Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 30 aprile 2013 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Sia dato in R3 l’insieme dei vettori S ={v1, v2,v3,v4} con
v1 = (1, 2,−1), v2 = (3, 6,−3), v3 = (2, 1, 3), v4 = (8, 7, 7).
(a) Si estragga da S una base B per il sottospazio W di R3 generato da B.
(b) Se possibile, si scrivano le componenti del vettore u= (5, 4, 5) rispetto alla base B.
2 Si discuta e si risolva il seguente sistema lineare nelle incognite reali x, y, z in cui h `e un parametro reale
x +y −z =1
6y −hz =3
x −hy =2
3 Sia f : R3 7→ R2,2 l’applicazione cos`ı definita f (x, y, z) =
( hx y + z
x− hy x − 2z + h − 2 )
. (a) Si determini il valore del parametro reale h per cui f `e un’applicazione lineare.
(b) Per quel valore di h per cui f ´e lineare si determinino Kerf e Imf .
4 Sia S =
1 2 3 2 1 3 0 1 1
una matrice ad elementi reali.
(a) Si determinino gli autovalori e gli autospazi di S.
(b) Si stabilisca se S `e diagonalizzabile oppure no.
5 Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino la retta r :
{ 2x + z = 0 y− z = 1 e il piano α : 2hx + y− z + h = 0
(a) Si studi la posizione reciproca di r e α al variare del parametro reale h.
(b) Scelto, se esiste un valore di h in corrispondenza del quale r e α sono paralleli e disgiunti se ne calcoli la distanza.
Argomenti teorici
• Si definisca l’insieme dei vettori liberi dello spazio ordinario. Si mostri come tale insieme si possa munire della struttura di spazio vettoriale sul campo dei reali.
• Si scriva la definizione di determinate di una matrice quadrata e se ne enuncino alcune propriet´a.
• Sia A un piano affine su V con un fissato riferimento affine R. Si dimostri che se una retta r ha equazione : ax + by + c = 0 allora la sua giacitura ´e l’insieme dei vettori di V le cui componenti sono soluzione dell’equazione ax + by = 0.
Traccia I — 1
