. Si considerino i vettori

Prova di esonero di Geometria 1 – 16 Novembre 2017

NOME, COGNOME e MATRICOLA...

Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...

1. Sia V = R

. Si considerino i vettori

w

=







 1 1 k 0









, w

=







 1 2 0 1









, w

=







 0 0 k + 1

2









, w

=







 2 3 3 0







 ,

Sia W

= hw

, w

, w

, w

i e sia

U =



 



 









 x

x

x

x









∈ V tali che x

+ x

= 0 e x

= 4x



 



 

 .

(a) Si determinino la dimensione e una base di U e di W

al variare di k ∈ R.

(b) Si determinino la dimensione e una base di W

∩ U e si completi la base di W

∩ U a una base di W

+ U al variare di k ∈ R.

(c) Sia A

la matrice le cui colonne sono w

, w

, w

, w

. Si stabilisca per quali k la matrice A

` e invertibile.

(d) Si calcoli l’inversa della matrice B ∈ M

(K) ottenuta da A

cancellando la terza riga e la quarta colonna.

2. Nello spazio affine reale A

si considerino il piano π, di equazioni cartesiane x − z + w − 4 = z − w + 3 = 0,

e i punti

P = (1, 2, 1, −2) e Q

= (h, 2 + h, 2, −4), con h ∈ R parametro.

(a) Sia r

la retta passante per i punti P e Q

; qual ` e, al variare del parametro h, la posizione reciproca di π e r

?

(b) Detta s la retta contenente tutti i punti Q

, ∀h ∈ R, sia ω il piano contenente s e P ; qual ` e la posizione reciproca di π e ω?

(c) Determinare, mediante la sua rappresentazione cartesiana, l’iperpiano Θ, contenente

s e parallelo a π.