Esame di geometria 1 — 5 luglio 2019 NOME, COGNOME e MATRICOLA.............................................................................................. Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma................................

(1)

Esame di geometria 1 — 5 luglio 2019

NOME, COGNOME e MATRICOLA...

Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...

1. Si considerino V := {x ∈ R

⁵

| x

₁

− x

₂

+ x

₃

− x

₄

= 0}, sottospazio vettoriale di R

⁵

, e i seguenti vettori v

_i

∈ V e w

_i

∈ R

⁵

:

v

₁

=





 1 1 1 1 1







, v

₂

=





 1 0 1 2 h − 1





 , v

₃

=





 h h 1 1 0







, v

₄

=





 h h − 1 h − 1

h 0







;

w

₁

=





 0 0 h h 2h







, w

₂

=





 2 2 1 1 1







, w

₃

=





 1 1 0 0 0







, w

₄

=





 0 0 h h h





 .

(a) Si stabilisca per quali h esiste unica l’applicazione lineare f

h

: V → V tale che f

_h

(v

_i

) = w

_i

, con i = 1, 2, 3, 4.

(b) Per i valori di h per cui f

_h

esiste unica, si determini la dimensione e una base di Im(f

h

) e di ker(f

h

).

(c) Per i valori di h per cui f

_h

esiste unica, si determini la dimensione e una base di Im(f

_h

) ∩ ker(f

_h

) e di Im(f

_h

) + ker(f

_h

).

2. Nello spazio R[x]

^≤2

dei polinomi di grado al massimo 2 a coefficienti reali, si consideri, al variare di k ∈ R, l’endomorfismo f

k

: R[x]

^≤2

→ R[x]

^≤2

, definito da f

_k

(p(x)) := p(kx + 1).

(a) Si stabilisca per quali k f

_k

` e invertibile, e per tali k si esibisca una matrice rappresentativa di f

_k⁻¹

, e si calcoli l’immagine, mediante f

_k⁻¹

, del generico polinomio ax

²

+ bx + c.

(b) Si stabilisca per quali k f

_k

` e diagonalizzabile; per i k per cui non ` e diagonalizzabile, si determini una base degli autospazi di f

_k

.

Sia ora A la matrice rappresentativa di f

−2

rispetto alla base C = {x

²

, x, 1}, e sia

g : R

≤2

[x] → R

≤2

[x] l’endomorfismo avente come matrice rappresentativa, rispetto alla base C, la trasposta A

^T

.

(c) Si calcoli il polinomio g(x

²

+ 1).

%

(2)

3. Nello spazio affine reale A

⁴

, si considerino il piano θ, di equazioni cartesiane

2x − 3y + z − w + 1 = 0 3x − 4y + 2z − 3w − 1 = 0 , ,

e la retta r

`

, congiungente i punti P = (1, 1, 0, 1) e Q

`

= (4`, 3`, −3`, −`), con ` ∈ R parametro.

(a) Si determini la posizione reciproca di θ e r

_`

, al variare di ` ∈ R.

(b) Per ogni valore ` del parametro, tale che θ e r

_`

sono incidenti, se ne determini il punto di intersezione.

(c) Sia ω il piano che contiene tutte le rette r

_`

, si determini la posizione relativa di θ e ω.