ALGEBRA 1 AA. 2020/2021 FOGLIO ESERCIZI 8
MARTINA LANINI
(1) Si descriva il Teorema di Cayley per i seguenti gruppi:
(a) Z3,
(b) G = ({f : {?, !, ]} → {?, !, ]} | f biiettiva} , ◦), dove ◦ denota la com- posizione di funzioni.
(2) Si determini se H `e un sottogruppo normale di G per le coppie seguenti:
(a) G = ({f : {?, !, ]} → {?, !, ]} | f biiettiva} , ◦) e H = ({f ∈ G | f (!) =!} , ◦);
(b) G = ({f : {?, !, ]} → {?, !, ]} | f biiettiva} , ◦) e H =
? 7→ ?
! 7→ ! ] 7→ ]
,
? 7→ !
! 7→ ] ] 7→ ?
,
? 7→ ]
! 7→ ? ] 7→ !
, ◦
;
(c) G =
a b 0 c
| a, b, c ∈ R, a, c 6= 0
, ·
e H =
1 b 0 1
| b ∈ R,
, ·
,
dove · denota la moltiplicazione righe per colonne.
Nei casi in cui la risposta `e affermativa, si descriva il gruppo quoziente.
(3) Si consideri R2 = {(x, y) | x, y ∈ R} con legge di composizione l’usuale somma tra vettori.
(a) Si dimostri che la funzione
π : R2→ R, (x, y) = x
`e un omomorfismo di gruppi.
(b) Si descrivano le classi laterali di Ker(π).
(c) Si verifichi esplicitamente che la classe laterale di un vettore (x, y) modulo Ker(π) `e un sottogruppo se e soltanto se (x, y) ∈ Ker(π).
(4) Siano G =
a b c d
| a, b, c, d ∈ R, ad − bc 6= 0
, ·
e H = R \ {0}
(con l’usuale moltiplicazione di numeri reali). Si dimostri che la seguente funzione `e un omomorfismo di gruppi
det : G → H,
a b c d
7→ ad − bc.
Cosa dice il Teorema Fondamentale di Omomorfismo in questo caso?
(5) Siano m, n ∈ Z≥2 e si consideri l’insieme
Am,n = {ϕ : Zn→ Zm| ϕ omomorfismo di gruppi}.
Si determini Am,n nel caso in cui (a) m = n;
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(b) n = 2, m = 8;
(c) n = 3, m = 6;
(d) M CD(m, n) = 1.
