r r r m M B A 2 d l P R N € € € € € € € € € r r N T D r C A B R r p r € € P € r €  ˆ € € € P = − Mg j €  r € ˆ p = − mg j  r  € ˆ ˆ  T = − T i + T j = − T cosˆ i + T sinˆ j x y r  ˆ R = R i  r  ˆ N = N j  () () ()  R − T cos = 0 €  T sin + N −

(1)

Asta omogenea di massa

€

M e lunghezza

€

2l incernierata ad un piano verticale sostenuta da una fune ideale (1/2)

€

P r

€

N r

€

T r

€

p r

€

P = −Mgˆ r j p = −mgˆ j r

T = −Tr _xˆ i + T_yˆ j = −T cosϑˆ i + T sinϑˆ j R = Rˆ r i

N = Nˆ r j







 





€

R − T cosϑ = 0

T sinϑ + N − Mg − mg = 0

 

 A − B

( )

^∧^{N + C − B}^r

( )

^∧^{P + D − B}^r

( )

^∧^r^{p = 0}

€ ϑ

€

R r

€

A

€

C

€

D

€

B

Nel sistema considerato vi è una massa

€

m posta a distanza

€

d dall’estremo

€

B dell’asta.

Oltre alla forza peso

€

P applicata nel centro geometrico (in quanto si r tratta di un corpo omogeneo), sull’asta agiscono la tensione della fune e le reazioni vincolari della parete:

€

R impedisce che l’asta penetri nella r parete e

€

N impedisce che l’estremo r

€

A cada verso il basso. Le espressioni cartesiane delle forze esterne sono quindi:

Imponiamo le equazioni cardinali della statica:

€

− 2l N sinπ 2

k + l P sinˆ π 2

k + d p sinˆ π 2

k = 0ˆ

−2Nl + Mgl + mgd = 0

I^a cardinale II^a cardinale Sviluppando i prodotti vettoriali della terza equazione si ottiene

(2)

€

R = cosϑ g

sinϑ M + m − Ml + md 2l



  

  = g

tanϑ M + m − Ml + md 2l



  

  Da quest’ultima espressione otteniamo il modulo di

€

N :r

€

N = g

2l

(

Ml + md

)

che, sostituito nella seconda equazione, ci dà il modulo di

€

T :r

€

T sinϑ = g M + m

( )

− N = g M + m

( )

⁻ ^g

2l

(

Ml + md

)

T = g

sinϑ M + m −Ml + md 2l



  

 

che a sua volta, sostituito nella prima equazione, ci dà il modulo di

€

R :r

Nel caso particolare in cui

€

d = l otteniamo:

€

N = g

2l

(

Ml + ml

)

⁼ ^g/^/^l

2/ l

(

M + m

)

⁼^g

2

(

M + m

)

€

T = g

sinϑ M + m −Ml + ml 2l



  

  = g

sinϑ M + m − / l M + m

( )

2/ / / l



  

  = g

2sinϑ

(

M + m

)

€

R = g

tanϑ M + m −/ l M + m

( )

2/ l



  

  = g

2tanϑ

(

M + m

)

Asta omogenea di massa

€

M e lunghezza

€

2l incernierata ad un piano verticale sostenuta da una fune ideale (2/2)