CO C ON NI IC C HE H E e e f fo or rm mu ul le e d di i t t ra r as sl la az zi io on ne e
Una Conica è il luogo geometrico dei punti del piano generato dall’intersezione tra un cono e un piano non passante per il vertice del cono. L’equazione di una Conica nel piano cartesiano è una funzione algebrica di secondo grado del tipo:
2 2
0 Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + = F
conica è il luogo geometrico dei punti del piano… Discriminante
2 4
B AC
∆ = − eccentricità
Equazioni canoniche
Parabola
“paragone, confronto”
…equidistanti da un punto fisso detto
FUOCO e da una retta d detta DIRETTRICE ∆ = 0 e = 1
y = ax
2+ bx + c x = ay
2+ by + c
Circonferenza
“ellisse equilatera”
… equidistanti da un punto fisso detto CENTRO
∆ < 0
0
e = x
2+ y
2+ α x + β y + = γ 0
Ellisse
“mancanza”
…per cui è costante la somma delle
distanze da due punti fissi detti FUOCHI e < 1 x
22y
221 a + b =
Iperbole
“eccesso”
… per cui è costante la differenza delle
distanze da due punti fissi detti FUOCHI ∆ > 0 e > 1
2 2
2 2
1
x y
a − b = ±
(riferita ai propri assi)xy = k
(iperbole riferita ai propri asintoti)Eseguendo una traslazione di assi cartesiani che porti l’origine del nuovo sistema di riferimento XO Y ′ nel punto O x y ′ ( 0;
0) in modo che sia ;
2 2
D E
O A C
′ − −
si ottiene l’equazione di una conica con centro nell’origine.
FORMULE DI TRASLAZIONE:
00
x x X y y Y
= +
= +
Es.1:
x
2+ y
2− 6 x − 4 y + = 4 0
,∆ = − < 4 0
la circonferenza traslata è:X
2+ Y
2= 9
0
3
x =
ey
0= 2
Es.2:
4 x
2− 4 x + 2 y + = 6 0
,∆ = 0
la conica è una parabola e non ha centro0
1
x = 2
ey
0= non esiste
Es.3:
9 x
2+ 16 y
2− 36 x − 96 y + 36 = 0
,∆ = − ⋅ ⋅ < 4 9 16 0
la ellisse traslata è:2 2
16 9 1 X + Y =
0
2
x =
ey
0= 3
Es.4:
4 x
2− 9 y
2− 24 x − 36 y + 36 = 0
,∆ = − ⋅ ⋅ − > 4 4 ( ) 9 0
la iperbole traslata è:2 2
9 4 1 X − Y = −
0
