(1)Esame di geometria 1 — 12 Febbraio 2019 NOME, COGNOME e MATRICOLA

Esame di geometria 1 — 12 Febbraio 2019

NOME, COGNOME e MATRICOLA...

Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...

Mi avvalgo dell’esonero

1. Si considerino i seguenti sottospazi di M_2×2(R):

U_h = {

A∈ M2×2(R) | A

[ 0 1 0 h

]

=

[ 0 1 0 h

] A

} ,

V_h = {

B ∈ M2×2(R) | B

[ 0 1 0 h

]

=

[ 0 1 h 0

] B

} ,

W =

⟨[ 1 5 4 1

] ,

[ 2 1 0 3

] ,

[ 2 6 4 3

] ,

[ 0 9 8 −1

]⟩

.

(a) Si determinino la dimensione e una base di W .

(b) Si calcolino la dimensione e una base di U_h e di V_h al variare di h.

(c) Si determinino la dimensione e una base di U_h∩ Vh e di U_h+ V_h.

(d) Per quali h W ∩ Uh∩ Vh non e’ ridotto al solo zero? Per tali h determinare una base e la dimensione di W ∩ Uh.

2. Nello spazio affineA⁴, sia Π l’iperpiano di equazione x−z −1 = 0 e sia θk il piano ottenuto intersecando Π con l’iperpiano di equazione x + ky + z + kw− 3 = 0. Sia inoltre rkla retta passante per i punti P₀ = (k + 3, 0, k + 2, k + 1) e P₁ = (2, 1, 1,−1).

(a) Dopo aver verificato che la retta r_k `e interamente contenuta nell’iperpiano Π, si studino le posizioni relative tra r_k e θ_k al variare di k∈ R.

(b) Sia λ_k il piano contenente la retta r_k e il punto Q = (1, 0, 1, 0). Quali sono, al variare di k∈ R, le posizioni reciproche tra λk e θ_k?

(c) Nel caso k = −1, sia Ω lo spazio congiungente i piani λ−1 e θ₋₁. Si determini una rappresentazione cartesiana di Ω.

3. Sia V_d := R[x]≤d lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado al massimo d. Per α ∈ R, si considerino i polinomi

p_1,α(x) = x²+ αx + 1, q_1,α(x) = 3x³+ (3− 4α)x²+ (2α− 2)x + 3 − 5α, p_2,α(x) = (2α− 1)x²+ x + 1, q_2,α(x) =−x³+ (3α− 1)x² + (1− 2α)x + 1 − 3α, p_3,α(x) = (2− 2α)x²+ (7α− 2)x + 2, q3,α(x) = 2x³+ (3− 3α)x²+ (2α− 2)x + 3 − 6α.

(a) Per quali α esiste e per quali `e anche unica l’applicazione lineare Fα : V2 → V3 tale che F_α(p_i,α(x)) = q_i,α(x) per i = 1, 2, 3.

(b) Data l’applicazione Pβ : V3 → V2, ∑₃

i=0aixⁱ →∑₂

i=0aixⁱ+ β∑₂

i=0a3−ixⁱ, si verifichi che `e lineare e si calcoli una base del nucleo, al variare di β ∈ R.

(c) Si calcoli la matrice rappresentativa di f := P₀◦ F0 rispetto alla base

A := {p1,0(x), p_2,0(x), p_3,0(x)}, e la matrice rappresentativa di g := F0◦ P0 rispetto alla base B := {p1,0(x), p_2,0(x), p_3,0(x), x³}.

(d) Si stabilisca se f e g sono diagonalizzabili e si esibisca una base di tutti gli autospazi di f.

Crosby

Esame di geometria 1 — 12 Febbraio 2019

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Mi avvalgo dell’esonero

1. Si considerino i seguenti sottospazi di M_2×2(R):

U_h = {

A∈ M2×2(R) | A

[ 0 0 1 h

]

=

[ 0 0 1 h

] A

} ,

Vh = {

B ∈ M2×2(R) | B

[ 0 h 1 0

]

=

[ 0 0 1 h

] B

} ,

W =

⟨[ 1 4 5 1

] ,

[ 2 0 1 3

] ,

[ 2 4 6 3

] ,

[ 0 8 9 −1

]⟩

.

(a) Si determinino la dimensione e una base di W .

(b) Si calcolino la dimensione e una base di U_h e di V_h al variare di h.

(c) Si determinino la dimensione e una base di U_h∩ Vh e di U_h+ V_h.

(d) Per quali h W ∩ Uh∩ Vh non e’ ridotto al solo zero? Per tali h determinare una base e la dimensione di W ∩ Uh.

2. Nello spazio affineA⁴, sia Π l’iperpiano di equazione y−w−1 = 0 e sia θkil piano ottenuto intersecando Π con l’iperpiano di equazione kx + y + kz + w− 3 = 0. Sia inoltre rkla retta passante per i punti P0 = (0, k + 3, k + 1, k + 2) e P1 = (1, 2,−1, 1).

(a) Dopo aver verificato che la retta r_k `e interamente contenuta nell’iperpiano Π, si studino le posizioni relative tra r_k e θ_k al variare di k∈ R.

(b) Sia λ_k il piano contenente la retta r_k e il punto Q = (0, 1, 0, 1). Quali sono, al variare di k∈ R, le posizioni reciproche tra λk e θ_k?

(c) Nel caso k = −1, sia Ω lo spazio congiungente i piani λ−1 e θ₋₁. Si determini una rappresentazione cartesiana di Ω.

3. Sia Vd := R[x]≤d lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado al massimo d. Per α ∈ R, si considerino i polinomi

p1,α(x) = x²− αx + 1, q1,α(x) = 3x³+ (3 + 4α)x²− (2α + 2)x + 3 + 5α, p_2,α(x) = (−2α − 1)x²+ x + 1, q_2,α(x) =−x³− (3α + 1)x²+ (1 + 2α)x + 1 + 3α, p_3,α(x) = (2 + 2α)x²− (7α + 2)x + 2, q3,α(x) = 2x³+ (3 + 3α)x²− (2α + 2)x + 3 + 6α.

(a) Per quali α esiste e per quali `e anche unica l’applicazione lineare F_α : V₂ → V3 tale che F_α(p_i,α(x)) = q_i,α(x) per i = 1, 2, 3.

(b) Data l’applicazione P_β : V₃ → V2, ∑₃

i=0a_ixⁱ →∑₂

i=0a_ixⁱ+ β∑₂

i=0a_3−ixⁱ, si verifichi che `e lineare e si calcoli una base del nucleo, al variare di β ∈ R.

(c) Si calcoli la matrice rappresentativa di f := P₀◦ F0 rispetto alla base

A := {p1,0(x), p_2,0(x), p_3,0(x)}, e la matrice rappresentativa di g := F0◦ P0 rispetto alla base B := {p1,0(x), p2,0(x), p3,0(x), x³}.

(d) Si stabilisca se f e g sono diagonalizzabili e si esibisca una base di tutti gli autospazi di f.

Stills

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NOME, COGNOME e MATRICOLA...

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Mi avvalgo dell’esonero

1. Si considerino i seguenti sottospazi di M_2×2(R):

U_h = {

A∈ M2×2(R) | A

[ 0 1 0 −h

]

=

[ 0 1 0 −h

] A

} ,

Vh = {

B ∈ M2×2(R) | B

[ 0 1 0 −h

]

=

[ 0 1

−h 0 ]

B }

,

W =

⟨[ 1 5 4 1

] ,

[ 2 1 0 3

] ,

[ 2 6 4 3

] ,

[ 0 9 8 −1

]⟩

.

(a) Si determinino la dimensione e una base di W .

(b) Si calcolino la dimensione e una base di U_h e di V_h al variare di h.

(c) Si determinino la dimensione e una base di U_h∩ Vh e di U_h+ V_h.

(d) Per quali h W ∩ Uh∩ Vh non e’ ridotto al solo zero? Per tali h determinare una base e la dimensione di W ∩ Uh.

2. Nello spazio affineA⁴, sia Π l’iperpiano di equazione x−z −1 = 0 e sia θk il piano ottenuto intersecando Π con l’iperpiano di equazione x− ky + z − kw − 3 = 0. Sia inoltre rkla retta passante per i punti P0 = (3− k, 0, 2 − k, 1 − k) e P1 = (2, 1, 1,−1).

(a) Dopo aver verificato che la retta r_k `e interamente contenuta nell’iperpiano Π, si studino le posizioni relative tra r_k e θ_k al variare di k∈ R.

(b) Sia λ_k il piano contenente la retta r_k e il punto Q = (1, 0, 1, 0). Quali sono, al variare di k∈ R, le posizioni reciproche tra λk e θ_k?

(c) Nel caso k = 1, sia Ω lo spazio congiungente i piani λ₁ e θ₁. Si determini una rappresentazione cartesiana di Ω.

3. Sia Vd := R[x]≤d lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado al massimo d. Per α ∈ R, si considerino i polinomi

p1,α(x) = x²+ αx + 1, q1,α(x) = 3x³+ (3− 4α)x²+ (2α− 2)x + 3 − 5α, p_2,α(x) = (1− 2α)x²− x − 1, q_2,α(x) = x³− (3α − 1)x²+ (2α− 1)x + 3α − 1, p_3,α(x) = (2− 2α)x²+ (7α− 2)x + 2, q3,α(x) = 2x³+ (3− 3α)x²+ (2α− 2)x + 3 − 6α.

(a) Per quali α esiste e per quali `e anche unica l’applicazione lineare F_α : V₂ → V3 tale che F_α(p_i,α(x)) = q_i,α(x) per i = 1, 2, 3.

(b) Data l’applicazione P_β : V₃ → V2, ∑₃

i=0a_ixⁱ →∑₂

i=0a_ixⁱ+ β∑₂

i=0a_3−ixⁱ, si verifichi che `e lineare e si calcoli una base del nucleo, al variare di β ∈ R.

(c) Si calcoli la matrice rappresentativa di f := P₀◦ F0 rispetto alla base

A := {p1,0(x), p_2,0(x), p_3,0(x)}, e la matrice rappresentativa di g := F0◦ P0 rispetto alla base B := {p1,0(x), p2,0(x), p3,0(x), x³}.

(d) Si stabilisca se f e g sono diagonalizzabili e si esibisca una base di tutti gli autospazi di f.

Nash

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Mi avvalgo dell’esonero

1. Si considerino i seguenti sottospazi di M_2×2(R):

U_h = {

A∈ M2×2(R) | A

[ 0 0 1 −h

]

=

[ 0 0 1 −h

] A

} ,

V_h = {

B ∈ M2×2(R) | B

[ 0 −h 1 0

]

=

[ 0 0 1 −h

] B

} ,

W =

⟨[ 1 4 5 1

] ,

[ 2 0 1 3

] ,

[ 2 4 6 3

] ,

[ 0 8 9 −1

]⟩

.

(a) Si determinino la dimensione e una base di W .

(b) Si calcolino la dimensione e una base di U_h e di V_h al variare di h.

(c) Si determinino la dimensione e una base di U_h∩ Vh e di U_h+ V_h.

(d) Per quali h W ∩ Uh∩ Vh non e’ ridotto al solo zero? Per tali h determinare una base e la dimensione di W ∩ Uh.

2. Nello spazio affineA⁴, sia Π l’iperpiano di equazione y−w−1 = 0 e sia θkil piano ottenuto intersecando Π con l’iperpiano di equazione kx− y + kz − w + 3 = 0. Sia inoltre rkla retta passante per i punti P₀ = (0, 3− k, 1 − k, 2 − k) e P1 = (1, 2,−1, 1).

(a) Dopo aver verificato che la retta r_k `e interamente contenuta nell’iperpiano Π, si studino le posizioni relative tra r_k e θ_k al variare di k∈ R.

(b) Sia λ_k il piano contenente la retta r_k e il punto Q = (0, 1, 0, 1). Quali sono, al variare di k∈ R, le posizioni reciproche tra λk e θ_k?

(c) Nel caso k = 1, sia Ω lo spazio congiungente i piani λ₁ e θ₁. Si determini una rappresentazione cartesiana di Ω.

3. Sia V_d := R[x]≤d lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado al massimo d. Per α ∈ R, si considerino i polinomi

p_1,α(x) = x²− αx + 1, q_1,α(x) = 3x³+ (3 + 4α)x²− (2α + 2)x + 3 + 5α, p_2,α(x) = (2α + 1)x²− x − 1, q_2,α(x) = x³+ (3α + 1)x²− (1 + 2α)x − 3α − 1, p_3,α(x) = (2 + 2α)x²− (7α + 2)x + 2, q3,α(x) = 2x³+ (3 + 3α)x²− (2α + 2)x + 3 + 6α.

(a) Per quali α esiste e per quali `e anche unica l’applicazione lineare Fα : V2 → V3 tale che F_α(p_i,α(x)) = q_i,α(x) per i = 1, 2, 3.

(b) Data l’applicazione Pβ : V3 → V2, ∑₃

i=0aixⁱ →∑₂

i=0aixⁱ+ β∑₂

i=0a3−ixⁱ, si verifichi che `e lineare e si calcoli una base del nucleo, al variare di β ∈ R.

(c) Si calcoli la matrice rappresentativa di f := P₀◦ F0 rispetto alla base

A := {p1,0(x), p_2,0(x), p_3,0(x)}, e la matrice rappresentativa di g := F0◦ P0 rispetto alla base B := {p1,0(x), p_2,0(x), p_3,0(x), x³}.

(d) Si stabilisca se f e g sono diagonalizzabili e si esibisca una base di tutti gli autospazi di f.

Young