Corso di ANALISI I (2008/09)
[Foglio 10 del 22/05/09]
Esercizi sugli spazi metrici e sulla topologia di R
d2
Definizione 1 Sia X uno spazio vettoriale rispetto al campo reale. Una funzione
x 7→ kxk ∈ R+
si dice norma, se soddisfa alle seguenti condizioni: i) kxk = 0 se e solo se x = 0; ii) kx + yk ≤ kxk + kyk; iii)kcxk = |c|kxk, per ogni c ∈ R.
Esercizio 1 In uno spazio vettoriale ogni norma induce una metrica. Il vi- ceversa non `e sempre vero. Provare a dimostrare la seguente affermazione:
Se in uno spazio vettoriale X d(x, y) `e una distanza che verifica le due pro- priet`a supplementari seguenti:
i) (invarianza per traslazioni) d(x + z, y + z) = d(x, y);
ii) (omogeneit`a per dilatazioni) d(cx, cy) = |c|d(x, y) per ogni c ∈ R;
allora kxk = d(x, 0) definisce una norma su X.
Esercizio 2 Si consideri la funzione d definita da:
d(x, y) = 0, se x = y 1, se x 6= y
a) Dimostrare che d `e una distanza in R2 che non verifica la propriet`a ii) dell’esercizio precedente;
b) caratterizzare gli intorni I(x0, r) indotti dalla metrica d;
c) dimostrare che kxk = d(x, 0) non definisce una norma su R2 (quale propriet`a della norma non vale?).
Esercizio 3 Dimostrare che in uno spazio metrico (X, d) una successione {xn} convergente non pu`o ammettere due limiti distinti.
Esercizio 4 Dimostrare che in uno spazio metrico ogni successione conver- gente `e di Cauchy.
Esercizio 5 Dimostrare che in uno spazio metrico, ogni successione di Cau- chy `e limitata. In altre parole data una successione di Cauchy xn ed un punto x0 ∈ X, esiste un numero reale positivo R tale che, per ogni n si verifichi d(xn, x0) < R.
Esercizio 6 Dimostrare che se una successione di Cauchy ammette una sottosuccessione convergente, allora la successione stessa `e convergente.
Esercizio 7 In uno spazio vettoriale X ogni prodotto scalare genera una norma, ma non tutte le norme provengono da un prodotto scalare. Si pu`o
3 dimostrare che condizione necessaria perch´e questo accada `e che valga la seguente identit`a del parallelogramma per ogni x, y ∈ X:
kx + yk2+ kx − yk2 = 2(kxk2+ kyk2) ;
mostrare che in R2 la norma del max (kxk∞ = max{|x1|, |x2|}) non deriva da un prodotto scalare [trovare due vettori di R2 per cui la relazione precedente non valga].
Esercizio 8 In R2 si definisca, come nel precedente esercizio la norma kxk∞ = max{|x1|, |x2|},
e la distanza associata
d∞(x, y) = kx − yk∞.
Dimostrare che si tratta di una norma, e che la distanza ad essa associata definisce gli stessi insiemi aperti della distanza euclidea, la stessa nozione di convergenza delle successioni, la stessa nozione di successione di Cauchy.
Dimostrare tutte queste cose anche per la la norma kxk1 = |x1| + |x2|.
Esercizio 9 Nel piano R2 disegnare due curve di livello (relative ai valori 1 e 2) della funzione F∞(x1, x2) = max{|x1|, |x2|} = kxk∞, della funzione F2(x1, x2) = px21+ x22 = kxk e della funzione F1(x1, x2) = |x1|+|x2| = kxk1. Esercizio 10 (Non facile). Sia p un numero primo. Nello spazio Q dei numeri razionali definiamo una distanza come segue d(a, a) = 0, e se a 6=
b, d(a, b) = p−h dove h `e un intero tale che a − b = ph nm, con n ed m interi non divisibili per p. Dimostrare che d `e una vera distanza che soddisfa d(a + c, b + c) = d(a, b) e d(ab, 0) = d(a, 0)d(b, 0). Dimostrare che rispetto a questa distanza l’insieme dei numeri interi risulta aperto. Dimostrare che per questa distanza la successione di razionali pn tende a zero per n → ∞, mentre la successione p−n `e illimitata. Dimostrare (difficile) che se an `e una successione di razionali convergente a zero, con questa metrica, allora la successione
sn= a1+ a2+ · · · + an,
`e di Cauchy (sempre in questa metrica). [Suggerimento: dimostrare pri- ma che d(a, b) ≤ max{d(a, c), d(c, b)}. Da questo dedurre che d(sn, sn+k) ≤ d(an, 0).]
