Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 12 Febbraio 2020 — Traccia I
COGNOME NOME
1. Si determini il valore del parametro reale h per il quale il sottoinsieme S = {(x, y, z)|y − hz = h + 1}
`
e un sottospazio vettoriale di R3 e per il valore trovato di h si determini una base B di S. Si completi infine B ad una base di R3.
2. Si discuta al variare del parametro reale h il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z:
x +2y +z =0
2x −y +(h2+ 1)z=0
−x +3y +hz =h
3. Sia f : R2,2 7→ R2,2 l’applicazione lineare cos`ı definita fx y z t
=2x + y −z x + t 2t
.
Si determini la matrice A associata a f rispetto la base 1 0 0 0
,0 1 0 0
,0 0 1 0
,0 0 0 1
di R2,2 e si determini la dimensione di Imf ∩ Kerf . Si stabilisca infine se A `e diagonalizzabile.
4. Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto A(0, 2, 1) e la retta β : x −y − z=0
y − 2z =0
Si determini l’equazione cartesiana del piano π per A contenente la retta β. Si determinino infine i punti sull’asse Z a distanza √
5 da π.
5. Si dimostri che una matrice quadrata ha determinante diverso da zero se e solo se `e invertibile.
6. Si scrivano le definizioni di riferimento affine e di coordinate affini di un punto dello spazio ordinario E3. Si scrivano i diversi modi di rappresentare una retta di E3.
Traccia I — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 12 Febbraio 2020 — Traccia II
COGNOME NOME
1. Si determini il valore del parametro reale h per il quale il sottoinsieme S = {(x, y, z)|x + 2y + hz = h − 3} `e un sottospazio vettoriale di R3 e per il valore trovato di h si determini una base B di S. Si completi infine B ad una base di R3.
2. Si discuta al variare del parametro reale h il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z:
x −y − 2z=h
(h2+ 1)x −2y + z=0
hx +y − 3z=0
3. Sia f : R2,2 7→ R2,2 l’applicazione lineare cos`ı definita fx y z t
=x − y t − 4z x + t 2t
.
Si determini la matrice A associata a f rispetto la base 1 0 0 0
,0 1 0 0
,0 0 1 0
,0 0 0 1
di R2,2 e si determini la dimensione di Imf ∩ Kerf . Si stabilisca infine se A `e diagonalizzabile.
4. Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto A(2, 0, 1) e la retta β : x +y − z=1
x + 2z =0
Si determini l’equazione cartesiana del piano π per A contenente la retta β. Si determinino infine i punti sull’asse X a distanza 1 da π.
5. Si definisca l’insieme dei vettori liberi dello spazio ordinario. Si mostri come tale insieme si possa munire della struttura di spazio vettoriale sul campo dei reali.
6. Si scrivano le possibili posizioni reciproche di due piani dello spazio ordinario e si ricavino le relative condizioni analitiche.
Traccia II — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 12 Febbraio 2020 — Traccia III
COGNOME NOME
1. Si determini il valore del parametro reale h per cui il sottoinsieme S = {(x, y, z)|x + hz = h − 2} `e un sottospazio vettoriale di R3 e per il valore trovato di h si determini una base B di S. Si completi infine B ad una base di R3.
2. Si discuta al variare del parametro reale h il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z:
x −y +2z=0
−x +(h2+ 1)y +z =h
hy −3z=0
3. Sia f : R2,2 7→ R2,2 l’applicazione lineare cos`ı definita fx y z t
=x − z z y z − t
.
Si determini la matrice A associata a f rispetto la base 1 0 0 0
,0 1 0 0
,0 0 1 0
,0 0 0 1
di R2,2 e si determini la dimensione di Imf ∩ Kerf . Si stabilisca infine se A `e diagonalizzabile.
4. Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto A(3, 1, −1) e la retta β : x +2y − z=0
y + z =0
Si determini l’equazione cartesiana del piano π per A contenente la retta β. Si determinino infine i punti sull’asse Y a distanza 2 da π.
5. Si scriva la definizione di somma di due sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale V e si dimostri che essa `e a sua volta un sottospazio vettoriale di V .
6. Si scrivano le definizioni di riferimento affine e di coordinate affini di un punto dello spazio ordinario E3. Si scrivano i diversi modi di rappresentare un piano di E3.
Traccia III — 1
