Econometria Eteroschedasticità Tiziano Razzolini

Tiziano Razzolini

Università di Siena

Siena, 2020

In questa parte del corso toccheremo i seguenti argomenti

1 La natura dell’eteroschedasticità

2 Individuare l’eteroschedasticità

3 Standard error robusti

4 Minimi quadrati generalizzati: varianza nota

5 Minimi quadrati generalizzati: varianza ignota

6 Eteroschedasticità nel modello di probabilità lineare

Consideriamo la funzione lineare:

E [y ] = β₁+ β₂x

Per tener conto del fatto che non tutte le famiglie con uno stessoreddito x avranno la stessa spesa alimentare y , e coerentemente con la specificazione generale del modello di regressione, indichiamo con e_i la differenza fra la spesa della famiglia i-esima, y_i, e la spesa media per tutte le famiglie con reddito x_i

e_i =y_i− E[y_i] =y_i− β₁− β₂x_i. In altre parole il nostro modello è:

y = β + β x +e.

La probabilità di ottenere grandi valori di e, positivi o negativi, è maggiore in corrispondenza di redditi elevati rispetto a redditi bassi.

1 Una variabile casuale, in questo caso e, ha probabilità più elevata di assumere valori lontani dalla propria media se la sua varianza è alta.

2 Possiamo dunque catturare l’effetto che abbiamo descritto assumendo che Var [e] dipenda direttamente dal reddito x .

3 Var [e] cresce al crescere di x .

In una situazione come questa, in cui la varianza delle osservazioni non sono tutte le stesse, diremo che esiste eteroschedasticità.

1 In alternativa, che la variabile casuale y e l’errore casuale e sono eteroschedastici.

2 Al contrario, se tutte le osservazioni provengono da funzioni di densità con la stessa varianza, diremo che esiste omoschedasticità e che y ed e sono

omoschedastici.

L’esistenza di eteroschedasticità rappresenta una violazione di una delle ipotesi dei minimi quadrati.

1 Finora abbiamo assunto che gli errori causali fossero incorrelati, di media nulla e varianza costante:

E [e_i] =0, Var [e_i] = σ², Cov [e_i,x_i] =0.

2 La nostra discussione suggerisce che l’ipotesi MR3, debba essere sostituita con un’ipotesi del tipo:

Var [y_i] =Var [e_i] =h(x_i) = σ_i² dove h(x_i)è una funzione crescente di x_i.

Example (Spesa alimentare)

La stima dei minimi quadrati dell’equazione della spesa alimentare è:

by = 83.42 + 10.21x

da cui, possiamo esprimere i residui dei minimi quadrati come:

be_i =y_i− 83.42 − 10.21xi.

Example (Spesa alimentare)

L’eteroschedasticità è una caratteristica frequente nei dati in cross-section.

1 Il termine cross-section è usato per indicare un insieme di dati riguardante un certo numero di unità economiche (individui, famiglie, imprese), in un determinato istante temporale.

2 I dati in cross-section contengono sempre osservazioni relative a unità economiche di dimensione diversa.

3 Le implicazioni di questo fatto sul modello di regressione lineare sono che al crescere della dimensione dell’unità economica cresce l’incertezza associata agli esiti y .

4 Questa maggiore incertezza viene descritta specificando una varianza dell’errore tanto maggiore quanto più grande la dimensione dell’unità economica.

L’eteroschedasticità non è una proprietà necessariamente confinata ai dati in cross-section.

1 La varianza dell’errore può cambiare anche con dati in serie storica, che si riferiscono a una unità economica osservata per un certo periodo di tempo, come un’impresa, una famiglia, un settore produttivo o perfino un’intera economia.

Le implicazioni dell’eteroschedasticità per lo stimatore dei minimi quadrati sono varie:

1 Lo stimatore dei minimi quadrati è ancora lineare e corretto, ma non è più il migliore.

2 Esiste un altro stimatore con varianza inferiore.

3 Gli standard error dello stimatore dei minimi quadrati calcolati usando le formule viste in precedenza sono errati.

4 Gli intervalli di confidenza e i test delle ipotesi basati su questi standard error potrebbero essere fuorvianti.

Cosa succede agli standard error? Consideriamo il modello di regressione semplice senza eteroschedasticità:

y_i = β₁+ β₂x_i+e_i, Var [e_i] = σ².

La varianza dello stimatore dei minimi quadrati bβ2è data da:

Var [ bβ₂] = σ² Pn

i=1(x_i− ¯x )².

Supponiamo ora che le varianze degli errori non siano costanti.

Il nostro modello diventa allora:

y_i = β₁+ β₂x_i+e_i, Var [e_i] = σ²_i.

La varianza dello stimatore dei minimi quadrati bβ₂è data da :

Var [ bβ₂] =

n

X

i=1

w_i²σ_i²= Pn

i=1(x_i− ¯x )²σ_i² Pn

i=1(x_i− ¯x )²
2.

Problem Dimostrare che

Var [ bβ₂] = Pn

i=1(x_i− ¯x )²σ_i² Pn

i=1(x_i− ¯x )²
2.

Esistono due modi per rilevare la presenza di eteroschedasticità.

1 Il primo è rappresentato dall’uso di grafici dei residui.

2 L’altro consiste di due classi più formali di test statistici.

Se gli errori sono omoschedastici, non dovrebbe essere possibile individuare nei residui nessun tipo di struttura.

1 Se gli errori sono eteroschedastici, invece, i residui

tenderanno a presentare una maggiore variabilità secondo uno schema sistematico.

2 Questa tecnica di individuazione si può applicare in ogni regressione lineare semplice.

3 In un modello di regressione multipla, potremmo tracciare il grafico dei residui rispetto ad ogni esplicativa, oppure rispetto a y_i, per vedere se c’è un andamento sistematico.

Figure: Residui della spesa alimentare rispetto al reddito

Consideriamo un test di eteroschedasticità basato su una funzione di varianza.

Consideriamo il modello generale di regressione multipla:

y_i = β1+ β2x_i2+ · · · + βKx_iK +e_i.

Una forma generale della funzione di varianza è data da:

Var [y_i] = σ²_i =E [e²_i] =h(α₁+ α₂z_i2+ · · · + α_Sz_iS).

Questa espressione è generale perché non abbiamo specificato nulla circa la funzione h(·).

Esistono molte possibili funzioni per h(·). Due esempi sono:

Funzione esponenziale:

h(α₁+ α2z_i2+ · · · + α_Sz_iS) = exp(α1+ α2z_i2+ · · · + α_Sz_iS) Funzione lineare:

h(α₁+ α₂z_i2+ · · · + α_Sz_iS) = α₁+ α₂z_i2+ · · · + α_Sz_iS. In quest’ultimo caso è necessario fare attenzione al fatto che sia verificata la condizione h(·) > 0.

Si noti che quando

α₂= α₃= · · · = α_S =0 allora

h(α₁+ α2z_i2+ · · · + α_Sz_iS) =h(α₁) dove h(α₁)è una costante. Nel primo caso abbiamo

h(α₁) = exp(α₁) mentre nel secondo

h(α₁) = α1.

In altre parole, se:

α₂= α₃= · · · = α_S =0

l’eteroschedasticità non è presente e la varianza è costante. Di conseguenza, come ipotesi nulla e alternativa di un test di eteroschedasticità possiamo considerare:

H₀: α₂= α₃= · · · = α_S =0

H₁:almeno un α_j, j = 2, . . . , S, è diverso da zero.

Dopo l’ipotesi nulla e l’alternativa, dobbiamo costruire una statistica test.

Per ottenere una statistica test usiamo

Var [y_i] = σ_i²=E [e_i²] = α₁+ α₂z_i2+ · · · + α_Sz_iS. Chiamiamo ν_i =e_i²− E[e_i²]la differenza tra il quadrato di un errore e la sua media. Possiamo allora scrivere

e²_i =E [e²_i] + νi = α1+ α2z_i2+ · · · + α_Sz_iS+ νi.

Si noti che l’aggiunta di ν_i alla funzione di varianza ha lo stesso scopo dell’aggiunta di e_ialla funzione della media nel modello di regressione generale:

y_i =E [y_i] +e_i = β1+ β2x_i2+ · · · + βKx_iK +e_i. Sostituendo il quadrato dei residui dei minimi quadratibe_i²al posto di e_i², otteniamo:

be²_i = α₁+ α₂z_i2+ · · · + α_Sz_iS+ ν_i che possiamo definire come una regressione ausiliaria.

Dato che la statistica di adattamento R², calcolata nella regressione ausiliaria, misura la frazione di varianza dieb²_i spiegata dalle z, sembra naturale considerarla come possibile statistica test

È possibile dimostrare che, sotto H₀, il prodotto di R²per la numerosità campionaria ha distribuzione χ²con S − 1 gradi di libertà:

n × R²∼ χ²_S−1.

Questo test ha diverse importanti caratteristiche.

È un test asintotico, valido in campioni di numerosità elevata.

Spesso questo test è chiamato test di eteroschedasticità dei moltiplicatori di Lagrange o Breusch-Pagan.

Una delle caratteristiche più sorprendenti del test è che il valore della statistica calcolata a partire dalla funzione lineare è valido anche quando si considera un’alternativa in cui la funzione di varianza ha una qualsiasi delle forme viste precedentemente.

Il test precedente presuppone chesi conoscano le variabili che compaiono nella funzione di varianza se l’ipotesi alternativa è vera.

In altre parole, per usare il test bisogna saper specificare z₂,z₃, . . . ,z_S.

Vorremmo poter verificare la presenza di

eteroschedasticità senza avere una conoscenza precisa delle variabili coinvolte in essa.

Partendo da questa idea, White suggerisce di scegliere come z le variabili x , i loro quadrati e possibilmente i loro prodotti incrociati.

esplicative:

E [y ] = β₁+ β₂x₂+ β₃x₃

Il test di White senza termini di prodotto incrociato (interazioni) specifica:

z₂=x₂, z₃=x₃, z₄=x₂², z₅=x₃²

L’inclusione dei termini di interazione aggiunge una variabile in più

z₆=x₂x₃.

Il test di White viene effettuato come test F oppure usando un test χ²

n × R²∼ χ²_S−1

Example (Spesa alimentare)

Consideriamo H₀: α₂=0 contro l’alternativa H₁: α₂6= 0 nella funzione di varianza σ²_i =h(α₁+ α2x_i).

Iniziamo stimando con i minimi quadrati la funzione be_i²= α1+ α2x_i+ νi.

Salviamo l’R²che è:

R²=1 − SQR

SQT =0.1846.

E calcoliamo

n × R²=40 × 0.1846 = 7.38.

Example (Spesa alimentare)

Dato che nell’ipotesi nulla compare un solo parametro, il test chi quadrato ha un solo grado di libertà.

Il valore critico al 5% è 3.84.

Dato che 7.38 è maggiore di 3.84, rifiutiamo l’ipotesi nulla H₀e concludiamo che la varianza dipende dal reddito.

Example (Spesa alimentare)

Per calcolare la versione di White del test, iniziamo stimando con i minimi quadrati la funzione:

be²_i = α₁+ α₂x_i+ α₃x_i²+ ν_i.

Verifichiamo H₀: α₂= α₃=0 contro H₁: α₂6= 0 o α₃6= 0.

Considerando sia la statistica test sia il p-value:

n × R²=40 × 0.18888 = 7.555, p − value = 0.023.

Il valore critico al 5% è χ²_(0.95,2)=5.99.

Ancora una volta concludiamo che l’eteroschedasticità è

Example (L’equazione del salario)

Esiste un secondo test è pensato per due gruppi di osservazioni con varianza potenzialmente diversa.

Consideriamo un’equazione del salario nella quale la retribuzione oraria (WAGE ) dipende dagli anni di istruzione (EDUC), da quelli di esperienza (EXPER) e da una

dummy che indica se il lavoratore vive in un’area metropolitana (METRO).

Example (L’equazione del salario)

La stima dei minimi quadrati del modello è data da:

WAGE = −9.914\

(1.08) +1.234

(0.070)EDUC + 0.133

(0.015)EXPER +1.524

(0.431)METRO.

Il test di Goldfeld-Quandt è costruito proprio per verificare questa forma di eteroschedasticità, in cuiil campione può essere diviso in due gruppi che si sospetta abbiano varianze diverse.

Example (L’equazione del salario)

Possiamo scrivere due equazioni di regressione distinte per i due gruppi come:

WAGE_Mi = β_M1+ β_M2EDUC_Mi+ β_M3EXPER_Mi+e_Mi,i = 1, 2, . . . n_M WAGERi = β_R1+ β_R2EDUCRi+ β_R3EXPERRi+eRi,i = 1, 2, . . . nR. Vogliamo verificare l’ipotesi nulla

H₀: σ²_M = σ²_R.

La statistica test è data da:

F = bσ_M²/σ_M²

σb²_R/σ_R² ∼ Fn_M−KM,n_R−KR

Supponiamo di voler verificare:

H₀: σ²_M = σ_R² contro H₁: σ²_M 6= σ_R². Se H₀è vera, la statistica test si reduce a:

F = σb²_M σb_R².

Example (L’equazione del salario)

Data la specificazione dell’ipotesi alternativa, il test di Goldfeld-Quandt è un test a due code con K_M =K_R=3 e n_M =808, n_R=192

I valori critici a un livello di significatività del 5% sono F_Lc =F (0.025, 805, 189) = 0.81 e

F_Uc=F (0.975, 805, 189) = 1.26.

Rifiutiamo H₀se F < F_Lc o F > F_Uc.

Example (L’equazione del salario)

Usando i minimi quadrati per stimare separatamente il modello M e il modello R otteniamo le stime delle seguenti varianze

σb²_M =31.824,bσ_R² =15.243

Per decidere se questa differenza si possa attribuire alla variabilità campionaria o sia abbastanza ampia per concludere che σ²_M 6= σ²_R, calcoliamo:

F = bσ_M²

bσ_R² = 31.824

15.243 =2.09.

Dato che 2.09 > F_Uc =1.26, rifiutiamo H₀e concludiamo che la varianza del salario non è la stessa nelle regioni rurali e

Example (Spesa alimentare)

Nell’esempio della spesa alimentare, ordinando le osservazioni rispetto al reddito x_i, e dividendo il campione in due gruppi di 20 osservazioni ciascuno, in modo che la prima metà del campione corrisponderà ad osservazioni convarianza più bassa e la seconda metà ad osservazioni con varianza più alta, otteniamo:

σb²₁=3574.8,bσ₂²=12921.9.

Da cui deriviamo:

F = σb²_M

bσ_R² = 3574.8

12921.9 =3.61.

Example (Spesa alimentare)

Essendo convinti che le varianze possano crescere, ma non diminuire, con il reddito usiamo un test a una coda con valore critico al 5% F(0.95,18,18)=2.22.

Dato che 3.61 > 2.22, l’ipotesi nulla di omoschedasticità è rifiutata a favore della alternativa secondo la quale la varianza cresce con il reddito.

Si ricordi che l’uso dello stimatore dei minimi quadrati in

presenza di eteroschedasticità introduce due ordini di problemi:

1 Lo stimatore dei minimi quadrati, pur essendo corretto, non è più il migliore.

2 Gli standard error classici dei minimi quadrati sono

sbagliati e questo invalida le proprietà di stime intervallari e statistiche test.

E’ possibile correggere gli standard error in modo da costruire stime intervallari e statistiche test valide anche in presenza di eteroschedasticità.

Nel caso del modello di regressione semplice con errori

eteroschedastici, la varianza dello stimatore dei minimi quadrati è data da:

Var [ bβ₂] = Pn

i=1(x_i− ¯x )²σ_i² Pn

i=1(x_i− ¯x )²
2.

White ha suggerito uno stimatore consistente di questa varianza. Gli standard error costruiti in questo modo sono noti come:

1 standard error consistenti in presenza di eteroschedasticità, o

2 standard error robusti rispetto alla eteroschedasticità, o

3 standard error robusti

Il termine robusti sta ad indicare il fatto che questi standard error sono validi nei grandi campioni sia quando gli errori sono eteroschedastici sia quando sono omoschedastici.

Nel caso del modello di regressione semplice con errori

eteroschedastici, la varianza dello stimatore dei minimi quadrati è data da:

V ar [ bb β₂] = n n − 2

Pn

i=1(x_i− ¯x )²eb²_i Pn

i=1(x_i− ¯x )²
2.

Example (Spesa alimentare)

yb

se classici

se di White

=83.42

43.41

27.46

+10.21

2.09

1.81

x .

In questo caso, se ignoriamo l’eteroschedasticità, sottostimiamo la precisione delle stime e gli intervalli di confidenza tendono ad essere più ampi di quello che dovrebbero essere.

Example (Spesa alimentare)

Gli intervalli di confidenza per β₂al 95%, associati ai due tipi di standard error sono:

1 White: bβ₂± t_cse( bβ₂) =10.21 ± 2.024 × 1.81 = [6.55, 13.87]

2 Classico:

βb₂± tcse( bβ₂) =10.21 ± 2.024 × 2.09 = [5.97, 14.45]

error di White ci aiuta a evitare di calcolare stime intervallari errate o valori sbagliati di statistiche test.

1 Lo stimatore di White non affronta però l’altra implicazione dell’eteroschedasticità: cioè che lo stimatore dei minimi quadrati non è più ottimale.

2 Non risolvere questo problema, tuttavia, può non essere un peccato molto grave.

3 Se la numerosità campionaria è elevata, la varianza dello stimatore dei minimi quadrati può comunque essere abbastanza piccola da garantire stime precise.

4 Per calcolare uno stimatore alternativo con una varianza minore bisogna specificare un’opportuna funzione di varianza.

5 L’uso dei minimi quadrati in combinazione con standard

Consideriamo nuovamente il modello con eteroschedasticità:

y_i = β₁+ β₂x_i+e_i

E [e_i] =0, Var [e_i] = σ_i²,Cov [e_i,e_j] =0, i 6= j Per sviluppare uno stimatore migliore di quello dei minimi quadrati è necessario formulare un’ulteriore ipotesi sul modo in cui le varianze σ²_i cambiano tra osservazioni.

Questa ipotesi in più è necessaria perché lo stimatore BLUE in presenza di eteroschedasticità (minimi quadrati generalizzati o GLS) dipende dalle σ_i²ignote

1 Avendo solo n osservazioni, non è consigliabile stimare le n varianze ignote σ²_i, i = 1, 2, . . . , n

2 Per poter applicare in pratica lo stimatore dei minimi quadrati generalizzati, dunque, è necessario specificare la struttura delle σ_i².

3 Una possibile ipotesi è data da:

Var [e_i] = σ_i²= σ²x_i.

Affronteremo questo problema cambiando o trasformando il modello originario in un altro con errori omoschedastici.

Per mettere in pratica questa idea, iniziamo dividendo entrambi i lati del modello per√

x_i y_i

√x_i = β₁ 1

√x_i + β₂ x_i

√x_i + e_i

√x_i riscriviamo il nostro modello come:

y_i^∗ = β₁x_i1^∗ + β₂x_i2^∗ +e_i^∗ dove

y_i^∗= y_i

√x , x_i1^∗ = 1

√x , x_i2^∗ = x_i

√x , e^∗_i = e_i

√x .

Problem

Dimostrare che e^∗_i è omoschedastico.

Il vantaggio di questo modello trasformato sta nel fatto che il nuovo termine d’errore è omoschedastico

Var [e^∗_i] =Var

 e_i

√x_i



= 1

x_iVar [e_i] = 1

x_iσ²x_i = σ². Il termine d’errore trasformato, inoltre, conserverà le proprietà di media nulla e correlazione nulla fra osservazioni diverse.

Una differenza importante è che il modello trasformato non contiene più un termine costante.

Riassumendo, per calcolare il miglior stimatore lineare e corretto in un modello con eteroschedasticità del tipo specificato precedentemente, dobbiamo:

calcolare le variabili trasformate

usare i minimi quadrati per stimare il modello trasformato Lo stimatore così ottenuto è chiamato stimatore dei minimi quadrati generalizzati (GLS).

Un modo per interpretare lo stimatore dei minimi quadrati generalizzati consiste nel considerarlo uno stimatore dei minimi quadrati ponderati.

In questo caso stiamo minimizzando la somma dei quadrati degli errori trasformati:

n

X

i=1

e^∗2_i =

n

X

i=1

 e_i

√x_i

2

.

Gli errori sono ponderati per x_i^−1/2. Quando il peso√

x_i è piccolo, i dati contengono più informazione sulla funzione di regressione e alle

osservazioni viene attribuito un peso maggiore e viceversa.

Example

Applicando la procedura dei minimi quadrati generalizzati (ponderati) ai dati della spesa alimentare, otteniamo la stima seguente:

by_i =78.68

(23.79)+10.45

(1.39)x_i

Gli standard error tra parentesi sono entrambi minori dei corrispondenti standard error consistenti di White.

L’intervallo di confidenza al 95% di β₂è dato da:

βb₂± tcse( bβ₂) =10.45 ± 2.024 × 1.386 = [7.65, 13.26].

Example (L’equazione del salario)

Torniamo all’equazione del salario in cui la varianza dell’errore per le osservazioni dei lavoratori metropolitani era diversa da quella dei lavoratori rurali:

WAGEMi= β_M1+ β_M2EDUCMi+ β_M3EDUCMi+eMi,i = 1, 2, . . . nM

WAGERi= β_R1+ β_R2EDUCRi+ β_R3EDUCRi+eRi,i = 1, 2, . . . nR.

E le stime delle varianze in ciascun gruppo erano:

bσ_M² =31.824, bσ_R² =15.243.

Example (L’equazione del salario)

Per tener conto del fatto che le varianze dell’errore sono diverse tra i due gruppi, possiamo stimare separatamente le due equazioni con i minimi quadrati, ottenendo:

βb_M1= −9.052, bβ_M2=1.282, bβ_M3=0.1346 βb_R1= −6.166, bβ_R2 =0.956, bβ_R3=0.1260

Il problema con questo modo di procedere, tuttavia, è quello di ottenere due stime di β₂e due stime di β₃, quando invece stiamo assumendo che l’effetto sul salario di istruzione ed esperienza sia lo stesso nelle due aree.Se questa congettura è vera possiamo ottenere stime più precise combinando i due sottocampioni

Example (L’equazione del salario)

La strategia da seguire è la stessa del paragrafo precedente.

Le variabili vengono trasformate dividendo ogni osservazione per lo scarto quadratico medio del termine d’errore

corrispondente, σ_M e σ_R: WAGE_Mi

σ_M = βM1

1

σ_M + βM2

EDUC_Mi

σ_M + βM3

EXPER_Mi σ_M +e_Mi

σ_M e

WAGE_Ri

σ_R = βR1

1

σ_R + βR2

EDUC_Ri σ_R + βR3

EXPER_Ri σ_R +e_Ri

σ_R.

Example (L’equazione del salario)

Applicando i minimi quadrati all’insieme di tutte le osservazioni trasformate otteniamo i migliori stimatori lineari e corretti.

Questa procedura presenta tuttavia due complicazioni La prima è che σ_M e σ_Rsono ignoti.

Per risolvere questo problema trasformiamo le osservazioni usando le stimebσ_M eσb_R.

Questa soluzione fornisce lo stimatore calcolabile dei minimi quadrati generalizzati (FGLS), con buone proprietà nei grandi campioni.

Example (L’equazione del salario)

La seconda complicazione è che le intercette nelle due aree sono diverse.

La differenza delle intercette può essere incorporata nel modello includendo la dummy METRO che deve essere trasformata come le altre variabili esplicative.

Example (L’equazione del salario)

Possiamo sintetizzare il metodo per ottenere le stime calcolabili dei minimi quadrati generalizzati come segue:

Ottenere le stimeσb_M ebσ_Rapplicando separatamente i minimi quadrati alle osservazioni metropolitane e rurali.

Sia

σb_i=



σbM METRO_i =1 σb_R METRO_i =0

Example (L’equazione del salario)

Applicchiamo i minimi quadrati al modello trasformato WAGE_i

bσ_i = βR1

1 bσ_i + β2

EDUC_i bσ_i + β3

EXPER_i

bσ_i + δMETRO_i bσ_i +e_i

bσ_i.

Seguendo questi passaggi otteniamo l’equazione stimata seguente:

WAGE = −9.398\

(1.02) +1.196

(0.069)EDUC + 0.132

(0.015)EXPER + 1.539

(0.346)METRO.

Dove

Finora abbiamo assunto nota la forma della varianza.

Consideriamo ora un modello più generale che contiene dei parametri incogniti aggiuntivi da stimare.

Ad esempio, un’espressione che ha come casi particolari tutti quelli precedenti, è data da:

Var [e_i] = σ_i²= σ²x_i^γ dove γ è un parametro incognito.

La nostra discussione suggerisce di trasformare il modello dividendo la i-esima osservazione di ogni variabile per x

γ 2

i .

Dato che γ è incognito, prima di procedere alla trasformazione bisogna stimarlo.

Ad esempio, un’espressione che ha come casi particolari tutti quelli precedenti, è data da:

log(σ_i²) = log(σ²) + γ log(x_i).

Calcolando l’esponenziale di entrambi i lati otteniamo:

σ_i²= exp(log(σ²) + γ log(x_i)) = exp(α1+ α2z_i) dove α₁= log(σ²), α₂= γ e z_i = log(x_i).

Questa formulazione della funzione di varianza è

conveniente perché mostra che la varianza può dipendere da qualsiasi esplicativa z_i , sia essa tra i regressori della relazione econometrica oppure no.

Se pensiamo che la varianza possa dipendere da più di una variabile esplicativa, possiamo esprimerla come

σ_i²= exp(α1+ α2z_i2+ · · · + α_Sz_iS).

Torniamo al modello semplice e riscriviamolo log(σ²_i) = α₁+ α₂z_i.

Chiediamoci ora come stimare α₁e α₂.

Usiamo i quadrati dei residui dei minimi quadratibe²_i come osservazioni:

log(be_i²) = log(σ²_i) + ν_i = α₁+ α₂z_i+ ν_i. La regressione fornisce le stime dei minimi quadrati dei parametri α₁e α₂.

Example (Spesa alimentare)

Nell’esempio della spesa alimentare con z_i = log(x_i), la spesa dei minimi quadrati è data da

log(bσ_i²) =0.9378 + 2.329z_i.

Si noti che la stima diαb₂=bγ =2.329 è più del doppio del valore γ = 1 assunto implicitamente nella specificazione della varianza nota.

Il passo successivo consiste nel trasformare le

osservazioni in modo che il nuovo modello abbia varianza omoschedastica.

Come abbiamo visto, dobbiamo dividere entrambi i lati dell’equazione per x_i^bγ/2

Alternativamente, seguendo la specificazione più generale, possiamo calcolare le stime della varianza usando:

bσ_i²= exp(αb₁+αb₂z_i)

e quindi dividere entrambi i lati dell’equazione perbσ_i.

Entrambe le strategie conducono alle stesse stime dei minimi quadrati generalizzati. Dividendo il modello per σ_i, otteniamo:

y_i

σ_i = β₁1

σ_i + β₂x_i σ_i + e_i

σ_i. La varianza dell’errore trasformato è costante:

Var e_i σ_i



= 1

σ_i²Var [e_i] = 1

σ_i²σ_i²=1

Di conseguenza, per calcolare lo stimatore dei minimi quadrati generalizzati di β₁and β₂, definiamo le variabili trasformate:

y_i^∗ = y_i

σb_i, x_i1^∗ = 1

σb_i, x_i2^∗ = x_i bσ_i. Applichiamo quindi i minimi quadrati all’equazione:

y_i^∗ = β₁x_i1^∗ + β₂x_i2^∗ +e^∗_i.

Per riassumere questi passaggi nel caso generale, supponiamo di voler stimare il modello:

y_i = β₁+ β₂x_i2+ · · · + β_Kx_iK+e_i dove

Var [e_i] = σ_i²= exp(α1+ α2z_i2+ · · · + α_Sz_iS).

I passaggi necessari per calcolare lo stimatore dei minimi quadrati generalizzati sono:

Stimare il modello con i minimi quadrati e calcolare i quadrati dei residui,eb²_i.

Stimare α₁, α2, . . . , α_S applicando i minimi quadrati all’equazione

be²_i = α1+ α2z_i2+ · · · + α_Sz_iS+ νi. Calcolare le stime della varianza

bσ_i²= exp(αb₁+αb₂z_i2+ · · · +αb_Sz_iS).

Calcolare le variabili trasformate y_i^∗,x_i1^∗,x_i2^∗, . . . ,x_{K 1}^∗ . Stimare il modello trasformato con OLS.

Example (Spesa alimentare)

Seguendo questa procedura, nel caso della spesa alimentare:

yb_i =76.05

(9.71) +10.63

(0.97)x_i.

Rispetto al caso di varianza nota, le stime di β₁e β₂non sono cambiate molto.

Si è verificata, invece, una significativa riduzione degli standard error che nella specificazione precedente erano

se( bβ1) =23.79, se( bβ2) =1.39.

Gli stimatori dei minimi quadrati generalizzati con varianza nota e ignota richiedono entrambi un’ipotesi sulla forma dell’eteroschedasticità.

Se questa ipotesi è corretta essi hanno varianza minima, se l’ipotesi è falsa lo stimatore non ha varianza minima e i suoi standard error non sono validi.

Questo problema può essere evitato usando i minimi quadrati con gli standard error di White.

Questo approccio non richiede un assunto sulla forma dell’eteroschedasticità ma non consente di realizzare la riduzione della varianza ottenuta con i minimi quadrati generalizzati.

Dato che è impossibile sapere quale sia la forma esatta della funzione di varianza come possiamo risolvere questo dilemma?

Gli standard error robusti possono essere usati non solo come salvaguardia contro gli effetti dell’eteroschedasticità quando stimiamo con i minimi quadrati, ma sono utili anche per proteggersi da eventuali errori di specificazione della funzione di varianza alla base dei minimi quadrati generalizzati.

Conclusione: usare sempre gli standard error robusti!

In un modello di probabilità lineare la relazione fra p e le variabili esplicative è descritta dalla funzione lineare:

E [y ] = p = β₁+ β₂x₂+ · · · + β_Kx_K. Se includiamo l’errore stocastico otteniamo il modello:

y_i =E [y_i] +e_i = β1+ β2x₂+ · · · + βKx_K +e_i.

Questa relazione può essere stimata con i minimi quadrati, ma le stime risentono della presenza di eteroschedasticità:

Var [y_i] =Var [e_i] =p_i(1 − p_i)

= (β₁+ β₂x_i2+ · · · + β_Kx_iK)(1 − β₁− β₂x_i2− · · · − β_Kx_iK) La varianza dell’errore dipende dai valori delle variabili

esplicative. Possiamo:

usare gli standard error robusti rispetto all’eteroschedasticità;

possiamo applicare la procedura dei minimi quadrati generalizzati.

Se applichiamo i minimi quadrati generalizzati, dobbiamo stimare la varianza.

Possiamo ottenere una stima di p_i a partire dai valori previsti dai minimi quadrati:

bp_i = bβ₁+ bβ₂x_i2+ · · · + bβ_Kx_iK otteniamo

V ar [eb _i] =bp_i(1 −bp_i).

A questo punto è necessario assicurarsi che le stima della probabilità siano comprese tra 0 e 1, siano cioè positive.

Dopo aver calcolato stime positive della varianza, possiamo ottenere le stime dei minimi quadrati

generalizzati applicando i minimi quadrati all’equazione trasformata:

y_i p

bp_i(1 −bp_i) = β₁ 1 p

bp_i(1 −bp_i)+ β₂ x_i2 p

bp_i(1 −bp_i) + · · · + βK

x_iK p

pb_i(1 −pb_i) + e_i p

bp_i(1 −bp_i).

Example (Coke or Pepsi)

Example (Coke or Pepsi)

Il test di eteroschedasticità più adatto in questo caso è quello di White. Applicando questo approccio ai residui dei minimi quadrati, otteniamo

nR²=25.17, p − value = 0.0005.

Questo risultato ci suggerisce di rifiutare l’ipotesi nulla di omoschedasticità ad un livello di significatività dell’1%.