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Analisi Matematica II - Complementi di Matematica - Secondo Appello (14-07-2014) Ogni esercizio vale 6 punti. Per ogni esercizio si deve presentare lo svolgimento su un foglio a parte e riportare nel riquadro, su questo foglio, solo il risultato finale.
1. Calcolare l’integrale triplo
Z Z Z
D
lnxy z
dxdydz dove D = {(x, y, z) : x ∈ [1, e], 4 ≤ yz, 0 ≤ y + z ≤ 5}.
R: 15
2 − 8 ln(2)
2. Calcolare l’integrale curvilineo Z
γ
6x − 2xy (x2+ 2)2
dx + 1 + 6x + 3x3 x2+ 2 dy dove γ `e l’arco di circonferenza da (1, 0) a (0, 1) passante per (2, 1).
R: 9π + 2 4
3. Calcolare l’integrale curvilineo
Z
γ
z2Re(z) z + 2 dz
dove γ `e la circonferenza di centro 1 e raggio 4 percorsa in senso antiorario.
R: −20πi
4. Calcolare Z π
0
(1 − cos(x))3(1 + cos(3x)) dx.
R: 19π 8
5. Calcolare le trasformate di Laplace delle seguenti funzioni
f (t) = | sin(t)|, g(t) = sin(t) ∗ sin(t), h(t) = (sin(t))2.
R: F (s) = 1 + e−πs
(1 − e−πs)(s2+ 1), G(s) = 1
(s2+ 1)2, H(s) = 2 s(s2+ 4)
