Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 9 gennaio 2012 – A
(1) Fornire la definizione di funzione integrabile secondo Riemann e di integrale di Riemann.
(2) Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.
(3) Dimostrare che se (a n ) n∈IN ha ordine di infinito minore di (b n ) n∈IN e (b n ) n∈IN ha ordine di infinito minore di (c n ) n∈IN allora (a n ) n∈IN ha ordine di infinito minore di (c n ) n∈IN .
(4) Sia
+∞
X
n=0
a n una serie a termini positivi convergente e sia (b n ) n∈IN successione divergente a +∞. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se ` e vera o falsa.
A. La serie P +∞ n=1 a bn
n
` e convergente. Vero
B. La serie P +∞ n=1 a n b n ` e convergente. Falso C. La serie di potenze
+∞
X
n=1
a n x n ha raggio di convergenza ρ ≥ 1. Vero
Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 9 gennaio 2012 – B
(1) Fornire la definizione di funzione convessa ed enunciare i noti criteri di convessit` a.
(2) Enunciare e dimostrare il Criterio di integrabilit` a.
(3) Dimostrare che se (a n ) n∈IN ` e asintotica a (b n ) n∈IN e (b n ) n∈IN ` e asintotica a (c n ) n∈IN allora (a n ) n∈IN ` e asintotica a (c n ) n∈IN .
(4) (4) Sia
+∞
X
n=0
a n una serie a termini positivi divergente e sia (b n ) n∈IN successione divergente a +∞. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se ` e vera o falsa.
A. La serie P +∞ n=1 a bn
n