CAPITOLO 6

Interazioni radiazioni ionizzanti con la materia

CAPITOLO 6

Interazioni delle particelle con la materia Introduzione

1

2 mv ² MeV [ ]

L’interazione e la quantità di energia depositata dipende dalla massa della particella e dalla sua carica e quindi dall’energia cinetica. Misureremo l’energia cinetica della particella incidente in MeV

Distingueremo

- Particelle cariche pesanti (protoni, particelle alfa) - Particelle cariche leggere (elettroni, positroni)

- Radiazione elettromagnetica (raggi gamma) - Particelle neutre pesanti (neutroni)

Particelle da 10 MeV in silicio

Interazioni delle particelle con la materia Introduzione Elettrone da 2 keV in vapore

di acqua a 200 torr

Elettrone da 20 keV e particella alfa da 20 MeV in acqua

Protone da 200 MeV in acqua

Interazioni delle particelle con la materia Sezione d’urto

La sezione d’urto σ misura la probabilità che avvenga una interazione fra una singola particelle di un fascio ed un singolo atomo di un targhetta

Supponiamo una targhetta di area Σ e spessore x. Supponiamo inoltre che n sia il numero di

La sezione d’urto dipende da vari complicati parametri fisici, ma ne possiamo dare una semplice interpretazione geometrica

Ogni nucleo della targhetta ha un area effettiva

σ . Solo se la particella incidente arriva in questa area, ha luogo la reazione. σ dipende anche dall’energia della particella incidente

σ si misura in 10 ⎡⎣

m

⎤⎦

barn [ ] ^{= 10} _⎡⎣

^m

_⎤⎦

Σ

Interazioni delle particelle con la materia Sezione d’urto

N particelle incidenti sulla targhetta dN particelle che interagiscono

n Σx Numero totale di nuclei nel bersaglio σ nΣx Area totale effettiva

dN

N = σ ⁿ Σx

Σ = σ ^nx

Si suppone la targhetta sottile, una sola fila di nuclei

La probabilità che avvenga l’interazione è proporzionale alla sezione

d’urto, alla densità della targhetta, al suo spessore

Interazioni delle particelle con la materia Sezione d’urto

N

Particelle incidenti

dN Particelle che interagiscono

− dN

N = σ ^ndx

dN

N = − σ ^{n dx}

0

∫ x N

∫ N

N = N ₀ e ^{−n σ x}

Il numero di particelle che supera la targhetta decresce esponenzialmente con lo spessore

N = N ₀ e ^{−x λ}

λ è una caratteristica del materiale e si chiama “lunghezza

Interazioni delle particelle con la materia Particelle pesanti

Il volume dell’atomo è 10 ¹⁵ volte maggiore di quello del nucleo (10 ^-10 /10 ^-15 ) ³ . Le particelle cariche interagiscono essenzialmente con gli elettroni atomici e perdono energia con molti piccoli urti con gli elettroni (ionizzazione o eccitazione) fino a fermarsi

Si definisce “range “il percorso medio nell’assorbitore

p, α

Interazioni delle particelle con la materia Particelle pesanti In un dato spessore di materiale, si valuta la perdita di energia media come

− dE

dx MeV cm

⎡

⎣⎢

⎤

Spesso di utilizza al posto dello spessore, la quantità dx ⎦⎥ _m = ρdx (spessore di massa, dove ρ è la densità del materiale)

− dE

ρ ^dx

MeV cm ² g

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

Quando la perdita di energia è data in MeV cm ² /g, moltiplicandone il valore per la densità del materiale si ottiene la perdita di energia in MeV/cm

Spesso su testi di parla di dE/dx intendendo dE/ρdx. Bisogna guardare l’unità

di misura

Interazioni delle particelle con la materia Particelle pesanti Formula di Bethe and Bloch

MeV cm

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

I Potenziale medio di ionizzazione del sistema atomico in esame N _A Numero di Avodagro

Z Numero atomico del materiale A Peso atomico del materiale

z Carica della particella incidente m _e Massa dell’elettrone

β v/c per la particella incidente

γ 1/√(1-v ² /c ² ) è il fattore di Lorentz ρ Densità del materiale

r Raggio classico dell’elettrone (2.8 ^. 10 ^-15 m)

Interazioni delle particelle con la materia Particelle pesanti Formula di Bethe and Bloch

MeV cm

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C = 4 π ^r _e ^{2 m} _e ^{c 2 N} _Av = 0.307 MeV g ^-1 cm ² Dividendo per la densità del materiale si ottiene

Formule empiriche per il potenziale di ionizzazione

I

Z = (12 + 7 Z) eV per Z < 13

I = (9.76 + 58.8 Z

≥ 13

Interazioni delle particelle con la materia Particelle pesanti Formula di Bethe and Bloch

p

Mc = γ ^Mv

Mc = v

c γ = βγ

La scala in termini di βγ è

la stessa per tutte le

particelle di quantità di

moto p indipendentemente

dalla massa

Interazioni delle particelle con la materia Particelle pesanti

− 1 ρ

dE

dx ∝ C z ² β ²

Z A

dE ρ ^dx

Interazioni delle particelle con la materia Particelle pesanti

∝ 1 β

∝ ln( βγ ⁾

Interazioni delle particelle con la materia Particelle pesanti

Interazioni delle particelle con la materia Particelle pesanti

Particelle con la stessa velocità, ma carica diversa nello stesso mezzo

dE dx

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ₁ / dE dx

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ₂ = z ₁ ² z ₂ ²

Ad esempio, a partire dai valori del protoni, si possono ricavare i valori per le particelle alfa

Particelle con masse ed energie diverse nello stesso mezzo

dE dx

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ₁ / dE dx

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ₂ = z ₁ ² z ₂ ²

v ₂ ²

v ₁ ² = z ₁ ² z ₂ ²

E ₂ E ₁

M ₂ M ₁

− 1 ρ

dE

dx ∝ C z ² β ²

Z A

α

Interazioni delle particelle con la materia Particelle pesanti Picco di Bragg

All’aumentare del percorso nel materiale, la particella diventa sempre più lenta e quindi aumenta la sua capacità di dissipare energia

− 1 ρ

dE

dx ∝ C z ² β ²

Z A

Diminuisce la velocità Aumenta dE/dx

Picco di Bragg

Ad esempio, per particelle alfa di 5.5 MeV in aria

dE /dx (M eV /c m )

Interazioni delle particelle con la materia Particelle pesanti Range

Integrando la dE/dx su tutta l’energia dissipata, si può ottenere il “range”

della particella nel materiale

R(E) = dx

0

∫ x ⁼ ∫ ^{0 E ( dE dx ) −1 dE}

Una buona approssimazione a basse energie è R(E) ∝ E ^1.8 ρ

N/ N

In genere si usa il valore estrapolato

Tuttavia questo è solo un valore medio. Se facciamo un numero grande di

misure con N particelle otteniamo un valore medio di una distribuzione

gaussiana

Interazioni delle particelle con la materia Particelle pesanti Range

R _x (E) = A _x

z _x ² R _protone ( E A _x )

Il range di una qualsiasi particella di carica z _x e massa A _x può essere ricavato per un determinato mezzo dal range dei protoni della stessa energia nello stesso mezzo

Per una data particella di una data energia, il range in materiali diversi scala come

R ₁ ≈ ρ ₂

ρ ₁ ^{R 1}

Ad esempio, per una particella α di 100 MeV, z _α = 2, A _α =4

= 4 100

= R

Protoni in acqua

Particelle pesanti

Alcune volte il range è dato come Rρ in [g/cm ² ]. In tal caso il valore va diviso per la densità del materiale per ottenere il valore in [cm]

Interazioni delle particelle con la materia

R(E) ∝ E ^1.8 ρ

dE /dx a rbi tra ry scale

Programma per calcolare analiticamente il range e il dE/dx dei protoni in diversi materiali

Particelle pesanti

https://physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/PSTAR.html

Interazioni delle particelle con la materia

Programma per calcolare analiticamente il range e il dE/dx delle particelle alfa in diversi materiali

Particelle pesanti

Interazioni delle particelle con la materia

Elettroni/Positroni

Nel casi di elettroni e positroni, questi possono perdere grandi frazioni di energia negli urti con gli elettroni atomici del materiale. Inoltre diventa importante (rispetto alle particelle pesanti) la perdita di energia per radiazione di bremsstrahlung. Infatti tale perdita scala con l’inverso del quadrato della massa (m _p = 2000 m _e )

a = F

m = k Ze ² r ² m

dE dx

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ _tot = dE dx

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ _rad + dE dx

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ _coll

Quindi

Interazioni delle particelle con la materia

P = dE

dt = e ² a ²

6 πε ₀ ^{c 3} γ ^{4 a} ⊥ v

A u m e n t a a n c h e c o n

l’energia della particella

La struttura dell'atomo

Al crescere dell’energia delle particella aumenta l’emissione di radiazione. Si chiama energia critica E _c l’energia della particella incidente per cui

dE dx

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ _rad > dE dx

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ _coll

Rame (Z = 29)

Energia critica per alcuni materiali

Materiale E

(MeV)

Ec ≈ 800 MeV Z +1.2

Elettroni/Positroni

La struttura dell'atomo

Lunghezza di radiazione

Si definisce lunghezza di radiazione L _rad (anche riferita come X ₀ ) lo spessore di materiale a cui l’energia dell'elettrone incidente diminuisce di 1/e a causa dell’emissione di radiazione

E = E ₀ e ^{− x/L rad}

ρ ^L

= 716.4 A Z(Z +1)ln( 287

Z )

g/cm ⎡⎣

⎤⎦

Regola empirica

Elettroni/Positroni

La struttura dell'atomo

Range degli elettroni

La particella incidente tende ad avere grandi deflessioni, specialmente a basse energie, e quindi alla fine della suo tragitto

Gran parte della perdita di energia avviene all’inizio del tragitto

Gli elettroni atomici accelerati da un elettrone incidente possono avere abbastanza energia per ionizzare a loro volta gli atoni del materiale (delta-rays)

La formula di Bethe – Block non va bene per il elettroni, soprattutto a basse energie

Elettroni/Positroni

a rbi tra ry scale

La struttura dell'atomo

Range degli elettroni

Ad energie più alte si verifica la formazione di uno

“sciame elettromagnetico”. L’elettrone perde energia sotto forma di fotoni, che poi possono dare origine, ad una certa distanza, a nuovi fenomeni di perdita di energia (vedi sezione seguente) con emissione di ulteriori elettroni secondari che danno origine ad altri fenomeni di perdita di energia

Elettrone da 1 GeV in 15 cm di rame

Esistono alcune formule analitiche approssimate per stimare il range degli elettroni

R = 0.412E

0.01 < E < 2.5 MeV R = 0.53E − 0.106 E > 2.5 MeV

R in [g/cm ² ] , E in [MeV]

Elettroni/Positroni

ρ = 1 g/cm ³

La struttura dell'atomo

Programma per calcolare analiticamente il range e il dE/dx degli elettroni in diversi materiali

https://physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/ESTAR.html

Elettroni/Positroni

La struttura dell'atomo

Questo fenomeno è importante per le particelle particelle ß ⁺ emesse nei decadimenti. Dopo circa 10 ^-9 secondi v a n n o i n c o n t r o a l f e n o m e n o

Particelle β ⁺

I radionuclidi che decadono per emissione ß ⁺ sono usati in medicina nucleare per la Tomografia ad Emissione di Positroni (PET).

Un positrone si comporta come un elettrone tranne che bassissime energie

quando da luogo ad un fenomeno di ANNICHILAZIONE, interagendo con un

elettrone del mezzo. Le due particelle scompaiono e la loro massa è

trasformata in 2 fotoni gamma di 0.511 MeV, emessi in direzioni contrapposte.

La struttura dell'atomo Raggi gamma

I raggi gamma non hanno carica e quindi non danno luogo a fenomeni di ionizzazione. Si parla di radiazione indirettamente ionizzante. Tuttavia tale radiazione interagisce con la materia e viene assorbita attraverso tre processi principali: effetto fotoelettrico, scattering Compton, produzione di coppie e

e ^- . Effetto fotoelettrico

E’ importante per energie basse ( < 0.5 MeV). Il fotone è completamente assorbito e l’energia viene trasferita ad un elettrone che viene espulso. A causa del riassetto delle orbite, viene anche emessa della radiazione di fluorescenza

σ ∝ Z ⁵ E ³

Sezione d’urto

Radiazione di fluorescenza

La struttura dell'atomo Raggi gamma

Scattering Compton

E’ importante per energie intermedie. Il fotone trasferisce parte della sua energia ad un elettrone che viene espulso. Nello stato finale è presente anche un fotone secondario

σ ∝ Z E

Sezione d’urto

Raggi gamma

Produzione di coppie

E’ rilevante per fotoni di energia più alta almeno superiore a 1.022 MeV , corrispondente alla massa delle due particelle che vengono generate dal fenomeno.

Il fotone, interagendo col campo di forza del nucleo, scompare con la contemporanea creazione di un elettrone e un positrone; tutta l'energia oltre la soglia di 1.022 MeV è distribuita in ugual misura tra le due particelle sotto forma di energia cinetica.

L'elettrone prodotto può provocare ionizzazioni, mentre il positrone va incontro ad annichilazione.

Interazioni delle particelle con la materia

σ ^{∝ Z 2} ln(E) per bassi valori di E σ ≈ costante per E grande

Sezione d’urto

Raggi gamma Interazioni delle particelle con la materia

I

Intensità dei raggi gamma che arrivano sulla targhetta (particelle/m

sec)

I Intensità dei raggi gamma dopo uno spessore x (particelle/m

sec)

E ricordando i principali processi di interazione

Nel caso dei raggi gamma, a causa della relativa minore interazione con materia, è importante valutare la penetrazione nel materiale. Ricordando il risultato avuto nella discussione sulla “sezione d’urto

I = I ₀ e ^{− σ nx} = I ₀ e ^{− µ x}

n = densità di atomi nel materiale

I = I ₀ e ^{−( σ fot + σ Com + σ ee )nx} = I ₀ e ^{−( µ fot + µ Com + µ ee ) x}

Raggi gamma Interazioni delle particelle con la materia

Coefficiente lineare di assorbimento Dopo uno spessore di x = 1/µ il

fascio è attenuato di e ^-1 = 0.37

Nel piombo µ in vari materiali (cm ^-1 )

I = I ₀ e ^{− µ x}

Raggi gamma Interazioni delle particelle con la materia

Poiché il coefficiente di attenuazione dipende dal materiale, si usa definire il coefficiente di assorbimento di massa

µ _ρ = µ ρ

Effetto fotoelettrico

Effetto Compton

Produzione di coppie

Andamento qualitativo

Raggi gamma Interazioni delle particelle con la materia

Interpretazione del coefficiente di attenuazione

I

Intensità dei raggi gamma che arrivano sulla targhetta (particelle/m

sec)

I Intensità dei raggi gamma dopo uno spessore x (particelle/m

sec)

I = I ₀ e ^{− µ x}

µ _ρ = µ ρ

dI

dx = µ ^I ₀ ^{e − µ x} = µ ^I 1

ρ ^dx

dI

I ₀ = 1 ρ ^dx

dE

E ₀ = µ

ρ

Raggi gamma Interazioni delle particelle con la materia

In tutti i processi descritti prima (fotoelettrico, Compton, produzione di coppie) una parte dell’energia viene ceduta ad un elettrone sotto forma di energia cinetica, una parte a uno o più fotoni. L’elettrone produce localmente ionizzazione vicino al punto in cui viene prodotto, mentre i fotoni portano via energia dalla zona di interesse.

L’elettrone rilascia energia

localmente

Raggi gamma Interazioni delle particelle con la materia

Per considerare solo l’energia dissipata localmente dagli elettroni che sono stati prodotti nelle interazioni dei fotoni si definisce

Coefficiente di trasferimento di energia

µ _tr

ρ ⁼ 1

ρ ^{( f 1 ⋅} µ _fot + f ₂ ⋅ µ _Com + f ₃ ⋅ µ _ee ⁾

f ₁ , f ₂ , f ₃ tengono conto della frazione di energia effettivamente trasferita all’elettrone

f

= (1− X) X frazione di energia emessa per fluorescenza

f

= E hf E energia dell'elettrone Compton, hf energia del fotone incidente

Raggi gamma Interazioni delle particelle con la materia

Inoltre gli elettroni possono a loro volta dissipare solo parte dell’energia localmente per ionizzazione, mentre la restante parte può essere emessa come radiazione di bremsstrahlung e che quindi non viene dissipata nel volume in considerazione.

Per valutare solo l’energia rilasciata nel volume in considerazione, si definisce il coefficiente di assorbimento di energia

µ _en

ρ ⁼

µ _tr ρ

1

ρ ^{(1 − g)}

g è la frazione di energia che gli elettroni dissipano in radiazione di bremsstrahlung nella zona di interesse. Tale energia non viene dissipata localmente

Per valori bassi di energia, g =0 e quindi µ _en

ρ ⁼

µ _tr

ρ

Raggi gamma Interazioni delle particelle con la materia

µ _en

ρ ⁼

µ _tr

ρ ^{(1 − g)}

Il valore del parametro g dipende dal mezzo. La sua conoscenza è importante per descrivere l’effettiva cessione di energia all’interno di un determinato volume

Energia elettrone (MeV) g acqua g piombo

0.01 9.4

10

1.2

10

0.1 5.8

10

1.7

10

1 3.6

10

6.8

10

10 4.1

10

0.32

100 0.32 0.76

Raggi gamma Interazioni delle particelle con la materia

Solo nella zona fra 0.01 e 10 MeV ci sono differenze significative fra µ ^e µ _en

µ

µ _en

Aria

Raggi gamma Interazioni delle particelle con la materia

acqua

µ _en

µ

Raggi gamma

Interazioni delle particelle con la materia

Conclusioni Interazioni delle particelle con la materia

I meccanismi di rilascio di energia sono differenti per le differenti particelle

Si distinguono particelle “direttamente ionizzanti” (protoni, elettroni, alfa) e particelle indirettamente ionizzanti (fotoni)

Alle particelle direttamente ionizzanti possiamo associare un range ed il il

“potere frenante”, cioè l’energia rilasciata

Per le particelle indirettamente ionizzanti non è significativo il range, ma il coefficiente di assorbimento

dE

ρ ^dx

MeV g / cm ²

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥