r r r m M B A 2 d l P R N € € € € € € € € € r r N T D r C A B R r p r € € P € r €  ˆ € € € P = − Mg j €  r € ˆ p = − mg j  r  € ˆ ˆ  T = − T i + T j = − T cosˆ i + T sinˆ j x y r  ˆ R = R i  r  ˆ N = N j  () () ()  R − T cos = 0 €  T sin + N −

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Testo completo

(1)

Asta omogenea di massa

M e lunghezza

2l incernierata ad un piano verticale sostenuta da una fune ideale (1/2)

P r

N r

T r

p r

P = −Mgˆ r j p = −mgˆ j r

T = −Tr xˆ i + Tyˆ j = −T cosϑˆ i + T sinϑˆ j R = Rˆ r i

N = Nˆ r j

 

R − T cosϑ = 0

T sinϑ + N − Mg − mg = 0

 

A − B

( )

N + C − Br

( )

P + D − Br

( )

r p = 0

€ ϑ

R r

A

C

D

B

Nel sistema considerato vi è una massa

m posta a distanza

d dall’estremo

B dell’asta.

Oltre alla forza peso

P applicata nel centro geometrico (in quanto si r tratta di un corpo omogeneo), sull’asta agiscono la tensione della fune e le reazioni vincolari della parete:

R impedisce che l’asta penetri nella r parete e

N impedisce che l’estremo r

A cada verso il basso. Le espressioni cartesiane delle forze esterne sono quindi:

Imponiamo le equazioni cardinali della statica:

− 2l N sinπ 2

k + l P sinˆ π 2

k + d p sinˆ π 2

k = 0ˆ

−2Nl + Mgl + mgd = 0

Ia cardinale IIa cardinale Sviluppando i prodotti vettoriali della terza equazione si ottiene

(2)

R = cosϑ g

sinϑ M + m − Ml + md 2l

  

  = g

tanϑ M + m − Ml + md 2l

  

  Da quest’ultima espressione otteniamo il modulo di

N :r

N = g

2l

(

Ml + md

)

che, sostituito nella seconda equazione, ci dà il modulo di

T :r

T sinϑ = g M + m

( )

− N = g M + m

( )

g

2l

(

Ml + md

)

T = g

sinϑ M + m −Ml + md 2l

  

 

che a sua volta, sostituito nella prima equazione, ci dà il modulo di

R :r

Nel caso particolare in cui

d = l otteniamo:

N = g

2l

(

Ml + ml

)

= g/ / l

2/ l

(

M + m

)

=g

2

(

M + m

)

T = g

sinϑ M + m −Ml + ml 2l

  

  = g

sinϑ M + m − / l M + m

( )

2/ / / l

  

  = g

2sinϑ

(

M + m

)

R = g

tanϑ M + m −/ l M + m

( )

2/ l

  

  = g

2tanϑ

(

M + m

)

Asta omogenea di massa

M e lunghezza

2l incernierata ad un piano verticale sostenuta da una fune ideale (2/2)

figura

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