R: R γR = −2π2 se 1 &lt

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Analisi Matematica II - Complementi di Matematica - Primo Appello (02-07-2012)

Ogni esercizio vale 6 punti. Per ogni esercizio si deve presentare lo svolgimento su un foglio a parte e riportare nel riquadro, su questo foglio, solo il risultato finale.

1. Determinare il volume del solido

D = {(x, y, z) ∈ R³ : (x −√

3)²+ y² + z² ≤ 1, x² ≤ 3(y²+ z²)}.

R: √ 3π/12

2. Calcolare l’integrale curvilineo Z

γ

3 + xy + 2x

y + 2 dx + y dy

dove γ `e la curva data dal grafico della funzione y = sin(πx) da (0, 0) a (2, 0).

R: 2 + 2√ 3

3. Calcolare l’integrale

Z

γR

sin(πiz)

(z²− 7iz − 10)² dz

dove γ_R`e una circonferenza di raggio R > 0 e centro z₀ = iR percorsa 9 volte in senso orario.

R: R

γR = −2π² se 1 < R < 5/2 e R

γR = 0 se 0 < R < 1 o R > 5/2 4. Calcolare integrale

Z ∞

−∞

x²+ 2ix − 1

(x²− 4x + 5)(x²+ 1)² dx.

R: πi/8

5. Calcolare il prodotto di convoluzione (f ∗ g)(t) dove f (t) = 1 se t ∈ [0, 2)

0 altrove e g(t) = 1 se t ∈ [3, 4) 0 altrove e farne il grafico nell’intervallo [0, 8].

R: (f ∗ g)(t) `e uguale a t − 3 se t ∈ [3, 4], a 1 se t ∈ [4, 5], a 6 − t se t ∈ [5, 6], e a 0 altrove