1. Il numero complesso z = 3i ha modulo |z| = 3 e argomento ⇡2 , potremo quindi scriverlo in forma polare come z = 3(cos ⇡2 + i sin ⇡2 ).

RISOLUZIONE

1. Il numero complesso z = 3i ha modulo |z| = 3 e argomento ^⇡ ₂ , potremo quindi scriverlo in forma polare come z = 3(cos ^⇡ ₂ + i sin ^⇡ ₂ ).

2. Il numero z = 1 + p

3i ha modulo |z| = p

1 + 3 = 2 e argomento ² ₃ ⇡, in forma polare si scrive dunque come z = 2(cos ² ₃ ⇡ + i sin ² ₃ ⇡)

3. Possiamo scrivere il numero w = 1 p

3i in forma polare come w = 2 cos( ^⇡ ₃ ) + i sin( ^⇡ ₃ ) , dalla formula di De Moivre ^(d) otteniamo allora

z = w ³ = 2 ³ cos( ^⇡ ₃ · 3) + i sin( ^⇡ ₃ · 3) = 8 (cos( ⇡) + i sin( ⇡)) = 8 4. Dato che 1 i = p

2 cos( ^⇡ ₄ ) + i sin( ^⇡ ₄ ) risulta (1 i) ⁴ = ( p

2) ⁴ cos( ^⇡ ₄ · 4) + i sin( ^⇡ ₄ · 4) = 4 (cos( ⇡) + i sin( ⇡)) = 4 da cui

z = (1 i) ⁴ · (2 2i) = 4 · (2 2i) = 8 + 8i = 8( 1 + i) = 8 cos ³ ₄ ⇡ + i sin ³ ₄ ⇡ 5. Abbiamo che

1 + i = p

2 cos( ^⇡ ₄ ) + i sin( ^⇡ ₄ ) e p

3 i = 2 cos( ^⇡ ₆ ) + i sin( ^⇡ ₆ ) Quindi

(1 + i) ³ = 2 p

2 cos( ³ ₄ ⇡) + i sin( ³ ₄ ⇡) = 2( 1 + i) e

( p

3 i) ² = 4 cos( ^⇡ ₃ ) + i sin( ^⇡ ₃ ) = 2(1 p 3i) Si ha quindi

z = (1 + i) ³ · ( p

3 i) ² = 2 p

2 cos( ³ ₄ ⇡) + i sin( ³ ₄ ⇡) · 4 cos( ^⇡ ₃ ) + i sin( ^⇡ ₃ )

= 8 p

2 cos( ³ ₄ ⇡ ^⇡ ₃ ) + i sin( ³ ₄ ⇡ ^⇡ ₃ ) = 8 p

2 cos( ₁₂ ⁵ ⇡) + i sin( ₁₂ ⁵ ⇡)

(d)

la formula di De Moivre a↵erma che (⇢(cos ✓ + i sin ✓))

= ⇢

(cos(n✓) + i sin(n✓)) per ogni n 2 Z

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dove abbiamo utilizzato la propriet` a

(⇢ ₁ (cos ✓ ₁ + i sin ✓ ₁ )) · (⇢ 2 (cos ✓ ₂ + i sin ✓ ₂ )) = ⇢ ₁ ⇢ ₂ (cos(✓ ₁ + ✓ ₂ ) + i sin(✓ ₁ + ✓ ₂ )) In alternativa, potevamo procedere moltiplicando i due numeri in forma algebrica

z = (1 + i) ³ · ( p

3 i) ² = 2( 1 + i) · 2(1 p

3i) = 4 ⇣ ( p

3 1) + i( p

3 + 1) ⌘

= 8 p 2 ⇣ p

6 p 2

4 + i ^{p 6+} ₄ ^{p 2} ⌘

e riconoscere che ^{p 6} ₄ ^{p 2} = cos ₁₂ ⁵ ⇡ e ^{p 6+} ₄ ^{p 2} = sin ₁₂ ⁵ ⇡ (per determinare tali valori possiamo osservare che ^5⇡ ₁₂ = ^⇡ ₆ + ^⇡ ₄ e usare le formule addizione).

6. Determinare le soluzioni complesse dell’equazione z ⁴ = 16 equivale a determinare in campo complesso le radici quarte di 16. Abbiamo che 16 = 16(cos ⇡ + i sin ⇡), quindi le quattro radici quarte sono date da

z _k = p

16 cos ^⇡+2k⇡ ₄ + i sin ^⇡+2k⇡ ₄ , k = 0; 1; 2; 3.

Otteniamo quindi z ₀ = p

16 cos ^⇡ ₄ + i sin ^⇡ ₄ = 2 ⇣ p 2

2 + ^p ₂ ² i ⌘

= p 2 + p

2i z ₁ = p

16 cos ^⇡+2⇡ ₄ + i sin ^⇡+2⇡ ₄ = 2 cos ^3⇡ ₄ + i sin ^3⇡ ₄ = 2 ⇣ p 2

2 + ^p ₂ ² i ⌘

= p

2 + p 2i z ₂ = p

16 cos ^⇡+4⇡ ₄ + i sin ^⇡+4⇡ ₄ = 2 cos ^5⇡ ₄ + i sin ^5⇡ ₄ = 2 ⇣ p 2 2

p 2 2 i ⌘

= p

2 p

2i z 3 = p

16 cos ^⇡+6⇡ ₄ + i sin ^⇡+6⇡ ₄ = 2 cos ^7⇡ ₄ + i sin ^7⇡ ₄ = 2 ⇣ p 2 2

p 2 2 i ⌘

= p

2 p

2i

7. Per determinare le tre radici complesse di z ³ = 2i possiamo utilizzare il procedimento precedente osservato che 2i = 2 cos ^⇡ ₂ + i sin ^⇡ ₂ da cui otteniamo che le tre radici sono

z ₀ = p

2 cos ^⇡ ₆ + i sin ^⇡ ₆ = p

2 ⇣ p

3 2 + ¹ ₂ i ⌘ z ₁ = p

2 cos ^5⇡ ₆ + i sin ^5⇡ ₆ = p

2 ⇣ p

3 2 + ¹ ₂ i ⌘ z ₂ = p

2 cos ^3⇡ ₂ + i sin ^3⇡ ₂ = p

2i 8. Determiniamo le radice quadrate di p

3 + i. Abbiamo che p

3 + i = 2 cos ^⇡ ₆ + i cos ^⇡ ₆ e dunque le due radici quadrate sono date da

z ₀ = p 2 ⇣

cos

₂ + i sin

₂ ⌘

= p

2 cos ₁₂ ^⇡ + i sin ₁₂ ^⇡ = p 2 ⇣ p

6+ p 2

4 + ^{p 6} ₄ ^{p 2} i ⌘

= ^{p 3+1} ₂ + ^{p 3 1} ₂ i z ₁ = p

2 ⇣

cos

^+2⇡ ₂ + i sin

^+2⇡ ₂ ⌘

= p

2 cos ^13⇡ ₁₂ + i sin ^13⇡ ₁₂ = ^{p 3+1} ₂ ^{p 3 1} ₂ i

NOTA: per determinare z ₁ `e sufficiente osservare che risulta il simmetrico rispetto all’origine del punto z 0 nel piano complesso, ovvero z 1 = z 0 )

8

9. Possiamo determinare le soluzioni complesse dell’equazione di secondo grado a coefficienti reali z ² 2z + 2 = 0 utilizzando la formula risolutiva

z _± = b ± p 2a dove, se < 0 si conviene che p

= i p

essendo p

la radice quadrata (reale) del numero reale positivo . Abbiamo quindi che le soluzioni dell’equazione z ² 2z + 2 = 0 sono

z _± = 2 ± p 4 8

2 = 2 ± p

4

2 = 1 ± i

10. L’equazione z ² + iz 1 = 0 `e equazione di secondo grado a coefficienti complessi della forma az ² + bz + c = 0 con a, b, c 2 C. Possiamo anche in questo caso applicare la formula

z _± = b ± p 2a dove con ± p

si sono denotate le due radici complesse del numero = b ² 4ac . Nel nostro caso a = c = 1 e b = i quindi = 1 + 4 = 3 `e un numero reale positivo e le sue radici saranno ± p

3. Le soluzioni dell’equazione saranno allora date da z _± = b ± p

2a = i ± p

3

2 = ± ^p ₂ ^{3 1} ₂ i

11. Riscriviamo l’equazione (z i) ² = (1+i)(i z)+i in forma normale svolgendo i prodotti indicati.

Abbiamo

(z i) ² = (1 + i)(i z) + i , z ² 2iz 1 = i z 1 iz + i , z ² + (1 i)z 2i = 0

e per risolvere l’ultima equazione (di secondo grado a coefficienti complessi) possiamo utilizzare nuovamente la formula

z _± = b ± p 2a

In questo caso = (1 i) ² 4( 2i) = 2i + 8i = 6i `e un numero complesso e le due radici quadrate di potranno calcolarsi come nell’esercizio 8, ottenendo

± p

6 cos ^⇡ ₄ + sin ^⇡ ₄ i = ± p 6 ⇣ p

2

2 + ^p ₂ ² i ⌘

= ± ⇣p 3 + p

3 i ⌘ . Quindi le soluzioni complesse dell’equazione data sono

z _± = 1 i ± p 3 + p

3 i 2

ovvero z + = ^{p 3+1} ₂ + ^{p 3 1} ₂ i e z = ¹ ₂ ^{p 3 1+} ₂ ^{p 3} i.

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