Lo strumento
Con questo strumento, di grande efficacia didattica, si può verificare la legge di composizione dei moti della cinematica del punto
materiale, qui approssimato con una piccola biglia di metallo. In particolare si ha l'immediato riscontro visivo che un corpo
soggetto all'accelerazione di gravità e scagliato in avanti con una certa velocità descrive, cadendo a terra, un tratto di parabola appartenente al piano individuato dai due vettori (velocità e accelerazione di
gravità) che caratterizzano il suo
moto .
Quali sono le componenti dello strumento?
Lo strumento si compone di pochi ma essenziali elementi:
• La rampa, dove la biglia potrà incrementare la sua velocità,
• Il compensato sul quale è tracciata la parabola ideale che la nostra pallina dovrà seguire in linea di massima,
• Gli anelli, fissati nel compensato, consentono anche a chi non dispone di attrezzi sofisticati di determinare la traiettoria della biglia,
• La fossetta d’arrivo, dove terminerà la corsa della pallina e di conseguenza il nostro
esperimento.
L’esperimento
La rincorsa
Lo stacco
Il volo
L’atterraggio
La spiegazione fisica…
Manovrando il dispositivo di rilascio della biglia, essa percorre lo scivolo incrementando gradualmente la propria velocità. Quindi, non appena la
biglia lascia lo scivolo con una certa velocità (con direzione parallela al suolo per costruzione), essa si troverà soggetta all'accelerazione di gravità:
il piano di traiettoria risulta dunque perpendicolare al suolo. Ora si immagini un piano cartesiano con vertice posizionato in corrispondenza della fine dello scivolo, asse delle y orientato verso il basso e asse delle x orientato nel senso del moto. Per studiare la traiettoria della biglia si analizzano i due
moti indipendenti lungo gli assi del sistema di riferimento scelto e precisamente:
• il moto rettilineo uniforme lungo x di equazione x = v0t, in cui t è il tempo e v0 la velocità lungo x di distacco della biglia (velocità che si mantiene
costante fino all'arrivo al suolo);
• il moto uniformemente accelerato verso il basso di equazione y = ½ gt2, con g l'accelerazione di gravità che, in una regione ristretta della superficie terrestre, si può considerare con buona approssimazione costante durante il moto in direzione e modulo (è evidente che in questo ragionamento non si tiene conto della resistenza dell'aria, altrimenti la funzione sarebbe diversa).
Per avere l'equazione della traiettoria è sufficiente a questo punto esprimere y in funzione di x: ciò che si ottiene è l'equazione y = gx2/(2v02) che
rappresenta una parabola, come volevasi dimostrare.
…ed alcune piccole problematiche
Gli anelli di controllo della traiettoria sono leggermente più grandi delle
dimensioni della biglia e questo perché il suo moto di caduta è disturbato da vari fattori:
• la non perfetta perpendicolarità dello strumento;
• la resistenza dell'aria atmosferica che distorce leggermente la traiettoria;
• l'attrito che la biglia subisce ad opera del contatto col precedente tratto di guida, che incide sulla velocità al momento del distacco (essa non è mai uguale, ma sempre leggermente diversa caduta per caduta);
• gli urti della pallina sulle guide laterali, che modificano la direzione del
vettore velocità al momento del distacco (essi comportano un piccolissimo e imprevedibile spostamento laterale di direzione perpendicolare al piano su cui giace la traiettoria di caduta della biglia.
Per tutte queste cause di disturbo la traiettoria della pallina non si può descrivere con una "curva di traiettoria" (propria del caso ideale), ma attraverso un "tubo cilindrico di traiettoria" di forma parabolica di cui gli
anelli di controllo ne segnano a intervalli la superficie ideale. La biglia è dunque libera di percorrere qualsiasi traiettoria che stia all'interno del "tubo
cilindrico" la cui curva di traiettoria ne è l'asse.
