2 e argomento 3⇡4 , in forma trigonometrica si scrive dunque come z = p

RISOLUZIONE

1. Il numero complesso z = 2i ha modulo |z| = 2 e argomento principale ^3⇡ ₂ , potremo quindi scriverlo in forma trigonometrica come z = 2(cos ^3⇡ ₂ + i sin ^3⇡ ₂ ).

2. Il numero z = 1 + i ha modulo |z| = p

1 + 1 = p

2 e argomento ^3⇡ ₄ , in forma trigonometrica si scrive dunque come z = p

2(cos ³ ₄ ⇡ + i sin ³ ₄ ⇡) 3. Abbiamo che p

3 i = 2(cos( ^⇡ ₆ ) + i sin( ^⇡ ₆ )) e 1 + i = p

2(cos ^⇡ ₄ + i sin ^⇡ ₄ ) da cui otteniamo che ( p

3 i) · (1 + i) = 2 p

2 cos( ^⇡ ₄ ^⇡ ₆ ) + i sin( ^⇡ ₄ ^⇡ ₆ ) = 2 p

2 cos ₁₂ ^⇡ + i sin ₁₂ ^⇡ dove abbiamo utilizzato la propriet` a

(⇢ ₁ (cos ✓ ₁ + i sin ✓ ₁ )) · (⇢ 2 (cos ✓ ₂ + i sin ✓ ₂ )) = ⇢ ₁ ⇢ ₂ (cos(✓ ₁ + ✓ ₂ ) + i sin(✓ ₁ + ✓ ₂ )) In alternativa, si poteva eseguire il prodotto dei due numeri in forma algebrica

( p

3 i) · (1 + i) = p 3 + p

3i i + 1 = ( p

3 + 1) + i( p 3 1) e riconoscere che

( p

3 + 1) + i( p

3 1) = 2 p 2 ⇣ p

6+ p 2

4 + i ^{p 6} ₄ ^{p 2} ⌘

= 2 p

2 cos ₁₂ ^⇡ + i sin ₁₂ ^⇡

essendo cos ₁₂ ^⇡ = ^{p 6+} ₄ ^{p 2} mentre sin ₁₂ ^⇡ = ^{p 6} ₄ ^{p 2} (dove per determinare tali valori possiamo uti- lizzare le formule di sottrazione osservato che ₁₂ ^⇡ = ^⇡ ₄ ^⇡ ₆ oppure le formule di bisezione essendo

⇡

12 = ¹ ₂ ^⇡ ₆ ).

4. Possiamo scrivere il numero w = 1 p

3i in forma polare come w = 2 cos( ^⇡ ₃ ) + i sin( ^⇡ ₃ ) , dalla formula di De Moivre ^(c) otteniamo allora

z = w ⁶ = 2 ⁶ cos( ^⇡ ₃ · 6) + i sin( ^⇡ ₃ · 6) = 64 (cos( 2⇡) + i sin( 2⇡)) = 64 5. Dato che 1 i = p

2 cos( ^⇡ ₄ ) + i sin( ^⇡ ₄ ) risulta (1 i) ⁴ = ( p

2) ⁴ cos( ^⇡ ₄ · 4) + i sin( ^⇡ ₄ · 4) = 4 (cos( ⇡) + i sin( ⇡)) = 4 da cui

z = (1 i) ⁴ · (2 + 2i) = 4 · (2 + 2i) = 8 8i = 8( 1 i) = 8 p

2 cos( ^⇡ ₄ ) + i sin( ^⇡ ₄ ) 6. Abbiamo che

1 + i = p

2 cos( ^⇡ ₄ ) + i sin( ^⇡ ₄ ) e p

3 i = 2 cos( ^⇡ ₆ ) + i sin( ^⇡ ₆ ) Quindi

(1 + i) ³ = 2 p

2 cos( ³ ₄ ⇡) + i sin( ³ ₄ ⇡) = 2( 1 + i)

(c)

la formula di De Moivre a↵erma che (⇢(cos ✓ + i sin ✓))

= ⇢

(cos(n✓) + i sin(n✓)) per ogni n 2 Z

9

e

( p

3 i) ² = 4 cos( ^⇡ ₃ ) + i sin( ^⇡ ₃ ) = 2(1 p 3i) Pertanto

z = (1 + i) ³ · ( p

3 i) ² = 2 p

2 cos( ³ ₄ ⇡) + i sin( ³ ₄ ⇡) · 4 cos( ^⇡ ₃ ) + i sin( ^⇡ ₃ )

= 8 p

2 cos( ³ ₄ ⇡ ^⇡ ₃ ) + i sin( ³ ₄ ⇡ ^⇡ ₃ ) = 8 p

2 cos( ₁₂ ⁵ ⇡) + i sin( ₁₂ ⁵ ⇡) In alternativa, potevamo procedere moltiplicando i due numeri in forma algebrica

z = (1 + i) ³ · ( p

3 i) ² = 2( 1 + i) · 2(1 p

3i) = 4 ⇣ ( p

3 1) + i( p

3 + 1) ⌘

= 8 p 2 ⇣ p

6 p 2

4 + i ^{p 6+} ₄ ^{p 2} ⌘

e riconoscere che ^{p 6} ₄ ^{p 2} = cos ₁₂ ⁵ ⇡ e ^{p 6+} ₄ ^{p 2} = sin ₁₂ ⁵ ⇡ (per determinare tali valori possiamo osservare che ^5⇡ ₁₂ = ^⇡ ₆ + ^⇡ ₄ e usare le formule addizione).

7. Determinare le soluzioni complesse dell’equazione z ³ = 8 equivale a determinare in campo complesso le radici terze di 8. Abbiamo che 8 = 8(cos ⇡ + i sin ⇡), quindi le tre radici terze sono date da

z _k = p

8 cos ^⇡+2k⇡ ₃ + i sin ^⇡+2k⇡ ₃ , k = 0; 1; 2.

Otteniamo quindi z ₀ = p

8 cos ^⇡ ₃ + i sin ^⇡ ₃ = 2 ⇣

1

2 + ^p ₂ ³ i ⌘

= 1 + p 3i z 1 = p

8 cos ^⇡+2⇡ ₃ + i sin ^⇡+2⇡ ₃ = 2 (cos ⇡ + i sin ⇡) = 2 z ₂ = p

8 cos ^⇡+4⇡ ₃ + i sin ^⇡+4⇡ ₃ = 2 cos ^5⇡ ₃ + i sin ^5⇡ ₃ = 2 ⇣

1 2

p 3 2 i ⌘

= 1 p

3i

8. Per determinare le tre radici complesse di z ⁴ = 2i possiamo utilizzare il procedimento precedente osservato che 2i = 2 cos ^⇡ ₂ + i sin ^⇡ ₂ da cui otteniamo che le quattro radici sono

z ₀ = p

2 cos ^⇡ ₈ + i sin ^⇡ ₈ = p

2

✓p p 2+2

2 +

p p 2 2

2 i

◆

z ₁ = p

2 cos ^5⇡ ₈ + i sin ^5⇡ ₈ = p

2

✓ p _p

2 2

2 +

p _p

2+2 2 i

◆

z 2 = p

2 cos ^9⇡ ₈ + i sin ^9⇡ ₈ = p

2

✓ p _p

2+2 2

p _p

2 2 2 i

◆

z ₃ = p

2 cos ^13⇡ ₈ + i sin ^13⇡ ₈ = p

2

✓p _p

2 2 2

p p 2+2 2 i

◆

NOTA: il valore di cos ^⇡ ₈ e di sin ^⇡ ₈ si possono determinare utilizzando le formule di bisezione osservato che ^⇡ ₈ = ¹ ₂ ^⇡ ₄ , il valore di seno e coseno dei restanti angoli si potr` a determinare ragio- nando sulla circonferenza trigonometrica.

10

9. Determiniamo le radice quadrate di 2 p

3 2i. Abbiamo che 2 p

3 2i = 4 cos( ^⇡ ₆ ) + i sin( ^⇡ ₆ ) e dunque le due radici quadrate sono date da

z ₀ = p 4 ⇣

cos(

₂ ) + i sin(

₂ ) ⌘

= 2 ⇣

cos( ₁₂ ^⇡ ) + i sin( ₁₂₎ ^⇡ ⌘

= ¹ ₂ ( p 6 + p

2 + ( p

2 p

6)i) z 1 = p

4 ⇣

cos(

^+2⇡ ₂ ) + i sin(

^+2⇡ ₂ ) ⌘

= 2 cos( ^13⇡ ₁₂ ) + i sin( ^13⇡ ₁₂ ) = ¹ ₂ ( p 6 + p

2 + ( p

2 p

6)i) NOTA: per determinare z ₁ `e sufficiente osservare che risulta il simmetrico rispetto all’origine del punto z ₀ nel piano complesso, ovvero che z ₁ = z ₀ .

10. Possiamo determinare le soluzioni complesse dell’equazione di secondo grado a coefficienti reali z ² 2z + 2 = 0 utilizzando la formula risolutiva

z _± = b ± p 2a dove, se < 0 si conviene che p

= i p

essendo p

la radice quadrata (reale) del numero reale positivo . Abbiamo quindi che le soluzioni dell’equazione z ² 2z + 2 = 0 sono

z _± = 2 ± p 4 8

2 = 2 ± p

4

2 = 2 ± 2i

2 = 1 ± i

11. L’equazione z ² + iz 1 = 0 `e equazione di secondo grado a coefficienti complessi della forma az ² + bz + c = 0 con a, b, c 2 C. Possiamo anche in questo caso applicare la formula

z _± = b ± p 2a dove con ± p

si sono denotate le due radici complesse del numero = b ² 4ac (osservato, come nell’esercizio 9, che se z `e una radice quadrata di 2 C, allora z sar` a anch’essa una radice). Nel nostro caso a = c = 1 e b = i quindi = 1 + 4 = 3 `e un numero reale positivo e le sue radici saranno ± p

3. Le soluzioni dell’equazione saranno allora date da z _± = b ± p

2a = i ± p

3

2 = ± ^p ₂ ^{3 1} ₂ i

12. Riscriviamo l’equazione (z + 2i) ² = (i + z)(i z) + i in forma normale svolgendo i prodotti indicati. Abbiamo

(z + 2i) ² = (i + z)(i z) + i , z ² + 4iz 4 = 1 z ² + i , 2z ² + 4iz 3 i = 0

e per risolvere l’ultima equazione (di secondo grado a coefficienti complessi) possiamo utilizzare nuovamente la formula

z _± = b ± p 2a

In questo caso = (4i) ² 8( 3 i) = 8 + 8i `e un numero complesso e le due radici quadrate di potranno calcolarsi come nell’esercizio 9, ottenendo

± p

= ± p

8 cos ^⇡ ₈ + i sin ^⇡ ₈ = ±2 p 2

✓p _p

2+2

2 +

p p 2 2

2 i

◆

= ±

✓q 2 p

2 + 4 + qp 2 4 i

◆ .

11

Quindi le soluzioni complesse dell’equazione data sono

z _± =

4i ± ⇣p 2 p

2 + 4 + pp

2 4 i ⌘ 4

12