1.1 Stima di raggio e insieme di convergenza

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Emanuele Fabbiani 27 febbraio 2015

1 Serie di Potenze

Per tutti gli esercizi che richiedono il calcolo di raggio e insieme di convergenza delle serie il procedimento è il medesimo. Per gli esempi viene utilizzata la serie

+∞

X

k=1

1

k²(x + 1)^k (1.1)

1. Si opera una sostituzione in modo tale che la serie si presenti nella forma

Xa_ky^k (1.2)

Dove ak è un coeciente che NON deve contenere la variabile della funzione x, ma SOLO l'indice della serie k.

Esempio:

y = x + 1 (1.3)

+∞

X

k=1

1

k²(x + 1)^k =

+∞

X

k=1

1

k²(y)^k (1.4)

2. Si utilizza il criterio del RAPPORTO o della RADICE per determinare il raggio di convergenza della serie.

Esempio - criterio del RAPPORTO:

l = lim

k→+∞

ak+1

ak

= lim

k→+∞

(k + 1)²

k² = 1 (1.5)

r = 1

l = 1 (1.6)

3. L'intervallo di convergenza rispetto alla variabile y contiene quindi l'insieme |y| < r, ovvero −1 < y < 1. I criteri, tuttavia, non forniscono alcuna informazione sugli estremi dell'intervallo. Occorre quindi sostituirli nell'espressione iniziale e studiare le due serie numeriche risultanti. Se queste convergono, l'intervallo di convergenza della serie di potenze comprende anche gli estremi.

Esempio:

Per y = 1

+∞

X

k=1

1

k²(1)^k=

+∞

X

k=1

1

k² (1.7)

Converge perché è una serie armonica generalizzata P_k¹α con α > 1. Quindi l'intervallo di convergenza diventa −1 < y ≤ 1.

Per y = −1

+∞

X

k=1

1

k²(−1)^k=

+∞

X

k=1

(−1)^k

k² (1.8)

Converge per il criterio di Leibniz. Quindi l'intervallo di convergenza diventa −1 ≤ y ≤ 1.

4. Si torna alla variabile iniziale x. Ricordando la sostituzione iniziale:

y = x + 1 (1.9)

L'intervallo di convergenza diventa:

− 1 ≤ y ≤ 1 (1.10)

− 1 ≤ x + 1 ≤ 1 (1.11)

− 2 ≤ x + 1 ≤ 0 (1.12)

NOTA:per applicare il criterio della radice è bene ricordare che, ∀α ∈ R:

x→+∞lim

√k

k^α= 1 (1.13)

1.1 Stima di raggio e insieme di convergenza

Stabilire il raggio e l'insieme di convergenza delle seguenti serie di potenze.

1. +∞

X

k=2

2k + 1

(k − 1) (k + 2)(x + 2)^2k Sostituzione:

y = (x + 2)² (1.14)

La serie diventa:

+∞

X

k=2

2k + 1

(k − 1) (k + 2)y^k (1.15)

Criterio del RAPPORTO:

l = lim

k→+∞

ak+1

a_k    

= lim

k→+∞

2(k+1)+1 (k+1−1)(k+1+2)

2k+1 (k−1)(k+2)

= (1.16)

k→+∞lim

2k + 3

(k) (k + 3)·(k − 1) (k + 2)

2k + 1 = lim

k→+∞

2k³+ ...

2k³+ ... = 1 r = 1

l = 1 (1.17)

Quindi −1 < y < 1. Per y = 1

+∞

X

k=2

2k + 1

(k − 1) (k + 2)y^k=

+∞

X

k=2

2k + 1

(k − 1) (k + 2) (1.18)

Si studia tramite il criterio del CONFRONTO ASINTOTICO:

2k + 1

(k − 1) (k + 2)= 2k + 1

k²+ k − 2 ∼2k k² = 2

k ∼ 1

k (1.19)

Diverge perché serie armonica. Per y = −1

+∞

X

k=2

2k + 1

(k − 1) (k + 2)y^k =

+∞

X

k=2

(−1)^k 2k + 1

(k − 1) (k + 2) (1.20)

Converge per il criterio di LEIBNIZ (le condizioni sono vericate). Quindi l'intervallo denitivo per y è

− 1 ≤ y < 1 (1.21)

Tornando a x

− 1 ≤ (x + 2)²< 1 (1.22)

La condizione di sinistra è sempre vericata, per quanto riguarda quella di destra:

(x + 2)²< 1 (1.23)

− 1 < x + 2 < 1 (1.24)

− 1 − 2 < x + 2 − 2 < 1 − 2 (1.25)

− 3 < x < −1 (1.26)

2. +∞

X

k=2

2k + 1

(k − 1) (k + 2)(x + 2)^k Sostituzione:

x + 2 = y (1.27)

Il raggio di convergenza è identico a quello della serie precedente r = 1, come pure l'intervallo di convergenza rispetto a y: −1 ≤ y < 1. Dierente è invece la sostituzione nale:

− 1 ≤ y < 1 (1.28)

− 1 ≤ x + 2 < 1 (1.29)

− 3 ≤ x < −1 (1.30)

3. +∞

X

k=1

k + (−1)^kk + 1 k + ln k x^k

Non è necessaria alcuna sostituzione. Dal momento che il numeratore assume due espressioni diverse a seconda del valore di k, non è conveniente applicare il criterio del rapporto. Si impiega quindi il criterio della RADICE:

l = lim

k→+∞

p|ak k| = lim

k→+∞

k

v u u t     

k + (−1)^kk + 1 k + ln k

= lim

k→+∞

k

q

k + (−1)^kk + 1

√k

k + ln k (1.31)

Per quanto riguarda il numeratore, a seconda del fatto che k sia pari o dispari, si ha:

lim

k→+∞

k

q

k + (−1)^kk + 1 =

(lim_k→+∞√^k

k + −1k + 1 = lim_k→+∞√^k

1 = 1 k dispari

limk→+∞ ^k

√k + k + 1 = limk→+∞ ^k

√2k + 1 = limk→+∞

√k

2k = 1 k pari (1.32) Si ricorda, infatti, che limk→+∞

√k

k = 1. Per il denominatore, si osserva che k domina ln k nella gerarchia degli inniti, quindi

k→+∞lim

√k

k + ln k = lim

k→+∞

√k

k = 1 (1.33)

Si ha quindi

l = 1 (1.34)

r = 1

l = 1 (1.35)

Per quanto riguarda gli estremi, sia in x = 1 che in x = −1 si verica la condizione necessaria di convergenza.

k→+∞lim ak= lim

k→+∞

k + (−1)^kk + 1 k + ln k =

(lim_{k→+∞k+ln k}¹ = 0 k dispari limk→+∞ 2k+1

k+ln k = 2 k pari (1.36) Un limite, se esiste, è unico: si conclude che il limite non esiste e che quindi la condizione necessaria non è soddisfatta. Similmente per x = −1. L'intervallo di convergenza è quindi:

− 1 < x < 1 (1.37)

4. +∞

X

k=0

(−1)^kx^2k k! (k + 1)!2^2k Sostituzione:

x 2

2

= y (1.38)

La serie diventa:

+∞

X

k=0

(−1)^k

k! (k + 1)!y^k (1.39)

Con i fattoriali conviene sempre applicare il criterio del RAPPORTO:

l = lim

k→+∞

a_k+1 ak

= lim

k→+∞

1 (k+1)!(k+2)!

1 k!(k+1)!

= lim

k→+∞

k! (k + 1)!

(k + 1)! (k + 2)! = (1.40)

= lim

k→+∞

k!

(k + 2) (k + 1) k! = lim

k→+∞

1

(k + 2) (k + 1)= 0 r = 1

l = +∞ (1.41)

Quindi la serie converge ∀y ∈ R e di conseguenza ∀x ∈ R.

5. +∞

X

k=1

2^{k−2 ln2k}x^k

Non è necessaria alcuna sostituzione. L'utilizzo del criterio della RADICE è suggerito dal k all'esponente:

l = lim

k→+∞

p|ak k| = lim

k→+∞

√k

2^{k−2 ln2k}= lim

k→+∞

√k

2^k· 2^{−2 ln2k}= (1.42)

= lim

k→+∞

√k

2^k· ^k

√

2^{−2 ln2k}= lim

k→+∞

√k

2^k·p^k

2^ln2k−2 = lim

k→+∞

√k

2^k·√^k

k⁻²= 2 · 1 = 2

r =1 l =1

2 (1.43)

Per ora è noto che l'intervallo di convergenza comprende l'insieme −¹₂ < x < ¹₂. Occorre ora considerare gli estremi. Per x = ¹₂:

+∞

X

k=1

2^{k−2 ln2k}x^k =

+∞

X

k=1

2^{k−2 ln2k} 1 2

k

=

+∞

X

k=1

2^k 1 2

k

· 2^{k−2 ln2k} =

+∞

X

k=1

 2 2

k

· 2^ln2k−2 =

+∞

X

k=1

1

k² (1.44) Converge perché serie armonica con α > 1. Per x = −¹₂:

+∞

X

k=1

2^{k−2 ln2k}x^k=

+∞

X

k=1

2^{k−2 ln2k}



−1 2

^k

=

+∞

X

k=1

2^k



−1 2

^k

· 2^{k−2 ln2k}=

+∞

X

k=1



−2 2

^k

· 2^ln2k−2 =

+∞

X

k=1

(−1)^k k² (1.45) Converge per il criterio di LEIBNIZ o per quello della CONVERGENZA ASSOLUTA. In denitiva, la serie converge per:

−1

2 ≤ x ≤ 1

2 (1.46)

6. +∞

X

k=1

(k + 6)²(x − 2)^k

Sostituzione:

x − 2 = y (1.47)

La serie diventa:

+∞

X

k=1

(k + 6)²y^k (1.48)

Si applica il criterio del RAPPORTO - ma anche quello della radice risulterebbe agevole:

l = lim

k→+∞

ak+1

a_k    

= lim

k→+∞

(k + 1 + 6)²

(k + 6)² = lim

k→+∞

k²+ 14k + 49

k²+ 12k + 36 = 1 (1.49)

r = 1

l = 1 (1.50)

Quindi l'intervallo di convergenza comprende l'insieme −1 < y < 1. Per y = −1:

+∞

X

k=1

(k + 6)²y^k=

+∞

X

k=1

(k + 6)²(−1)^k (1.51)

Si verica la condizione necessaria di convergenza:

lim

k→+∞a_k= lim

k→+∞(k + 6)²(−1)^k= non esiste (1.52) Quindi la serie non converge. Per y = 1:

+∞

X

k=1

(k + 6)²y^k=

+∞

X

k=1

(k + 6)² (1.53)

Si verica la condizione necessaria di convergenza:

lim

k→+∞a_k= lim

k→+∞(k + 6)²= +∞ 6= 0 (1.54)

Quindi, anche in questo caso, la serie non converge. L'intervallo calcolato rispetto a y risulta quindi essere:

− 1 < y < 1 (1.55)

Ritornando alla variabile x:

− 1 < x − 2 < 1 (1.56)

− 1 + 2 < x − 2 + 2 < 1 + 2 (1.57)

1 < x < 3 (1.58)

7. +∞

X

k=1

 3k − 2 k + 1

^k x^k

Non è necessaria alcuna sostituzione. Il fatto che l'intero coeciente della serie sia elevato alla potenza k suggerisce l'utilizzo del criterio della RADICE:

l = lim

k→+∞

p|ak k| = lim

k→+∞

k

s

 3k − 2 k + 1

^k

= lim

k→+∞

3k − 2

k + 1 = 3 (1.59)

r =1 l =1

3 (1.60)

L'intervallo di condenza comprende −¹₃ < x < ¹₃. Per x = −¹₃:

+∞

X

k=1

 3k − 2 k + 1

k

x^k =

+∞

X

k=1

 3k − 2 k + 1

k

−1 3

k

=

+∞

X

k=1

(−1)^k 3k − 2 3k + 3

k

(1.61)

Si verica la condizione necessaria di convergenza:

lim

k→+∞a_k= lim

k→+∞(−1)^k 3k − 2 3k + 3

k

= non esiste (1.62)

Quindi la serie non converge. Per x = ¹₃:

+∞

X

k=1

 3k − 2 k + 1

k

x^k=

+∞

X

k=1

 3k − 2 k + 1

k

 1 3

k

=

+∞

X

k=1

 3k − 2 3k + 3

k

(1.63)

Si verica la condizione necessaria di convergenza:

lim

k→+∞a_k= lim

k→+∞

 3k − 2 3k + 3

k

= lim

k→+∞e^ln(^3k−2_3k+3)^k= lim

k→+∞e^{k ln}(^3k−2_3k+3) = +∞ (1.64)

Per l'ultimo passaggio si ricorda che x supera ln x nella gerarchia degli inniti e che quindi limk→+∞x ln x = +∞. Si noti inoltre che il criterio della radice per serie numeriche sarebbe stato qui inecace, in quanto

lim

k→+∞

p|ak k| = 1 (1.65)

Non si sarebbe potuto concludere nulla sul carattere della serie. In denitiva, per x = ¹₃ la serie non converge. L'insieme di convergenza risulta quindi essere:

−1

3 < x < 1

3 (1.66)

8. +∞

X

k=0

(−1)^k k⁻² x²− 2
k

2^k Sostituzione:

x²− 2 = y (1.67)

La serie diventa:

+∞

X

k=0

(−1)^k k⁻² 2^k y^k =

+∞

X

k=0

(−1)^k

k²2^k y^k (1.68)

Criterio del RAPPORTO:

l = lim

k→+∞

ak+1

ak

= lim

k→+∞

k²2^k

(k + 1)²2^k+1 = lim

k→+∞

k²2^k

(k + 1)²2^k· 2 = 1

2 (1.69)

r = 1 l = 1

1 2

= 2 (1.70)

Criterio della RADICE:

l = lim

k→+∞

p|ak k| = lim

k→+∞

k

r 1

k²2^k = lim

k→+∞

√k

k⁻²· ^k s

 1 2

^k

= 1 ·1 2 = 1

2 (1.71)

r = 1 l = 1

1 2

= 2 (1.72)

Quindi l'intervallo di convergenza comprende l'insieme −2 < y < 2. Per y = −2:

+∞

X

k=0

(−1)^k k⁻² 2^k y^k=

+∞

X

k=0

(−1)^kk⁻²

2^k (−2)^k=

+∞

X

k=0

(−1)^k 1 k²

 −2 2

^k

(1.73)

=

+∞

X

k=0

(−1)^k(−1)^k 1 k² =

+∞

X

k=0

(−1)^2k 1 k² =

+∞

X

k=0

1 k² Converge perché serie armonica generalizzata P_k¹α con α > 1. Per y = 2:

+∞

X

k=0

(−1)^kk⁻² 2^k y^k =

+∞

X

k=0

(−1)^k k⁻² 2^k (2)^k=

+∞

X

k=0

(−1)^k 1 k²

 2 2

k

(1.74)

=

+∞

X

k=0

(−1)^k(1)^k 1 k² =

+∞

X

k=0

(−1)^k 1 k²

Converge per il criterio di LEIBNIZ (le ipotesi sono vericate). L'intervallo di convergenza rispetto a y è:

− 2 ≤ y ≤ 2 (1.75)

Tornando a x:

− 2 ≤ x²− 2 ≤ 2 (1.76)

− 2 + 2 ≤ x²− 2 + 2 ≤ 2 + 2 (1.77)

0 ≤ x²≤ 4 (1.78)

La condizione di sinistra è sempre vericata, quella di destra diventa:

− 2 ≤ x ≤ 2 (1.79)

Che è l'intervallo di convergenza della serie.

1.2 Esercizio tratto dal tema d'esame 16-Giu-2010

Si consideri la serie di potenze

+∞

X

k=0

k + e^k

k³+ 1(x − 1)^k Determinare:

1. Il raggio di convergenza r.

Criterio del RAPPORTO:

l = lim

k→+∞

ak+1

ak

= lim

k→+∞

k+1+e^k+1 (k+1)³+1

k+e^k k³+1

= lim

k→+∞

k + 1 + e^k+1

(k + 1)³+ 1 · k³+ 1

k + e^k (1.80)

Gli esponenziali dominano le potenze nella gerarchia degli inniti, quindi i termini che non sono moltiplicati per e^xsono trascurabili.

l = lim

k→+∞

e^k+1 k³+ 1

(k + 1)³e^k = lim

k→+∞

e · e^k k³+ 1

e^k(k + 1)³ = lim

k→+∞

e · k³+ 1

(k + 1)³ = e (1.81) r =1

l = e⁻¹ (1.82)

2. L'intervallo di convergenza I.

Sostituzione:

y = x − 1 (1.83)

La serie diventa:

+∞

X

k=0

k + e^k

k³+ 1y^k (1.84)

Sicuramente I comprende −e⁻¹ < y < e⁻¹. Per y = −e⁻¹:

+∞

X

k=0

k + e^k k³+ 1y^k =

+∞

X

k=0

k + e^k k³+ 1e^−k=

+∞

X

k=0

ke^−k+ 1

k³+ 1 (1.85)

Criterio del CONFRONTO ASINTOTICO:

ke^−k+ 1 k³+ 1 ∼ 1

k³+ 1 ∼ 1

k³ (1.86)

Perché ke^−k → 0e 1 è trascurabile rispetto a k³. La serie dunque converge perché serie armonica P_k¹α

con α > 1. Per y = −e⁻¹:

+∞

X

k=0

k + e^k k³+ 1y^k =

+∞

X

k=0

k + e^k

k³+ 1(−e)^−k=

+∞

X

k=0

(−1)^k ke^−k+ 1

k³+ 1 (1.87)

Le ipotesi del criterio di LEIBNIZ sono rispettate, quini la serie converge. L'intervallo di condenza rispetto a y è:

− e⁻¹ ≤ y ≤ e⁻¹ (1.88)

Tornando a x:

− e⁻¹≤ x − 1 ≤ e⁻¹ (1.89)

− e⁻¹+ 1 ≤ x − 1 + 1 ≤ e⁻¹+ 1 (1.90)

− e⁻¹+ 1 ≤ x ≤ e⁻¹+ 1 (1.91)

Quindi, utilizzando la scrittura per intervalli:

I =−e⁻¹+ 1; e⁻¹+ 1

(1.92) 3. f⁰⁰⁰(1), dove f (x) denota la somma della serie.

Si osserva che il punto in cui occorre calcolare la derivata è proprio il centro x0 della serie. Si può quindi utilizzare la formula:

f^(k)(x₀) = k!a_k (1.93)

Quindi:

f⁽³⁾(1) = 3!a3= 6 ·3 + e³ 3³+ 1 = 3

14 3 + e³

(1.94)

1.3 Esercizio tratto dal tema d'esame 05-Lug-2010

Si consideri la serie di potenze

+∞

X

k=2

1

k ln (k²)(x − 1)^k Determinare:

1. Il raggio di convergenza r.

Criterio del RAPPORTO:

l = lim

k→+∞

a_k+1 ak

= lim

k→+∞

1 (k+1) ln(k+1)²

1 k ln(k²)

= lim

k→+∞

(k + 1) ln (k + 1)²

k ln (k²) (1.95)

Le potenze dominano i logaritmi nella gerarchia degli inniti, quindi questi ultimi sono trascurabili.

l = lim

k→+∞

(k + 1)

k = 1 (1.96)

r = 1

l = 1 (1.97)

2. L'intervallo di convergenza I.

Sostituzione:

y = x − 1 (1.98)

La serie diventa:

+∞

X

k=2

1

k ln (k²)y^k (1.99)

Sicuramente I comprende −1 < y < 1. Per y = 1:

+∞

X

k=2

1

k ln (k²)y^k =

+∞

X

k=2

1 k ln (k²) =

+∞

X

k=2

1

2k ln (k) (1.100)

Criterio INTEGRALE: per accertarsi che la funzione f (x) = _{2x ln(x)}¹ sia decrescente nell'intervallo [2; +∞]

si studia la sua derivata:

f⁰(x) = 1 2

− ln x − 1

(x ln (x))² (1.101)

La funzione è decrescente in

− ln x − 1 < 0 (1.102)

ln x > −1 (1.103)

x > e⁻¹ (1.104)

Quindi in tutto l'intervallo di integrazione. Si può ora risolvere l'integrale:

ˆ +∞

2

1

2x ln (x)dx = 1 2

ˆ +∞

2

1

x ln (x)dx = 1

2[ln (ln x)]^+∞₂ = +∞ (1.105) La serie diverge, come l'integrale. Per y = −1

+∞

X

k=2

1

k ln (k²)y^k =

+∞

X

k=2

(−1)^k k ln (k²) =

+∞

X

k=2

(−1)^k

2k ln (k) (1.106)

Le ipotesi del criterio di LEIBNIZ sono vericate, quindi la serie converge. L'intervallo rispetto a y è quindi

− 1 ≤ y < 1 (1.107)

Tornando a x:

− 1 ≤ x − 1 < 1 (1.108)

− 1 + 1 ≤ x − 1 + 1 < 1 + 1 (1.109)

0 ≤ x < 2 (1.110)

Quindi, utilizzando la scrittura per intervalli:

I = [0; 2) (1.111)