ESERCIZI SU EVENTI
1) Considerata un’urna contenente le seguenti 8 palline numerate 1 2 3 4 5 6 7 9
si consideri un esperimento che consiste nell’estrarre 3 palline senza ripetizione.
Determinare:
a) Quali e quante sono le terne composte da palline con numeri pari che differiscono per le palline estratte o per l’ordine di estrazione
b) Quali e quante sono le terne composte da palline con numeri pari che differiscono per le palline estratte
c) Quante sono le terne composte da palline con numeri dispari che differiscono per le palline estratte o per l’ordine di estrazione
d) Quali e quante sono le terne composte da palline con numeri dispari che differiscono per le palline estratte
Soluzione
a) L’urna contiene 3 palline pari (con i numeri 2, 4 e 6) che possono presentarsi in una delle seguenti sequenze che differiscono fra loro solo per l’ordine
246, 264, 426, 462, 624, 642
Il numero di terne corrisponde a 3 fattoriale: 3! = 3×2×1=6
b) Esiste una sola terna, dato che le palline pari sono solo 3, come si è visto nella soluzione del quesito precedente. Il numero di terne diverse corrisponde al numero di combinazioni di 3 elementi di classe 3
(3
3) = 3!
3! (3 − 3)! = 1
c) L’urna contiene 5 palline dispari (con i numeri 1, 3, 5, 7 e 9). Alla prima prova può essere estratta una qualsiasi di queste 5 palline, alla seconda prova una delle 4 palline dispari ancora nell’urna e alla terza prova una delle 3 palline dispari restanti. Il numero di terne richiesto è quindi
5×4×3=60
d) Il numero di terne che differisce per le palline estratte e non per l’ordine si ottiene dal risultato precedente dividendolo per il numero di modi in cui le tre palline estratte possono scambiarsi fra loro per il posto occupato nella sequenza. Come visto nel quesito a) questo numero corrisponde a tre fattoriale, per cui si ha
5 × 4 × 3
3! = 60
6 = 10
Le terne diverse per le palline che le compongono sono 135, 137, 139, 157, 159, 179, 357, 359, 379, 579
2) Quanti numeri di quattro cifre possono essere formati con i 10 numeri 0, 1, . . . , 9 se:
a) uno stesso numero può essere ripetuto più volte b) uno stesso numero non può essere ripetuto più volte
Soluzione
a) In teoria un numero può assumere 10 valori diversi, da 0 a 9, ma un numero di 4 cifre non può avere lo 0 in prima posizione, per cui i possibili numeri di 4 cifre sono
9×103=9000
Al primo posto può infatti comparire un qualsiasi numero intero compreso fra 1 e 9
Al secondo, terzo e quarto posto può invece comparire un qualsiasi numero intero compreso fra 0 e 9
b) In questo caso il risultato è pari a 9×9×8×7=4536
Al primo posto può infatti comparire un qualsiasi numero intero compreso fra 1 e 9
Al secondo posto può comparire uno qualsiasi dei numeri interi compresi fra 0 e 9, ma che risulti diverso da quello che compare come prima cifra Al terzo posto può comparire uno qualsiasi dei numeri interi compresi fra 0 e 9, ma che risulti diverso da quelli che compaiono come prima e seconda cifra
Al quarto posto può comparire uno qualsiasi dei numeri interi compresi fra 0 e 9, ma che risulti diverso da quelli che compaiono come prima, seconda e terza cifra
3) Descrivere lo spazio campionario dell’esperimento casuale che consiste nel lancio di un dado a sei facce e di una moneta le cui facce sono identificate da
“croce” e “testa”
Soluzione
Indicati con i numeri compresi fra 1 e 6 i possibili risultati ottenuti sul dado e con le lettere c e t le due facce della moneta si ha
Ω = {(1, c); (2, c); (3, c); (4, c); (5, c); (6, c); (1, t); (2, t); (3, t); (4, t); (5, t); (6, t)}
Il numero di eventi elementari che compongono lo spazio campionario è infatti pari al prodotto 6×2=12
4) Un’urna contiene cinque palline numerate da 1 a 5. Determinare il numero di elementi dello spazio campionario Ω dell’esperimento che consiste nell’estrazione di due palline se:
a) l’estrazione è con reinserimento b) l’estrazione è senza reinserimento
Soluzione
a) In questo caso alla prima e alla seconda prova può essere estratta una qualsiasi delle 5 palline contenute nell’urna, per cui i possibili risultati sono 52=25
b) In questo caso nella prima prova può essere estratta una qualsiasi delle 5 palline contenute nell’urna, mentre nella seconda prova si può estrarre solo una delle 4 palline rimaste nell’urna, per cui i possibili risultati sono
5×4=20
5) Considerata l’urna dell’esempio precedente si supponga che le palline con i numeri da 1 a 3 sono nere mentre le altre sono bianche. Dato un esperimento che consiste nell’estrarre due palline con ripetizione, sia A l’evento “la prima pallina estratta è nera” e B l’evento “la seconda pallina estratta è nera”. Identificata ciascuna pallina con il numero che porta impresso, si determini quali sono le coppie di eventi elementari costituiscono gli eventi: a) A,b) B,c) AB
Soluzione
a) Identificando ciascuna pallina con il numero che porta impresso, il numero delle coppie di eventi elementari che costituiscono A è
3×5=15
in quanto nella prima prova deve essere estratta una pallina nera, mentre alla seconda prova può essere estratta una pallina qualsiasi
A = { (1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5);
(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5)}
b) In questo caso nella prima prova può essere estratta una pallina qualsiasi, mentre alla seconda prova deve essere estratta una pallina nera
5×3=15
B = { (1, 1); (2, 1); (3, 1); (4, 1); (5, 1); (1, 2); (2, 2); (3, 2); (4, 2); (5, 2);
(1, 3); (2, 3); (3, 3); (4, 3); (5, 3)}
c) Si sta chiedendo il numero dei risultati che contengono una pallina nera in entrambe le estrazioni. Questo numero è 3×3=9
AB = {(1, 1); (2, 1); (3, 1); (1, 2); (2, 2); (3, 2); (1, 3); (2, 3); (3, 3)}
Si controlla facilmente che sono queste le coppie di gli eventi elementari in comune fra A e B
6) Considerata l’urna dell’esempio precedente si effettui il medesimo esperimento, ma questa volta con una estrazione senza ripetizione.
Indicati sempre con A l’evento “la prima pallina estratta è nera” e con B l’evento
“la seconda pallina estratta è nera” si determini quali sono le coppie di eventi elementari che costituiscono gli eventi: a) A, b) B, c) AB
Soluzione
a) In questo caso una pallina non può comparire due volte in ciascuna coppia di risultati, per cui nella prima prova può essere estratta una qualsiasi delle 3 palline nere, mentre alla seconda prova può essere estratta una pallina qualsiasi, tranne quella che è stata estratta nella prima prova. Il numero delle possibili coppie è
3×4=12
A = { (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 1); (3, 2);
(3, 4); (3, 5)}
b) In questo caso nella prima prova può essere estratta una pallina qualsiasi, mentre alla seconda prova deve essere estratta una pallina nera, escludendo la possibilità che si tratti della pallina estratta nella prima prova B = { (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 3); (3, 1); (3, 2); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (5, 1);
(5, 2); (5, 3)}
Sono 12 le possibili coppie di eventi elementari che costituiscono B
c) Si sta chiedendo il numero dei risultati che contengono una pallina nera in entrambe le estrazioni.
Questo numero è 3×2=6, in quanto nella seconda prova non può essere estratta la pallina già estratta nella prima prova
AB = {(1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 3); (3, 1); (3, 2)}
Si controlla facilmente che sono queste le coppie di gli eventi elementari in comune fra A e B
7) Un esperimento consiste nel lancio di due dadi equilibrati. Determinare gli eventi elementari che costituiscono gli eventi:
a) A = “le facce superiori sono uguali”
b) B = “le facce superiori hanno somma cinque”
c) C = “il numero riportato su una faccia è il doppio dell’altra”
Soluzione
a) Si sta chiedendo il numero di possibili risultati che danno lo stesso punteggio su entrambi i dadi. Essendo 6 i possibili risultati sul primo dado, sono 6 le possibili coppie di risultati identici, per cui
A = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); (5, 5); (6, 6)}
b) Le possibili coppie di risultati che danno un punteggio pari a 5 sono 4, come si nota dal numero di coppie di risultati che costituiscono B
B = {(1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1)}
c) In questo caso le possibili coppie di risultati sono 6, come risulta dal numero delle coppie di risultati che costituiscono l’evento C
C = {(1, 2); (2, 4); (3, 6); (2, 1); (4, 2); (6, 3)}
