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Academic year: 2021

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(1)

Prova di esonero di Geometria 1 – 16 Novembre 2017

NOME, COGNOME e MATRICOLA...

Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...

1. Sia V = R

4

. Si considerino i vettori

w

1

=

 1 1 k 0

, w

2

=

 1 2 0 1

, w

3

=

 0 0 k + 1

2

, w

4

=

 2 3 3 0

 ,

Sia W

k

= hw

1

, w

2

, w

3

, w

4

i e sia

U =

 

 

 x

1

x

2

x

3

x

4

∈ V tali che x

1

+ x

2

= 0 e x

3

= 4x

4

 

 

 .

(a) Si determinino la dimensione e una base di U e di W

k

al variare di k ∈ R.

(b) Si determinino la dimensione e una base di W

k

∩ U e si completi la base di W

k

∩ U a una base di W

k

+ U al variare di k ∈ R.

(c) Sia A

k

la matrice le cui colonne sono w

1

, w

2

, w

3

, w

4

. Si stabilisca per quali k la matrice A

k

` e invertibile.

(d) Si calcoli l’inversa della matrice B ∈ M

3×3

(K) ottenuta da A

k

cancellando la terza riga e la quarta colonna.

2. Nello spazio affine reale A

4

si considerino il piano π, di equazioni cartesiane x − z + w − 4 = z − w + 3 = 0,

e i punti

P = (1, 2, 1, −2) e Q

h

= (h, 2 + h, 2, −4), con h ∈ R parametro.

(a) Sia r

h

la retta passante per i punti P e Q

h

; qual ` e, al variare del parametro h, la posizione reciproca di π e r

h

?

(b) Detta s la retta contenente tutti i punti Q

h

, ∀h ∈ R, sia ω il piano contenente s e P ; qual ` e la posizione reciproca di π e ω?

(c) Determinare, mediante la sua rappresentazione cartesiana, l’iperpiano Θ, contenente

s e parallelo a π.

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