Corso di ANALISI I (2008/09) - Foglio 11 del 28/05/09.

Corso di ANALISI I (2008/09) - Foglio 11 del 28/05/09.

Esercizi sulle equazioni differenziali

Esercizio 1 Considerare la funzione delle due variabili reali x, y definita da f (x, y) = x ² y

x ² + y ² . (i) Ammette limite per (x, y) → (0, 0) ?

(ii) E’ limitata su R ² \ (0, 0) ?

Esercizio 2 Dimostrare che non esiste il lim

(x,y)→(0,0)

x ⁵ y ² x ¹⁰ + y ⁴ .

Esercizio 3 Sia

f (x, y) = ye ^x+y ; i) dimostrare, usando la definizione, che f ` e continua in (0, 0) ;

ii) dimostrare che f non ` e limitata n´ e superiormente n´ e inferiormente in R ² .

Esercizio 4 Considerare la funzione delle due variabili reali x, y definita da f (x, y) = sin(xy)

e

√

x

+y

− 1 . i) Ammette limite per (x, y) → (0, 0) ?

ii) E’ limitata su R ² ?

[Suggerimento: si pu` o ragionare separatamente in B(0, 1) e in R ² \ B(0, 1)]

Esercizio 5 Sia

f (x, y) = arctan x

√ xy ;

i) sia D l’insieme di definizione di f ; D ` e aperto? E’ limitato? E’ connesso?

ii) f ` e continua su D? E’ limitata in D?

iii) al variare di y 0 ∈ R, dire se esiste

lim

(x,y)→(0,y

) f (x, y) .

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Esercizio 6 Determinare e rappresentare graficamente l’insieme di definizione Edella funzione di due variabili

f (x, y) = log(x + y) x − y .

Osservare che il punto (0, 0) appartiene alla frontiera di E e calcolare il limite di f in tal punto.

Esercizio 7 Sia E l’insieme di definizione della funzione di due variabili f (x, y) = arctan ^y _x

(x − 1) ² (y + 2) . i) E ` e connesso ?

ii) f ` e limitata sul sottoinsieme {(x, y) ∈ E : 1/3 ≤ x ≤ 2/3, −1 ≤ y ≤ 1}?

Esercizio 8 Determinare e rappresentare graficamente l’insieme di definizione E della funzione di due variabili

f (x, y) = xy log(1 + x ² y) x ² + y ² .

Verificare che il punto (0, 0) ` e di accumulazione per l’insieme E e calcolare, se esiste, lim (x,y)→(0,0) f (x, y).

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