CAPITOLO II

CAPITOLO II

Architettura di sistema

In questo capitolo verranno presentati i due tipi di ricevitori per segnali Spread-Spectrum (generati con la tecnica Direct-Sequence) che sono stati implementati durante la programmazione del simulatore. Il primo ricevitore proposto sarà quello a correlazione, che offre prestazioni ottime in caso di trasmissione di utente singolo su canale AWGN. In seguito saranno considerate trasmissioni su canale multipath e verrà analizzato il ricevitore Rake, mettendo in luce le caratteristiche che lo rendono ottimo per trasmissioni DS/SS (di utente singolo) su canali multipercorso.

Le simulazioni su canale multipath sono state effettuate sia nel caso di canale statico che tempo variante e, all’interno del capitolo, verrà spiegato come sono state risolte le problematiche legate all’implementazione numerica dei vari scenari di propagazione.

Infine, nell’ultima parte del capitolo, verranno presentate le configurazioni del simulatore e i parametri prestazionali, ovvero le condizioni sotto le quali sono state effettuate le simulazioni e ottenuti i risultati.

2.1 Ricevitore a correlazione per segnali DS/SS

Il ricevitore a correlazione rappresenta il ricevitore ottimo nel caso di trasmissioni DS/SS di utente singolo su canale AWGN. Esso è il ricevitore implementato nella prima parte di questo studio, relativa a trasmissioni DS/SS su canali gaussiani. In questo paragrafo non si analizzeranno i risultati delle trasmissioni simulate (cosa che verrà fatta nel capitolo 3), ma si realizzerà una trattazione generale sulle caratteristiche e sul funzionamento del ricevitore. Come visto nel capitolo precedente, il segnale DS/SS analogico, all’uscita del filtro di trasmissione, è ( )

_{( )}

_[

_]

₍

// ss T L k

)

c s t A d k M c k g t kT ∞ =−∞ ⎡ ⎤ = ⋅

∑

⋅ _{⎣ ⎦}⋅ − (2.1)

ed ha rate R_c =1/T_c. Normalmente, si utilizzano impulsi di trasmissione a radice di coseno rialzato,

( )

T g t

( )

RRCR α , realizzati numericamente con un filtro FIR digitale che opera a rate 1/R_sa =N_c⋅R_c = T_sa (spesso N_c = ). Quindi, il segnale digitale all’uscita del filtro 4

[ ]

T g n ha rate R e vale _sa

[

]

(

)

[

]

(

)

[

]

// // // sa c _L T sa c k c c _L T k s nT A d k M N c k g nT kT c A d k M N c k N g n kN ∞ =−∞ ∞ =−∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⋅ _⎣ ⋅ _{⎦ ⎣}⋅ _⎦⋅ − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⋅ _⎣ ⋅ _{⎦ ⎣}⋅ _⎦⋅ −

∑

∑

(2.2)

dove k//

(

M N⋅ c

)

=int

(

k/

(

M N⋅ c

)

)

e k//Nc L =k//NcmodL. Dopo il filtro gT

[ ]

n , prima della trasmissione sul canale, vengono create le componenti in fase e quadratura con un modulatore I/Q e il segnale è traslato a radio frequenza.

Immaginiamo che la trasmissione del segnale (2.2) avvenga su un canale AWGN, in tal caso il segnale (analogico) all’ingresso del ricevitore sarà

( )

( )

( )

BP BP BP

r t =s t +w t (2.3)

dove sBP

( )

t è la versione analogica, a radio frequenza, del segnale (2.2) e wBP

( )

t è il rumore, in banda passante, aggiunto dal canale. All’ingresso del ricevitore il segnale viene campionato a rate R e riportato in banda base con un demodulatore I/Q ovviamente _sa legato ad un’unità di recupero della portante. In fig. 13 è mostrato lo schema a blocchi del ricevitore, [Gia03], nel quale bisogna considerare che esistano due rami equivalenti sia per la componente in fase che in quadratura.

[ ]

R

g

m

[ ] r m y m[ ] y l[ ] y nd[ ] z i[ ] [ ] c n

Figura 13: Diagramma a blocchi del ricevitore a correlazione in banda base

Il filtro g_R

[ ]

m è adattato al filtro di trasmissione ed è anch’esso un impulso a radice di coseno rialzato. Dunque, chiamando r m l’equivalente in banda base del segnale (2.3)

[ ]

campionato a rate R , il segnale all’uscita di tale filtro è sa

[ ] [ ]

[ ]

(

[ ] [ ]

)

[ ]

(

)

[

]

[ ] [ ]

// // R R c c_L T c R k y m r m g m s m w m g m A d k M N c k N g m kN g m n m ∞ =−∞ = ⊗ = + ⊗ = ⎡ ⎤ = ⋅

∑

⎡_⎣ ⋅ ⎤_{⎦ ⎣}⋅ _⎦⋅ − ⊗ + (2.4)

dove n m

[ ]

=w m

[ ]

⊗g_R

[ ]

m è un processo gaussiano a media nulla e varianza che rappresenta il contributo del rumore dopo il filtro

2 0/ n N Ts σ = a

[ ]

R

g m . Osservando la parte utile del

segnale (2.4) si nota che vi è presente un’operazione di convoluzione tra g_T

[ ]

m e g_R

[ ]

m che, per quanto detto sono due impulsi RRCR

( )

α . Dalla letteratura sappiamo che la convoluzione di due impulsi a radice di coseno rialzato dà luogo a un impulso a coseno rialzato RCR

( )

α che, nel caso del segnale in esame, sarà numerico con rate R_sa. Un filtro a coseno rialzato, ha le seguenti caratteristiche:

[ ]

[ ]

0 1 0 m 1, 2,... g g mT ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪ _{= = ±} ⎩ ± (2.5)

dove, nel nostro caso, . Grazie a questa proprietà, nel caso di filtro di ricezione perfettamente adattato, l’interferenza intersimbolica (ISI) è nulla.

c T =T

Dopo il filtraggio, il segnale, viene sottocampionato da un decimatore (fig. 13) che riporta il rate a R semplicemente estraendo dalla sequenza c y m un campione ogni

[ ]

. Il segnale all’uscita del decimatore è dunque

c N

[ ]

[

]

'

[ ]

// L y l = ⋅A d l M ⋅c l⎡ ⎤_{⎣ ⎦}+n l (2.6)

dove è ancora un processo gaussiano a media nulla, la cui varianza risulta .

[ ]

' n l ' 2 2 0 0 / / n c c sa n N N N T N T σ =σ = = / _c

A questo punto si rende necessaria la rimozione della sequenza di spreading. Ricordando che il segnale trasmesso era stato generato con tecnica Direct-Sequence (ovvero moltiplicando lo stream di dati per la sequenza di spreading) e tenendo conto che

2

1

L

c ⎡_⎣k ⎤ =_⎦ , l’operazione di despreading viene effettuata moltiplicando il segnale in uscita dal decimatore per una replica locale della sequenza di spreading. Nel caso di corretto allineamento temporale tra la sequenza di spreading contenuta nel segnale e la sua replica locale, dopo il despreading si ha

[ ] [ ]

[

]

[ ]

[

] [ ]

2 // // d L L y n y n c n L A d n M c n n n c n A d n M b n ⎡ ⎤ = _{⋅ ⎣ ⎦} ⎡ ⎤ ⎡ = ⋅ ⋅ _{⎣ ⎦}+ ⋅ _⎣ ⎤ = ⋅ + ⎦ (2.7)

dove b n

[ ] [ ]

=n n c n⋅ ⎣ ⎤⎦⎡ _L è la componente di rumore statisticamente equivalente a n m '

[ ]

la cui varianza vale, dunque, 2 2 .

0 0

/ /

b n Nc N N Tc sa N T

σ =σ = = / c

A partire dal segnale y m , il ricevitore crea delle variabili sulle quali, simbolo per _d

[ ]

simbolo, verranno effettuate le decisioni. A causa dello spreading, l’informazione contenuta in un simbolo di durata T , è stata espansa su s M chips di durata . Per questa ragione, il ricevitore, potrà creare una variabile di decisione soltanto dopo aver osservato

c T

M chips. Il procedimento ottimo, in questo caso, consiste nell’effettuare un’integrazione numerica di periodo M , cioè nel creare le variabili

[ ]

1 iM M 1

[ ]

1 iM M 1

[ ]

d L l iM l iM z i y l y l c l M M + − + − = = ⎡ ⎤ = ⋅

∑

= ⋅

∑

_{⋅ ⎣ ⎦} (2.8)

sostituendo la (2.7) nella (2.8) si ottiene

[ ]

1

[

]

1

[ ]

[ ] [ ]

1 1 // iM M iM M l iM l iM z i A d l M b l A d i i M M ν + − + − = = =

∑

⋅ +

∑

= ⋅ + (2.9)

in cui ν

[ ]

i è il termine di rumore gaussiano a media nulla e varianza 2 2 2 b n 0 c c sa s N N₀ M M N M N T T ν σ σ σ = = = = ⋅ ⋅ ⋅ (2.10)

Osservando la (2.8), si nota che le operazioni di accumulazione e despreading sul periodo

M effettuate dal ricevitore coincidono con il calcolo della cross-correlazione tra il segnale ricevuto y l e la replica locale della sequenza di spreading

[ ]

L

c l⎡_⎣ ⎤_⎦ . Tale calcolo, effettuato sull’i-esimo periodo di simbolo, porta alla creazione dell’i-esima statistica z i .

[ ]

Questa è la ragione per cui questo tipo di ricevitore è detto ricevitore a correlazione. L’operazione descritta in (2.8) rende chiaro quanto sia importante il corretto allineamento temporale tra la sequenza di spreading contenuta nell’i-esimo periodo e la sua replica locale.

Se (vedi fig. 14) la replica creata dal ricevitore fosse corretta, ma ritardata di un tempo (pari alla durata di un chip), il ricevitore calcolerebbe la statistica

c T

[ ]

z i (relativa all’i-esimo

simbolo) su M−1 chips dell’i-esimo periodo di simbolo e su un chip dell’(i+1)-esimo periodo generando, in tal modo, una statistica corrotta da errore.

Figura 14: Esempio di disallineamento della replica locale

Inoltre, dalla (2.9), è chiaro che le statistiche ottenute nel caso di trasmissione DS/SS su canale AWGN, sono equivalenti a quelle che si otterrebbero trasmettendo un segnale Narrow-Band sullo stesso canale. Ciò porta alla conclusione che le operazioni di spreading

e despreading sono completamente trasparenti per ciò che riguarda le performance del sistema in termini di Bit Error Rate (BER).

2.2 Ricevitore RAKE su canale multipath statico

Nel capitolo 1 si è visto che la propagazione del segnale in un ambiente fisico reale avviene per cammini multipli. Per questo motivo al ricevitore giungono una serie di repliche (ciascuna attenuata, sfasata e ritardata) del segnale trasmesso. In queste condizioni il segnale (in banda base) all’ingresso del ricevitore è

(2.11)

( )

(

)

( )

1 R l N j l l l r t a eϕ s t τ w t = =

∑

⋅ ⋅ − +

dove a_l, ϕ_l e τ_l sono attenuazione, sfasamento e ritardo (perfettamente noti) relativi all’l-esimo percorso, s t

( )

il segnale DS/SS trasmesso, w t il termine di rumore e

( )

il numero di cammini considerati.

R N

In una situazione del genere il ricevitore a correlazione è lungi dall’essere il ricevitore ottimo poiché le repliche del segnale ricevuto generano una interferenza intersimbolica che rende le variabili di decisione z i calcolate come nella

[ ]

(2.8) meno robuste.

Per superare questo inconveniente Price e Green hanno proposto, nel 1958, un ricevitore formato da un banco di ricevitori DS/SS convenzionali che operano in parallelo. Tale ricevitore è chiamato Rake Receiver e i suoi rami indicati come fingers, perché la struttura del banco di ricevitori a correlazione in parallelo somiglia alle dita (in inglese fingers) di un rastrello (rake). Il ricevitore Rake, dunque, sfrutta a proprio vantaggio la presenza di diverse repliche del segnale trasmesso, estraendo da ognuna di esse una variabile di decisione parziale, combinabile in seguito (secondo uno scelto criterio) con le altre provenienti dagli altri fingers al fine di migliorare le prestazioni del sistema.

R N

Osservando la fig. 15 e riferendoci a [Gia03], analizziamo il funzionamento del Rake Receiver. In una prima fase, il demodulatore 1 si allinea al raggio che reca il maggior contributo in potenza all’interno del segnale multipath, cercando il più alto picco di

correlazione tra la replica locale della sequenza di spreading c k e il segnale ricevuto. Gli

[ ]

altri demodulatori cercano i picchi di correlazione relativi alle repliche successive, distinguibili dal picco principale perché di ampiezza minore a causa dell’attenuazione subita.

( )

R g t

( )

r t ( )1_{[ ]} y m ( )2_{[ ]} y m ( )3_{[ ]} y m [ 1] c m+δ [ 2] c m+δ [ 3] c m+δ 1 j a e− ∠ 2 j a e− ∠ 3 j a e− ∠ [ ] 1 z i [ ] 2 z i [ ] 3 z i [ ] z i

Figura 15: schema a blocchi di un ricevitore Rake con tre fingers

Al termine di questa operazione, se il ricevitore possiede un numero di fingers pari al numero di cammini , ogni finger sarà allineato ad una differente replica. In questo modo, ogni

R N

M tempi di chip , ciascun demodulatore fornisce una variabile dei decisione parziale

c T

[ ]

l

z i calcolata come nella (2.8) e, successivamente, corretta in fase mediante la moltiplicazione per _e−jϕl _{. Dunque, a differenza del ricevitore a correlazione, il Rake}

possiede variabili di decisione parziali che possono essere combinate per migliorare le prestazioni. La fase di selezione e combinazione delle uscite dei demodulatori è gestita dalla Combination Logic Unit (CLU) che controlla la Combination Unit (CU).

R N

Quest’ultima ha il compito di effettuare la combinazione delle variabili di decisione parziali secondo uno dei seguenti criteri:

1. Combinazione a Selezione (CS)

Viene scelta la variabile di decisione parziale maggiore in valore assoluto e inviata al decisore come variabile di decisione globale:

[ ]

_CS max

{

_l

[ ]

}

l

z i = z i (2.12)

2. Combinazione a Guadagno Costante (CGC)

La variabile di decisione globale è calcolata come somma di tutte le variabili di decisioni parziali corrette in fase:

[ ]

[ ]

1 R l N j l CGC l z i z i e−ϕ = =

∑

⋅ (2.13) 3. Combinazione a Massimo SNR (CMS)

La variabile globale è ottenuta come somma pesata di tutte le variabili di decisione parziali:

[ ]

[ ]

1 R l N j l l CMS l z i a z i e−ϕ = =

∑

⋅ ⋅ (2.14)

Il confronto tra i tre criteri di combinazione è stato effettuato, utilizzando il simulatore realizzato durante questa tesi, e verrà proposto nel capitolo 3.

Per avere più chiaro il comportamento del Rake Receiver e per metterne in luce le migliori prestazioni rispetto al ricevitore a correlazione, esaminiamo una trasmissione DS/SS su canale multipath a due raggi in cui l’attenuazione della prima replica vale , quella della seconda (normalizzata rispetto alla prima) vale e il ritardo, relativo a quello della

1 1

a =

2

prima replica, è pari a un multiplo intero m del tempo di chip . In questa situazione, dopo il filtraggio adattato e la decimazione (che porta il rate a

c T 1/ c c R = T ), si avrà il segnale

[ ] [

//

]

_L a1

(

)

// _L

[ ]

y k =d k M ⋅c k⎡_{⎣ ⎦}⎤+ ⋅d_⎣⎡ k−m M⎤_⎦⋅c k⎡_⎣ −m ⎤_⎦+w k (2.15)

in cui c k⎡⎣ ⎤⎦_L è la sequenza di spreading, w k rappresenta il rumore termico e i simboli

[ ]

[ ]

d k sono supposti appartenere a una costellazione BPSK.

Il ricevitore a correlazione effettua il despreading allineandosi temporalmente alla prima replica e moltiplicandola per una copia della sequenza di spreading c k . Dopo il ˆ

[ ]

despreading si avrà dunque il segnale

y_d

[ ] [

k =d k//M

]

⋅c k_⎣⎡ _L⎤ ⎡_{⎦ ⎣}⋅c kˆ _L⎦⎤+ ⋅a d_{1 ⎣}⎡

(

k−m

)

//M_⎦⎤⋅c k⎡_⎣ −m_L⎤ ⎡_{⎦ ⎣}⋅c kˆ _L⎤_⎦+ν

[ ]

k (2.16) dove ν

[ ]

k rappresenta il rumore termico.

Per le proprietà della sequenza di spreading c k c k

[ ] [ ]

⋅ˆ =c k2

[ ]

=1 , mentre

[

] [ ]

ˆ _c

[ ]

c k−m c k⋅ =R m , dove R n è la funzione di autocorrelazione della sequenza di _c

[ ]

spreading. Supponiamo che la sequenza c k sia delta-correlata, in tal caso

[ ]

R m_c

[ ]

= se 0

e la (2.16) può essere riscritta come 0

m≠

[ ] [

//

] [ ]

d

y k =d k M +ν k (2.17)

in cui il termine a d₁⋅ _⎣⎡

(

k−m

)

//M_{⎦ ⎣}⎤⋅c k⎡ −m_L⎤ ⎡_{⎦ ⎣}⋅c kˆ _L⎤_⎦ che generava ISI è sparito. A questo punto l’operazione di accumulazione descritta in (2.8) genera le variabili di decisione che risulteranno

[ ] [ ] [ ]

z i =d i +n i (2.18)

dove n i

[ ]

è il termine di rumore gaussiano, a media nulla e varianza σ . Le variabili di 2 decisione date dalla (2.18) coincidono con quelle che si avrebbero in una trasmissione BPSK Narrow-Band su canale gaussiano e conducono a un semplice calcolo della probabilità di errore

( )

1

(

[ ]

)

1

(

[ ]

)

| 1 | 1 2 2 P e P e d i P e d i Q 1 σ ⎛ ⎞ = = + _{= − = ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ (2.19)

Usando il ricevitore Rake, invece, il segnale (2.15) viene posto in ingresso a due ricevitori DS/SS operanti in parallelo. Come spiegato all’inizio di questo paragrafo, il primo si allineerà temporalmente alla prima replica e il secondo alla seconda. Considerando anche in questo caso una sequenza di spreading delta-correlata, all’uscita del primo demodulatore si avrebbe

[ ] [ ]

[ ]

1 1

z i =d i +n i (2.20)

mentre all’uscita del secondo

[ ]

[ ]

[ ]

2 2 2

z i = ⋅a d i +n i (2.21)

in cui si ricorda che è l’attenuazione (nota al ricevitore nel caso in esame) relativa al secondo percorso. Consideriamo che le variabili di decisione parziali vengano combinate a massimo SNR come da (2.14). La variabile di decisione globale sarebbe

2 a

[ ]

(

2

)

[ ]

[ ]

[ ]

2 1 2 1 z i = +a ⋅d i +n i + ⋅a n i₂ (2.22)

in cui supponiamo che n i e ₁

[ ]

n i siano variabili aleatorie estratte da processi ₂

[ ]

indipendenti gaussiani, a media nulla e varianza σ . 2

Chiamiamo adesso

[ ]

1

[ ]

2 2

[ ]

n i =n i + ⋅a n i (2.23)

essa rappresenta una variabile aleatoria gaussiana a media nulla (somma di due v.a. gaussiane a media nulla) e varianza

[ ]

{

2

}

{

2

[ ]

}

2

{

2

[ ]

}

2

(

1 2 2 1

)

2 2 E n i =E n i +a ⋅E n i =σ ⋅ +a (2.24)

essendo n i e 1

[ ]

n i v.a. indipendenti. 2

[ ]

Se, come in [Men01], poniamo

(

2

)

2

1

R= +a , la (2.22) può essere riscritta come

[ ]

[ ] [ ]

z i = ⋅R d i +n i (2.25)

dove n i

[ ]

è una v.a. gaussiana, a media nulla e varianza R⋅σ2.

Partendo dalla (2.25), ricordando che i simboli d i appartengono a una costellazione

[ ]

BPSK, possiamo calcolare la probabilità di errore del sistema:

( )

(

[ ]

)

(

[ ]

)

[ ]

(

)

(

[ ]

)

1 1 | 1 | 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 P e P e d i P e d i P n i R P n i R R R Q Q R R R Q σ σ σ 1 = = + = − = < − + > ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟}+ _{⎜ ⎟} ⋅ ⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎝ ⎠ (2.26)

Che rappresenta la di un sistema che utilizza il ricevitore Rake, nelle condizioni considerate. Sia nel caso del ricevitore a correlazione che del Rake, le probabilità di errore sono state espresse in funzione della

( )

P e

( )

1 2_{/ 2} 2 z x Q x e dz π ∞ −

∫

 (2.27)

la quale è una funzione monotona decrescente. Per il ricevitore a correlazione si era ottenuto P_Corr

( )

e Q 1

σ

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟_{⎝ ⎠}, mentre per il rake

( )

2 2 1 Rake a P e Q σ ⎛ ₊ ⎞ ⎜ = ⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟. Poiché 1 a+ 22 è

sempre maggiore di 1, e la funzione Q x è monotona decrescente, si conclude che il

( )

ricevitore Rake fornisce, a parità di condizioni, prestazioni migliori (in termini di BER) del

ricevitore a correlazione. Inoltre è facilmente dimostrabile che considerando un canale multipath con un maggior numero di cammini, il ricevitore Rake (con un numero di fingers pari ai cammini) fornisce prestazioni migliori in maniera più netta rispetto al ricevitore a correlazione.

Una parte dei risultati ottenuti col simulatore (che verranno mostrati nel prossimo capitolo) rappresentano il confronto effettuato tra ricevitore Rake e ricevitore a correlazione in termini di curve di BER.

2.3 Configurazioni del simulatore e parametri prestazionali

All’interno di questo lavoro di Tesi è stato realizzato, in ambiente C, un simulatore di trasmissioni Direct-Sequence/Spread-Spectrum su canali AWGN, multipath statici, multipath tempo varianti. Nella prima parte del paragrafo saranno presentate le scelte effettuate (rispetto a filtri, sequenza di spreading, fattore di spreading) in fase di programmazione, che rappresentano le condizioni sotto le quali i risultati delle simulazioni sono da considerarsi attendibili. Nella seconda sezione, invece, verrà trattata l’implementazione al calcolatore del canale multipath tempo variante. Verrà, cioè, spiegato in che modo è stata simulata numericamente la variazione nel tempo delle attenuazioni sui diversi cammini.

2.3.1 Parametri di sistema

Calcolo del tempo di chip

La prima parte del simulatore realizzato ha riguardato la generazione di un segnale Spread Spectrum con tecnica Direct-Sequence a partire da simboli QPSK. Gli impulsi utilizzati per la trasmissione sono a radice di coseno rialzato (RRCR

( )

α ). Essi presentano

1 1 2 2 BB RF BB c c B B T B T α α + + = ⇒ = ⋅ = (2.28)

La banda a radiofrequenza è stata fissata al valore B_RF =22MHz che corrisponde alla banda del canale ISM (Industrial, Scientific and Medical, banda su cui è possibile trasmettere senza licenza) a 2.4GHz per sistemi 802.11/b.

Per cui, imponendo tale vincolo e considerando impulsi con roll-off α=0.3, si ottiene

1.3 59.09 22 c T ns MHz = = (2.29)

Da questo valore, avendo sovracampionato il segnale a spettro espanso di un fattore N_c = , 4 si ricava che la durata di un campione del segnale trasmesso è

14.8 c sa c T T N = = ns (2.30) Spreading

La scelta della sequenza di spreading può avere molta influenza sulle prestazioni di un sistema DS/SS [Non96]. Come mostrato nel paragrafo 2.2, all’uscita del despreader di un ricevitore a correlazione si ha (considerando in ricezione solo due repliche del segnale trasmesso)

[ ]

[

//

]

1

(

)

//

( )

[ ]

d c

y k =d k M +a d⎡_⎣ k−m M_⎦⎤⋅R m +ν k (2.31)

dove R x_c

( )

rappresenta la funzione di autocorrelazione della sequenza di spreading e

[ ]

k

ν il fattore di rumore. Dunque, il simbolo trasmesso d k , è affetto da ISI legata al

[ ]

simbolo d k

[

−m

]

e tale interferenza è tanto più rilevante quanto maggiore è il valore assunto, in m, dalla funzione di autocorrelazione.

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 Rc(m) 60 50 40 30 20 10 0 m

Di conseguenza il caso (teorico) migliore si otterrebbe utilizzando sequenze di spreading delta-correlate, per le quali l’autocorrelazione vale

( )

0

c

R x = ∀ ≠ (2.32) x 0

funzioni di questo tipo esistono, ma presentano funzioni di cross-correlazione non ottimali per il caso di trasmissioni di utenti multipli.

Esiste però una classe di sequenze, dette sequenze di Gold, con funzioni di autocorrelazione “quasi” delta-correlate. Tali sequenze risultano ortogonali tra loro e quindi ottime nel caso di trasmissioni di più utenti. Nel nostro caso è stata utilizzata una sequenza di Gold lunga 63 campioni, la cui funzione di autocorrelazione è riportata in fig. 16.

Lo spreading è stato effettuato considerando un fattore di spreading pari alla lunghezza della sequenza. Si è cioè considerato M = =L 63. Come conseguenza di questa assunzione, ricordando che il fattore di spreading è definito come M =T T_s/ _c, si ricava che la durata di ciascun simbolo QPSK considerato è

63 59.09T_s =M T⋅ =_c ⋅ ns=3.72 µs (2.33)

e quindi R_s ≅268 Kbaud.

Modello di canale e banda di coerenza

Per questo lavoro si è fatto riferimento al modello di canale multipath a 6 raggi ITU Vehicular A per sistemi UMTS riportato in tabella 4.

Cammino Relative delay (ns) Average Power (dB) Average Power (linear)

1 0 0 1 2 310 -1 0.794 3 710 -9 0.126 4 1090 -10 0.1 5 1730 -15 0.032 6 2510 -20 0.01

La risposta in frequenza del canale multipath è:

( )

2 1 l N j f l l C f a e− π τ = =

∑

(2.34)

dove a_l e τl sono rispettivamente l’attenuazione e il ritardo riferiti all’l-esimo cammino e N è il numero di cammini considerati.

Per calcolare la banda di coerenza B abbiamo bisogno della deviazione standard dei _c ritardi

σ

_τ , definita come:

(

)

1 N l l l p τ σ τ τ = =

∑

− (2.35) dove 1 N l l l p τ τ = =

∑

(2.36)

è la media pesata dei ritardi, e

2 2 1 l l N k k a p a = =

∑

(2.37)

il peso del cammino l-esimo. Nel nostro caso si ottiene τ =253.48ns e σ_τ =369.93ns. La banda di coerenza, [Men01], è inversamente proporzionale a σ_τ e espressa in una relazione del tipoB_c =η σ/ _τ, in cui η dipende dall’ampiezza delle variazioni diC f

( )

su

c

B . Considereremo variazioni massime del 10% per le quali η assume valori prossimi a 0.02. Si conclude allora che, nel caso in esame, la banda di coerenza vale

La Banda di Coerenza rappresenta il massimo intervallo frequenziale in cui la risposta in frequenza del canale può essere considerata piatta.

Confrontando la Banda di Coerenza con il reciproco della durata di un simbolo trasmesso s

T (che è indice dell’occupazione di banda del segnale) si verifica che

1 1 268.81 3.72 c s KHz B T = µs = > (2.39)

per cui il canale considerato risulterà selettivo per il segnale considerato (qualora fosse modulato a banda stretta).

Filtri di trasmissione e ricezione

Il simulatore utilizza impulsi di trasmissione a radice di coseno rialzato, RRCR

( )

α dove α, fattore di roll-off, vale 0.3. In fig. 17 viene mostrata la risposta impulsiva dell’impulso di trasmissione numerico realizzato in fase di programmazione.

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 g[nTc] 40 30 20 10 0 nTc

In ricezione si è utilizzato ancora un impulso RRCR

( )

α poiché il risultato della convoluzione tra il segnale in ingresso al ricevitore e il filtro di ricezione dà luogo a un impulso a coseno rialzato RCR

( )

α grazie al quale l’ISI può essere contenuta entro valori accettabili. In fig. 18 la risposta impulsiva del risultato della convoluzione tra filtro di trasmissione e filtro di ricezione.

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 g[nTc] 80 60 40 20 0 _nTc

Figura 18: risposta impulsiva del risultato della convoluzione tre i due filtri RRCR

( )

α

2.3.2 Implementazione del canale tempo variante

Come analizzato nel paragrafo 1.4.2, nel caso in cui il ricevitore sia mobile, le attenuazioni, gli sfasamenti e i ritardi relativi a ciascun cammino del canale multipath non possono essere pensati come costanti, ma sono funzioni del tempo. Infatti, in questo caso, il segnale trasmesso non attraversa sempre lo stesso canale a causa del cambiamento di posizione del ricevitore. In queste condizioni la risposta impulsiva del canale è

(2.40)

( )

( )

( )

(

_{( )}

1 R l N j t l l c t ρ t eϕ δ t τ t = =

∑

⋅ ⋅ − _l

)

Per mostrare come è stata implementata la tempo varianza di ρ_l

( )

t , ϕ_l

( )

t e τ_l

( )

t cominciamo col considerare l’effetto Doppler sul segnale trasmesso.

Un segnale con banda B centrata su una frequenza f subisce, a causa del moto, gli effetti ₀ di due fenomeni fondamentali: il Doppler Spread e il Doppler Shift.

Entrambi gli effetti dipendono dalla frequenza Doppler, definita come

0 D v f f c = (2.41)

dove f è la portante, v la velocità del mobile e c la velocità nella luce. Il valore che ₀ f D può assumere è dunque legato alla frequenza portante considerata quindi, a parità di velocità del moto, ad una componente frequenziale più alta sarà associata una frequenza Doppler maggiore. 0

f

f

₀' ' down

f

down

f

f

up ' up

f

f

Figura 19: Doppler Spread e Doppler Shift su un segnale

Per questa ragione, sul segnale ricevuto da un utente in movimento, si osserva sia una traslazione della portate dal valore f al valore ₀ f₀' = f₀+ f_D, sia un allargamento dello

spettro causato dal fatto che alle componenti a frequenza più alta viene sommata una componente Doppler maggiore.

Durante la simulazione sono stati trattati segnali con banda, a radiofrequenza, 22

RF

B = MHz centrata attorno a una frequenza portante f₀ =2.4GHz (frequenza portante del canale ISM) e si sono considerati utenti in movimento alla velocità . In queste condizioni si ha 60 / v= m s 9 0 8 60 2.4 10 480 3 10 D v f f c = ⋅ = ⋅ ⋅ = Hz ⋅ (2.42)

Il segnale in esame ha una banda di 22 MHz, i cui estremi si trovano a

2.4 11 2.411

up

f = GHz+ MHz= GHz e f_down =2.4GHz−11MHz=2.389GHz . A causa dell’effetto Doppler (vedi fig. 19) la portante verrà traslata a

' 0 0 1 2.4 480 v f f GHz Hz c ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟= + ⎝ ⎠ (2.43)

mentre per la banda si avrà

' ' ' ' ' 1 2.411 482.2 1 2.389 477.8 22 4.4 up up down down down up v f f GHz Hz c v f f GHz Hz c B f f MHz Hz ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟= + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟= + ⎝ ⎠ ⇓ = − = + (2.44)

Dunque il Doppler Shift fa traslare la portante di 480 Hz mentre il Doppler Spread fa aumentare la banda di 4.4 Hz. In fase di simulazione, gli effetti del Doppler Spread, infinitesimi, sono stati trascurati.

( )

( )

j l( )t

l l

a t =ρ t ⋅eϕ (2.45)

varia apprezzabilmente su intervalli di tempo maggiori o uguali a T_D =1/ f_D . Di conseguenza, se T_D/T _s 1 (T è l’intervallo di simbolo), il canale rimane costante durante _s molte segnalazioni e può essere considerata costante a tratti (si parla in questo caso di fading lento).

( )

a t

Nel nostro caso T_D =1/ f_D =2.08ms, T_s =3.72µs e

559.1 1

D s

T

T =  (2.46)

Quindi, nelle condizioni considerate, il segnale ricevuto è affetto da fading lento.

I ritardi di propagazioneτ_l

( )

t sono stati considerati come delle costanti τ_l poiché, alla velocità considerata (60 m/s), in un tempo T , il ricevitore percorre solo pochi centimetri _D ed essi restano pressoché invariati.

Dunque il modello di canale multipath considerato dal simulatore è

( )

( ) (

)

1 R N l l c t a t δ t τ_l = =

∑

⋅ − (2.47)

in cui i τ_l costanti sono stati ricavati dal profilo di canale VA120 per sistemi UMTS presentato nel paragrafo precedente.

Resta da vedere come è stata implementata al calcolatore la funzione complessa a t . Per _l

( )

simulare la tempo varianza di tale funzione si è soliti, [Men01], prendere come uscita di un filtro LP di banda

( )

l a t

D

f eccitato da rumore gaussiano bianco. Tale procedimento è stato

⊕

1

τ

2

τ

3

τ

N

τ

1

α

2 α 3

α

N α

[ ]

s n

Figura 20: struttura del canale tempo variante implementato

In fig. 20 è mostrato lo schema del canale tempo variante implementato in cui ogni ramo corrisponde a un percorso del canale multipath ed è formato da due rami paralleli (ramo in fase e in quadratura).

Le diverse repliche causate dalla propagazione multipath sono state implementate creando, su ogni ramo, due vettori (fase e quadratura) contenenti copie, ritardate di τ_l, del segnale trasmesso. In fig. 20, questa operazione, è schematizzata con i blocchi di ritardo τ_l.

A questo punto, sia la parte in fase che quella in quadratura vengono moltiplicate per una variabile aleatoria complessa α_l (con varianza σ ) che simula la tempo varianza _l2 dell’attenuazione complessa a t . Infine il segnale in ingresso al ricevitore, si ottiene _l

( )

semplicemente sommando campione a campione i segnali in uscita dai moltiplicatori. Per la generazione delle v.a. complesse α_l si è usato lo schema mostrato in fig. 21.

2 ₁ l σ =

( )

Butt H f l

K

s N ↑ 2 ₁ l σ =

( )

Butt H f l

K

s N ↑ 1 l

P

2 l

P

3 l

P

l

α

ℜ

ℑ

Figura 21: generazione delle v.a. complesse α_l

Il primo blocco è un generatore di v.a. gaussiane standard, cioè con potenza media statistica unitaria ( 2 ), il secondo un filtro LP di banda

1

i

σ = f . L’implementazione del D

filtro ha richiesto un particolare accorgimento. La sua banda normalizzata, rispetto alla frequenza di campionamento f_sa =67.5MHz, sarebbe stata

6 480 7.11 10 67.5 D LP sa f Hz B f MHz − = = = ⋅ (2.48)

Con valori di banda come 6

7.11 10

LP

B = ⋅ − , non si riesce a implementare, in forma numerica, un filtro passa basso che fornisca risultati accettabili.

Sfruttando il fatto che il fading è lento, si è pensato allora di generare le v.a. α_l non una per ogni campione (cioè a frequenza f ), ma più lentamente, cioè di mantenere le variabili _sa aleatorie α_l constanti per un certo numero di campioni N . _s

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 |H(f)| 20 10 0 -10 -20 f/fs | fcut

Figura 22: Modulo della risposta in frequenza del filtro di Butterworth utilizzato

In questo modo una parte del programma, quella riguardante il filtraggio, lavora a una frequenza più bassa pari a f_sa' = f_sa/N_s. Si è scelto allora N_s =2000 ottenendo

' 67.5 33.75 2000 sa sa s f MHz f KHz N = = = (2.49)

di conseguenza la banda del filtro LP, normalizzata rispetto alla nuova frequenza di campionamento risulta ' ' 480 0.0142 33.75 D LP sa f Hz B f KHz = = = (2.50)

Per valori della frequenza di taglio dell’ordine di '

LP

B , si riescono a implementare filtri passa basso IIR senza problemi di stabilità numerica. Nel nostro caso è stato utilizzato un filtro di Butterworth a quattro poli. La risposta in frequenza (nel dominio di Laplace) di tale filtro è H_Butt

( )

s =H₀/B s

( )

dove B s è un polinomio di Butterworth il cui modulo è

( )

( )

2 2 0 1 n B ω ω ω ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (2.51)

in cui ω₀ è la pulsazione di taglio e l’ordine del filtro, ovvero il numero di poli. n

Il filtro di Butterworth, [Mil94], possiede risposta massimamente piatta in banda passante (è, cioè poco distorcente) e selettività che aumenta col numero dei poli. L’implementazione numerica del filtro utilizzata nel corpo del simulatore è stata estratta da [Ben02].

Osservando la figura 22 si nota che il modulo della risposta in frequenza del filtro utilizzato (con frequenza di taglio B_LP' ), presenta completa assenza di ripple in banda passante e risulta, dunque, non distorcente. In fig. 23 la risposta impulsiva del filtro.

30x10-3 20 10 0 h[n] 150 100 50 0 n

Come già accennato, il generatore gaussiano standard genera v.a. con potenza ₁l 1

P = . A

causa del filtraggio LP, approssimando la risposta in frequenza del filtro di Butterworth con una rect di banda f_D/ f_sa' , la potenza diventa

2 2 ' l D sa f P f = ⋅ (2.52)

Per fare in modo che al percorso l-esimo sia associata la potenza media statistica σ , _l2 estratta dal profilo di canale VA120, è necessario imporre che parte reale e immaginaria della v.a. α_l abbiano potenza media statistica . Ciò si realizza scalando in ampiezza sia la componente reale che quella immaginaria della v.a. di un fattore

2 / 2 l σ 2 ' 4 l sa l D f K f σ ⋅ = ⋅ (2.53)

Così facendo, infatti, si otterrà

2 ' 2 2 3 2 2 ' 4 2 l l D l sa l l sa D f f P P K f f σ ⋅ σ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ (2.54)

A questo punto, ricordando che il filtraggio è avvenuto a una frequenza volte minore della frequenza

2000 s

N = 67.5

sa

f = MHz con cui si presentano i campioni, è necessario sovracampionare di un fattore N le v.a. generate. Considerando la lenta variazione del _s fading, il sovracampionamento è stato realizzato a mantenimento. Grazie a questa operazione, le v.a. possono essere moltiplicate, campione a campione, al segnale trasmesso simulando la tempo varianza del canale.